这是概率论的第1章，也是整门课的地基：后面随机变量、数字特征、参数估计，全都建立在「事件与概率」之上。
本章只需高中数学基础（排列组合），零基础也能学。学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、随机事件

1.1 随机试验与样本空间

  • 是什么/定义：
  • 随机试验：在相同条件下可重复进行、结果事先无法确定、但所有可能结果已知的试验。
  • 样本点：随机试验的每一个可能结果，记 \(\omega\)。
  • 样本空间：所有样本点组成的集合，记 \(\Omega\)。
  • 性质/公式：样本空间要「完整 + 不重叠」——所有可能结果一个不漏、且各结果互不重合；必然事件就是 \(\Omega\)，不可能事件就是 \(\varnothing\)。
  • 怎么考：①写出给定试验的样本空间；②数样本点个数（为古典概型铺路）；③判断某集合是否构成样本空间。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷两枚可区分硬币，写出样本空间，并指出事件「至少一个正面」。
    • 解：\(\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}\)（\(H\) 正面、\(T\) 反面），共 4 个样本点；事件 \(A=\{HH,HT,TH\}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】掷一枚骰子两次，样本空间有多少个样本点？事件「两次点数之和为 7」含几个样本点？
    • 解：每次 6 种结果，共 \(6\times6=36\) 个样本点；和为 7 的有 \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) 共 6 个。
  • 易错坑点：样本空间要「列全」；两枚硬币必须视为可区分才有 4 个结果，否则会漏掉 \(HT,TH\) 的顺序差。
  • 配套练习：从 \(1\sim5\) 中任取两数（可重复），样本空间有几个样本点？事件「两数相同」有几个样本点？（答案：25；5）

1.2 随机事件

  • 是什么/定义：
  • 事件：样本空间的某个子集，记 \(A,B,C\)。当试验结果 \(\omega\in A\) 时，称事件 \(A\) 发生。
  • 基本事件：只含一个样本点的事件。
  • 必然事件：整个样本空间 \(\Omega\)（一定发生）。
  • 不可能事件：空集 \(\varnothing\)（一定不发生）。
  • 性质/公式：事件「发生」⇔ 试验结果落在该事件的集合里；概率论的语言本质上就是集合的语言。
  • 怎么考：①把文字描述翻译成事件集合；②判断必然/不可能/基本事件；③用集合包含关系表达「\(A\) 发生必导致 \(B\) 发生」。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷一枚骰子，\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)，写出事件「点数为偶数」「点数 \(\ge 4\)」「点数为偶数且 \(\ge 4\)」。
    • 解：\(A=\{2,4,6\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，\(A\cap B=\{4,6\}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)，\(A=\{1,3,5\}\)（奇数），\(B=\{2,4,6\}\)（偶数），判断 \(A\) 与 \(B\) 的关系。
    • 解：\(A\cap B=\varnothing\) 且 \(A\cup B=\Omega\)，故 \(A\) 与 \(B\) 为对立事件（也互斥）。
  • 易错坑点：事件是「集合」不是「数」；「必然事件」与「概率为 1」、「不可能事件」与「概率为 0」不是一回事（概率为 0 的事件不一定不可能，见 2.2）。
  • 配套练习：掷一枚骰子，写出事件「点数小于 3」的集合，并数出样本点个数。（答案：\(\{1,2\}\)，2 个）

1.3 事件的关系

  • 是什么/定义：
  • 包含：\(A\subset B\) 表示 \(A\) 发生必导致 \(B\) 发生。
  • 相等：\(A=B\) 表示 \(A\subset B\) 且 \(B\subset A\)。
  • 互斥（互不相容）：\(A\cap B=\varnothing\)，\(A,B\) 不能同时发生。
  • 对立（互逆）：\(A\cap B=\varnothing\) 且 \(A\cup B=\Omega\)，即 \(B=\bar A\)（\(A\) 的补集）。
  • 性质/公式：对立 \(\Rightarrow\) 互斥；互斥 \(\nRightarrow\) 对立（两者可能都补不全样本空间）。
  • 怎么考：①判断两个事件是包含/互斥/对立关系；②把「至少一个」「都不」「恰有」翻译成事件关系；③选择题辨析互斥与对立。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷一枚骰子，\(A=\{2,4,6\}\)（偶数）、\(B=\{1,3,5\}\)（奇数）、\(C=\{3,4,5,6\}\)（点数 \(\ge3\)）。判断 \(A\) 与 \(B\)、\(A\) 与 \(C\) 的关系。
    • 解：\(A\cap B=\varnothing\) 且 \(A\cup B=\Omega\)，故 \(A\) 与 \(B\) 对立（也互斥）；\(A\cap C=\{4,6\}\ne\varnothing\)，故 \(A\) 与 \(C\) 既非互斥也非包含。
  • 【例2·真题风格·自编题】30 件产品中，\(A=\{\text{全是合格品}\}\)，\(B=\{\text{恰有 1 件次品}\}\)，\(C=\{\text{至少 1 件次品}\}\)。判断 \(A\) 与 \(B\)、\(A\) 与 \(C\) 的关系。
    • 解：\(A\cap B=\varnothing\) 但 \(A\cup B\ne\Omega\)（还可能 2 件以上次品），故 \(A\) 与 \(B\) 互斥但不对立；\(A\cap C=\varnothing\) 且 \(A\cup C=\Omega\)，故 \(A\) 与 \(C\) 对立。
  • 易错坑点：互斥 ≠ 对立——对立一定互斥，互斥不一定对立；「至少一个发生」的对立是「一个都不发生」。
  • 配套练习：设 \(A=\{\text{掷硬币出现正面}\}\)，\(B=\{\text{掷硬币出现反面}\}\)，\(A\) 与 \(B\) 是什么关系？（答案：对立事件（也互斥））

1.4 事件的运算

  • 是什么/定义：
  • 和（并）：\(A\cup B\)，\(A,B\) 至少一个发生。
  • 积（交）：\(A\cap B\)（也写 \(AB\)），\(A,B\) 同时发生。
  • 差：\(A-B=A\cap\bar B\)，\(A\) 发生而 \(B\) 不发生。
  • 补（对立）：\(\bar A\)，\(A\) 不发生。
  • 性质/公式（运算律，做复杂事件化简必备）：
  • 交换律：\(A\cup B=B\cup A\)，\(AB=BA\)。
  • 结合律：\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)，\((AB)C=A(BC)\)。
  • 分配律：\(A(B\cup C)=AB\cup AC\)，\(A\cup(BC)=(A\cup B)(A\cup C)\)。
  • 吸收律：\(A\cup(AB)=A\)，\(A(A\cup B)=A\)。
  • 德摩根律（重点）：\(\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\)，\(\overline{AB}=\bar A\cup\bar B\)。
  • 常用恒等式：\(A\cup\bar A=\Omega\)，\(A\cap\bar A=\varnothing\)，双重否定 \(\overline{\bar A}=A\)，\(A-B=A\bar B\)。
  • 怎么考：①用吸收律、分配律、德摩根律化简复杂事件表达式；②把「至少/至多/恰有/都不」翻译成事件运算；③用德摩根律把「并的对立」换成「交的对立」（求「至少一个发生」的对立概率）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】化简 \((A\cup B)\cap(\bar A\cup B)\)，并说明其含义。
    • 解：\((A\cup B)\cap(\bar A\cup B)=(B\cup A)\cap(B\cup\bar A)=B\cup(A\cap\bar A)=B\cup\varnothing=\boxed B\)（两次用分配律/吸收律）。含义：事件「\(A\) 或 \(B\) 发生」与「\(\bar A\) 或 \(B\) 发生」同时成立，等价于「\(B\) 发生」。
  • 【例2·真题】1994年·数一·填空(3分)：已知事件 \(A,B\) 满足 \(P(AB)=P(\bar A\bar B)\)，且 \(P(A)=p\)，求 \(P(B)\)。
    • 解：由德摩根律 \(\bar A\bar B=\overline{A\cup B}\)，故 \(P(\bar A\bar B)=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)\)（加法公式见 2.3）。又 \(P(AB)=P(\bar A\bar B)\)，代入得 \(P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)\)，消去两边 \(P(AB)\) 得 \(1-P(A)-P(B)=0\)，故 \(\boxed{P(B)=1-P(A)=1-p}\)。
  • 易错坑点：\(A-B\ne B-A\)；「\(A,B\) 都不发生」应写为 \(\bar A\bar B\)（不是 \(\overline{A\cup B}\) 的误读，两者相等但别在符号上写反）；德摩根律的符号方向别记反。
  • 配套练习：用运算律化简 \((A\cup B)\cap(A\cup\bar B)\cap(\bar A\cup B)\)。（答案：\(AB\)。提示：前两项 \(=A\cup(B\bar B)=A\)，再与 \(\bar A\cup B\) 交得 \(AB\)）

二、概率的定义与性质

2.1 频率与概率

  • 是什么/定义：
  • 频率：\(n\) 次试验中事件 \(A\) 发生 \(n_A\) 次，频率 \(f_n(A)=\dfrac{n_A}{n}\)。
  • 概率的公理化定义：\(P\) 是定义在事件上的函数，满足三条公理：
    1. 非负性：\(P(A)\ge 0\)；
    2. 规范性：\(P(\Omega)=1\)；
    3. 可列可加性：两两互斥的事件 \(A_1,A_2,\dots\) 的并的概率 = 各概率之和。
  • 性质/公式：频率随试验次数波动，但稳定在概率附近（这正是后面大数定律的内容）。
  • 怎么考：①用频率估计概率；②判断某函数是否满足三条公理（能否作为概率）；③辨析「频率 ≠ 概率」。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷硬币 100 次出现正面 55 次，求正面出现的频率；能否说正面概率就是 \(0.55\)？
    • 解：频率 \(=\dfrac{55}{100}=0.55\)；不能说概率就是 \(0.55\)——频率是经验值，概率是理论值（均匀硬币应约为 \(0.5\)）。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(A,B\) 互斥且 \(P(A)=0.3,\ P(B)=0.4\)，求 \(P(A\cup B)\)。
    • 解：由有限可加性 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=\boxed{0.7}\)。
  • 易错坑点：频率是「经验值」、概率是「理论值」；可列可加性要求事件「两两互斥」，不互斥不能直接相加。
  • 配套练习：掷一枚均匀骰子 600 次，估计出现 6 点的次数约为多少？（答案：约 100 次）

2.2 概率的基本性质

  • 是什么/定义：由三条公理推出的基本性质。
  • 性质/公式：
  • \(P(\varnothing)=0\)；
  • 有限可加性：\(A,B\) 互斥时 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；
  • 单调性：\(A\subset B\) 则 \(P(A)\le P(B)\)；
  • 对立事件：\(P(\bar A)=1-P(A)\)；
  • 减法公式：\(A\subset B\) 时 \(P(B-A)=P(B)-P(A)\)；一般地 \(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)。
  • 怎么考：①用 \(P(\bar A)=1-P(A)\) 求「至少一个」的对立；②用减法公式求 \(P(A-B)\)；③判断性质叙述的正误（如「\(P(A)=0\Rightarrow A=\varnothing\)」是错的）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(P(A)=0.3,\ P(AB)=0.1\)，求 \(P(A-B)\)。
    • 解：\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3-0.1=\boxed{0.2}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(B\subset A\)，\(P(A)=0.6,\ P(B)=0.4\)，求 \(P(A-B)\) 与 \(P(\bar A)\)。
    • 解：\(P(A-B)=P(A)-P(B)=0.6-0.4=\boxed{0.2}\)；\(P(\bar A)=1-P(A)=\boxed{0.4}\)。
  • 易错坑点：\(P(A)=0\) 不一定是「不可能事件」（连续型随机变量中会出现概率为 0 但非空的事件）；减法公式只有 \(B\subset A\) 时才等于 \(P(A)-P(B)\)，一般式为 \(P(A)-P(AB)\)。
  • 配套练习：设 \(P(A)=0.7\)，求 \(P(\bar A)\) 与 \(P(A\cup\bar A)\)。（答案：\(0.3\)；\(1\)）

2.3 加法公式

  • 是什么/定义：把「并事件」的概率用各部分概率表示。
  • 性质/公式：
  • 一般加法公式：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)。
  • 三事件：\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\)。
  • \(n\) 事件（容斥公式）：先加单个、减两两交、加三三交、……符号交替。
  • 怎么考：①给 \(P(A),P(B),P(AB)\) 求 \(P(A\cup B)\)；②由加法公式反解 \(P(AB)\)；③三事件「至少一个发生」「恰有一个发生」的概率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(P(A)=0.4,\ P(B)=0.5,\ P(AB)=0.2\)，求 \(P(A\cup B)\) 和 \(P(\bar A\bar B)\)。
    • 解：\(P(A\cup B)=0.4+0.5-0.2=\boxed{0.7}\)；\(P(\bar A\bar B)=P(\overline{A\cup B})=1-0.7=\boxed{0.3}\)。
  • 【例2·真题】2020年·数一·第7题(4分)：设 \(A,B,C\) 为三个随机事件，且 \(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac14\)，\(P(AB)=0\)，\(P(AC)=P(BC)=\dfrac1{12}\)，则 \(A,B,C\) 中恰有一个事件发生的概率为（　）。(A) \(\dfrac34\) (B) \(\dfrac23\) (C) \(\dfrac12\) (D) \(\dfrac5{12}\)。
    • 解：「恰有一个发生」\(=A\bar B\bar C+\bar A B\bar C+\bar A\bar B C\)。因 \(P(AB)=0\)，故 \(P(ABC)=0\)。由减法公式（\(P(A\bar B\bar C)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)\)）：
      \[P(A\bar B\bar C)=\frac14-0-\frac1{12}+0=\frac2{12}=\frac16,\quad P(\bar A B\bar C)=\frac14-0-\frac1{12}+0=\frac16,\]
      \[P(\bar A\bar B C)=\frac14-\frac1{12}-\frac1{12}+0=\frac1{12}.\]
      三者互斥，所求 \(=\dfrac16+\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac5{12}\)，选 (D)。
  • 易错坑点：只有 \(A,B\) 互斥时才可简化为 \(P(A)+P(B)\)；一般情形别漏减 \(P(AB)\)；三事件公式符号「加减交替」。
  • 配套练习：设 \(P(A)=0.5,\ P(B)=0.6,\ P(AB)=0.3\)，求 \(P(A\cup B)\)。（答案：\(0.8\)）

三、古典概型

3.1 定义与计算公式

  • 是什么/定义：样本空间有限、每个样本点等可能的试验称为古典概型。
  • 性质/公式：\(P(A)=\dfrac{A\text{ 所含样本点数}}{\text{样本空间样本点总数}}=\dfrac mn\)。
  • 怎么考：①数样本点数求概率；②判断某试验是否古典概型；③用对立事件简化计数（先算「不发生」）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷两枚可区分骰子，求点数之和为 7 的概率。
    • 解：总样本点 \(6\times6=36\)；和为 7 有 6 种，故 \(P=\dfrac6{36}=\boxed{\dfrac16}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】从 \(0,1,\dots,9\) 中任取两个不同数字，求两数都是偶数的概率。
    • 解：偶数有 \(\{0,2,4,6,8\}\) 共 5 个。总数 \(C_{10}^{2}=45\)，取两个偶数 \(C_5^2=10\)，故 \(P=\dfrac{10}{45}=\boxed{\dfrac29}\)。
  • 易错坑点：分子分母的「计数口径」必须一致（都用排列或都用组合）；「等可能性」前提必须满足（不均匀骰子不能用古典概型）。
  • 配套练习：掷一枚骰子，求点数为质数的概率。（质数 \(2,3,5\)，答案：\(\dfrac36=\dfrac12\)）

3.2 排列与组合（必备计数工具）

  • 是什么/定义：
  • 加法原理：分类用加法；乘法原理：分步用乘法。
  • 排列：从 \(n\) 个不同元素取 \(m\) 个按顺序排列，\(A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)。
  • 组合：从 \(n\) 个不同元素取 \(m\) 个不管顺序，\(C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)。
  • 性质/公式：\(C_n^m=C_n^{n-m}\)；\(C_n^0=C_n^n=1\)；\(C_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}\)。
  • 怎么考：①判断「有没有顺序」；②「有放回（可重复）」用乘法原理/重复排列，「无放回」用排列组合；③用组合性质化简计算。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】从 5 人中选 3 人排成一排，有几种排法？若只选出 3 人（不排），有几种选法？
    • 解：排列 \(A_5^3=5\times4\times3=60\)；组合 \(C_5^3=10\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(C_{100}^{98}\)。
    • 解：\(C_{100}^{98}=C_{100}^{2}=\dfrac{100\times99}{2}=\boxed{4950}\)。
  • 易错坑点：判断「有没有顺序」是排列还是组合的关键；「有放回」与「无放回」要分清（有放回每次选择数不变）。
  • 配套练习：求 \(C_8^3\)。（答案：\(56\)）

3.3 典型题型（摸球、抽签、生日）

  • 是什么/定义：古典概型的三大经典模型。
  • 摸球（超几何）：盒中 \(a\) 个白球、\(b\) 个黑球，任取 \(k\) 个，恰有 \(i\) 个白球。
  • 抽签：不放回抽取，第 \(k\) 次抽中某物的概率。
  • 生日：\(n\) 人中至少两人同一天生日。
  • 性质/公式：
  • 摸球：\(P=\dfrac{C_a^i\,C_b^{k-i}}{C_{a+b}^k}\)；
  • 抽签：第 \(k\) 次抽中某物的概率与 \(k\) 无关（抽签公平）；
  • 生日：\(P(\text{至少两人同一天})=1-\dfrac{A_{365}^{n}}{365^n}\)。
  • 怎么考：①摸球（超几何模型）；②抽签公平性；③「至少两人同生日」用对立事件「全不同」；④分房/放球问题（乘法原理计数）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】盒中有 4 个白球、2 个黑球，任取 2 个，求恰取到 1 白 1 黑的概率。
    • 解：\(P=\dfrac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\dfrac{4\times2}{15}=\boxed{\dfrac8{15}}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】50 人中至少两人同一天生日的概率约为多少（一年按 365 天计）？
    • 解：用对立事件「50 人生日全不同」：\(P(\text{全不同})=\dfrac{365\cdot364\cdots316}{365^{50}}=\dfrac{A_{365}^{50}}{365^{50}}\)。故 \(P(\text{至少两人同一天})=1-\dfrac{A_{365}^{50}}{365^{50}}\approx\boxed{0.97}\)。
  • 易错坑点：计数口径必须一致（组合/排列、有放回/无放回）；生日问题「至少一个相同」→ 用对立「全不同」，别直接数「相同」的情况。
  • 配套练习：袋中有 3 个红球、2 个白球，任取 2 球，求都是红球的概率。（答案：\(\dfrac{C_3^2}{C_5^2}=\dfrac3{10}\)）

四、几何概型

4.1 定义与公式

  • 是什么/定义：样本点等可能地落在某区域 \(\Omega\) 内，落在任意子区域 \(A\) 的概率与该区域的度量（长度、面积、体积）成正比，与位置无关。
  • 性质/公式：\(P(A)=\dfrac{A\text{ 的度量}}{\Omega\text{ 的度量}}\)（度量单位：长度/面积/体积）。
  • 怎么考：①长度比（区间上的点）；②面积比（平面区域）；③体积比（少见）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】在 \([0,10]\) 内随机取一点，求落在 \([2,5]\) 的概率。
    • 解：长度比 \(\dfrac{5-2}{10-0}=\dfrac3{10}=\boxed{0.3}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】在 \([0,1]\) 内随机取两点 \(x,y\)，求 \(x+y\le 1\) 的概率。
    • 解：样本空间为单位正方形，面积 \(1\)；\(x+y\le1\) 是左下方三角形，面积 \(\dfrac12\)，故 \(P=\boxed{\dfrac12}\)。
  • 易错坑点：几何概型的概率只与「度量大小」有关，与位置形状无关；度量单位要一致（长度比长度、面积比面积）。
  • 配套练习：在 \([0,60]\) 内随机取一点表示时刻，求落在 \([0,10]\) 的概率。（答案：\(\dfrac16\)）

4.2 典型题型（等车、约会）

  • 是什么/定义：把「时间」化为几何度量的两个经典模型。
  • 等车问题：乘客在 \([0,T]\) 内随机到达，车每隔 \(a\) 分钟一班，求等待时间不超过 \(t\) 的概率。
  • 约会问题：两人在某时间段内随机到达，先到者等 \(t\) 分钟，求能相遇的概率。
  • 性质/公式：等车用长度比；约会用面积比（建立坐标系，画正方形与阴影带）。
  • 怎么考：①等车（数轴/长度比）；②两人约会（\(|x-y|\le t\) 画带状阴影，求面积比）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】公交车每 10 分钟一班，乘客随机到达，求等待时间不超过 3 分钟的概率。
    • 解：到达时刻落在上一班与下一班之间；等 \(\le3\) 分钟对应「下一班前 3 分钟」这一段，长度比 \(\dfrac3{10}=\boxed{0.3}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】甲、乙约定 7:00–8:00 间随机到达，先到者等候 15 分钟后离去，求两人能相遇的概率。
    • 解：设甲、乙到达时刻分别为 \(x,y\)（单位：分钟，\(\in[0,60]\)），相遇条件 \(|x-y|\le15\)。正方形面积 \(60\times60=3600\)；阴影面积 \(=3600-2\times\dfrac{45\times45}{2}=3600-2025=1575\)，故 \(P=\dfrac{1575}{3600}=\boxed{\dfrac7{16}}\)。
  • 易错坑点：画图找阴影区域，别把边界算错；连续型概率中「\(\le\)」与「\(<\)」无差别；时间单位要统一（都用分钟）。
  • 配套练习：甲、乙在 \([0,60]\)（分钟）内随机到达，先到者等候 20 分钟即离去，求两人能相遇的概率。（答案：\(1-\dfrac{40^2}{60^2}=\dfrac59\)）

五、条件概率

5.1 定义

  • 是什么/定义：在 \(A\) 已发生的条件下 \(B\) 发生的概率，记 \(P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}\)（要求 \(P(A)>0\)）。
  • 性质/公式：条件概率仍是概率（满足三条公理），可在「缩减后的样本空间 \(A\)」上直接计算。
  • 怎么考：①直接套公式 \(P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}\)；②在缩减样本空间里数；③由 \(P(B|A)\) 反求 \(P(AB)\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷一枚骰子，已知点数为偶数，求点数 \(\ge4\) 的概率。
    • 解：\(A=\{2,4,6\}\)（偶数），\(B=\{4,5,6\}\)，\(AB=\{4,6\}\)。\(P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{2/6}{3/6}=\boxed{\dfrac23}\)。（缩减空间法：在 \(\{2,4,6\}\) 中 \(\ge4\) 的有 2 个，\(\dfrac23\)。）
  • 【例2·真题】2006年·数一·第13题(4分)：设 \(A,B\) 为随机事件，且 \(P(B)>0\)，\(P(A|B)=1\)，则必有（　）。(A) \(P(A\cup B)>P(A)\) (B) \(P(A\cup B)>P(B)\) (C) \(P(A\cup B)=P(A)\) (D) \(P(A\cup B)=P(B)\)。
    • 解：\(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=1\Rightarrow P(AB)=P(B)\)，即「\(B\) 发生必导致 \(A\) 发生」（\(B\) 几乎包含于 \(A\)），故 \(A\cup B=A\)，\(P(A\cup B)=P(A)\)，选 (C)。
  • 易错坑点：条件概率的分母是「缩小后的样本空间」\(A\)，不是整个 \(\Omega\)；\(P(B|A)\) 与 \(P(B)\) 一般不同；别把 \(P(AB)\)（同时发生）与 \(P(B|A)\)（条件下）混淆。
  • 配套练习：掷一枚骰子，已知点数 \(\le3\)，求点数为奇数的概率。（在 \(\{1,2,3\}\) 中奇数有 \(\{1,3\}\)，答案：\(\dfrac23\)）

5.2 乘法公式

  • 是什么/定义：
  • 两事件：\(P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\)。
  • \(n\) 事件：\(P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})\)。
  • 性质/公式：分步相乘，每一步的条件都是「前面各事件已发生」。
  • 怎么考：①分步（先后）抽取；②已知 \(P(A)\) 与 \(P(B|A)\) 求 \(P(AB)\)；③不放回抽取的逐步计算（每次条件概率都要更新总数）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】盒中有 3 个红球、2 个白球，不放回取 2 次，求第一次红且第二次白的概率。
    • 解：\(P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac6{20}=\boxed{\dfrac3{10}}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】一批产品 10 件中 7 件正品、3 件次品，不放回连取 2 件，求都是正品的概率。
    • 解：\(\dfrac7{10}\times\dfrac69=\dfrac{42}{90}=\boxed{\dfrac7{15}}\)。
  • 易错坑点：条件里的「已发生事件」要按发生先后正确代入；无放回抽取时每次概率都要「更新总数」；\(n\) 事件链式乘法中每个条件都是「前面全部已发生」。
  • 配套练习：盒中有 2 个红球、3 个白球，不放回取 2 次，求都是白球的概率。（答案：\(\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}\)）

六、全概率公式与贝叶斯公式

6.1 完备事件组（划分）

  • 是什么/定义：\(A_1,\dots,A_n\) 两两互斥且 \(A_1\cup\cdots\cup A_n=\Omega\)，称为样本空间的一个划分（完备事件组）。
  • 性质/公式：任何事件 \(B\) 可拆为互斥的并：\(B=BA_1\cup BA_2\cup\cdots\cup BA_n\)（为全概率公式铺路）。
  • 怎么考：①判断一组事件是否构成划分；②把题中的「原因/来源/情形」设为划分；③对复杂事件按划分拆解。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷一枚骰子，\(A_1=\{1,2\}\)，\(A_2=\{3,4\}\)，\(A_3=\{5,6\}\)，是否构成划分？
    • 解：\(A_1,A_2,A_3\) 两两互斥且 \(A_1\cup A_2\cup A_3=\Omega\)，故是划分。
  • 【例2·真题风格·自编题】掷一枚骰子，\(B_1=\{\text{偶数}\}=\{2,4,6\}\)，\(B_2=\{3\}\)，判断 \(B_1,B_2\) 是否构成划分。
    • 解：\(B_1\cup B_2=\{2,3,4,6\}\ne\Omega\)（缺 \(1,5\)），故不是划分（并集不满）。
  • 易错坑点：划分必须「互斥」且「并集为 \(\Omega\)」，两者缺一不可；划分的 \(A_i\) 常对应题中的「原因/情形/来源」。
  • 配套练习：某事件按「甲、乙、丙三种来源」划分，写出这三个事件应满足的条件。（答案：\(A_{\text{甲}},A_{\text{乙}},A_{\text{丙}}\) 两两互斥且 \(A_{\text{甲}}\cup A_{\text{乙}}\cup A_{\text{丙}}=\Omega\)）

6.2 全概率公式

  • 是什么/定义：若 \(A_1,\dots,A_n\) 构成划分且 \(P(A_i)>0\)，则 \(P(B)=\sum_{i}P(A_i)P(B|A_i)\)。
  • 性质/公式：化整为零——把复杂事件 \(B\) 拆到各条「路径」\(A_i\) 上再求和（加权平均）。
  • 怎么考：①给出多种「原因」及每种原因下 \(B\) 的条件概率，求 \(B\) 的总概率；②与乘法公式结合；③「综合来源」型。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某厂甲、乙、丙三车间产量分别占 \(25\%、35\%、40\%\)，次品率分别为 \(5\%、4\%、2\%\)。求任取一件为次品的概率。
    • 解：设 \(A_1,A_2,A_3\) 表示产品来自甲、乙、丙车间，\(B\) 表示「是次品」，\(A_i\) 构成划分。\(P(B)=0.25\times0.05+0.35\times0.04+0.40\times0.02=0.0125+0.014+0.008=\boxed{0.0345}\)。
  • 【例2·真题】1987年·数一·填空(2分)：三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子有 3 个黑球 5 个白球。现随机取一个箱子，再从中取 1 球，求这个球为白球的概率。
    • 解：设 \(A_i\) 表示「取到第 \(i\) 个箱子」（\(i=1,2,3\)），\(P(A_i)=\dfrac13\) 构成划分；\(B\) 表示「取到白球」。则
      \[P(B)=\frac13\cdot\frac15+\frac13\cdot\frac36+\frac13\cdot\frac58=\frac13\left(\frac15+\frac12+\frac58\right)=\frac13\cdot\frac{53}{40}=\boxed{\frac{53}{120}}.\]
  • 易错坑点：划分的 \(A_i\) 必须两两互斥且并满 \(\Omega\)；全概率求的是「结果」的总概率，别漏掉某条「原因」路径。
  • 配套练习：甲袋 4 白 1 黑、乙袋 3 白 2 黑，随机选一袋再取 1 球，求取到白球的概率。（答案：\(\dfrac12\cdot\dfrac45+\dfrac12\cdot\dfrac35=\dfrac7{10}\)）

6.3 贝叶斯公式

  • 是什么/定义：\(P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_i P(A_i)P(B|A_i)}\)。
  • 性质/公式：由果溯因——\(B\) 已发生时，反求是哪个原因 \(A_k\) 导致的概率；\(P(A_k)\) 叫先验概率，\(P(A_k|B)\) 叫后验概率；分母就是全概率 \(P(B)\)。
  • 怎么考：①已知结果反求来源概率；②区分先验/后验；③与全概率公式连用（先求 \(P(B)\) 再代入）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】续 6.2 例 1：已知取到的是次品，求它来自甲车间的概率。
    • 解：\(P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\dfrac{0.25\times0.05}{0.0345}=\dfrac{0.0125}{0.0345}=\dfrac{125}{345}=\boxed{\dfrac{25}{69}}\approx0.3623\)。
  • 【例2·真题】1987年·数一·填空(2分)（同一题第二问）：已知取出的是白球，求它来自第二个箱子的概率。
    • 解：\(P(A_2|B)=\dfrac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac13\cdot\dfrac12}{\dfrac{53}{120}}=\dfrac{1/6}{53/120}=\dfrac{120}{6\cdot53}=\boxed{\dfrac{20}{53}}\)。
  • 易错坑点：贝叶斯的分母就是全概率 \(P(B)\)；先验 \(P(A_k)\) 与后验 \(P(A_k|B)\) 别搞反；方向是「由果溯因」，别与全概率「由因求果」用反。
  • 配套练习：续 6.2 配套练习：已知取到的是白球，求它来自甲袋的概率。（答案：\(\dfrac{\frac12\cdot\frac45}{7/10}=\dfrac{4}{7}\)）

七、事件的独立性

7.1 两个事件的独立

  • 是什么/定义：若 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则称 \(A,B\) 相互独立。
  • 性质/公式：
  • 等价判定：若 \(P(A)>0\)，独立 \(\Leftrightarrow P(B|A)=P(B)\)。
  • \(A\) 与 \(B\) 独立 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 与 \(\bar B\) 独立 \(\Leftrightarrow\) \(\bar A\) 与 \(B\) 独立 \(\Leftrightarrow\) \(\bar A\) 与 \(\bar B\) 独立。
  • 怎么考：①由 \(P(AB)=P(A)P(B)\) 判断独立；②已知独立求 \(P(AB)\)、\(P(A\cup B)\)；③独立与互斥的辨析（选择）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(P(A)=0.4,\ P(B)=0.5\)，\(A,B\) 独立，求 \(P(AB)\) 和 \(P(A\cup B)\)。
    • 解：\(P(AB)=0.4\times0.5=\boxed{0.2}\)；\(P(A\cup B)=0.4+0.5-0.2=\boxed{0.7}\)。
  • 【例2·真题】2018年·数一·第14题(4分)：设随机事件 \(A\) 与 \(B\) 相互独立，\(A\) 与 \(C\) 相互独立，\(BC=\varnothing\)，若 \(P(A)=P(B)=\dfrac12\)，\(P(AC|AB\cup C)=\dfrac14\)，则 \(P(C)=\)______。
    • 解：因 \(AC\subseteq C\subseteq AB\cup C\)，故 \(P(AC|AB\cup C)=\dfrac{P(AC)}{P(AB\cup C)}\)。由独立 \(P(AC)=P(A)P(C)=\dfrac12P(C)\)；\(P(AB)=P(A)P(B)=\dfrac14\)；又 \(ABC\subseteq BC=\varnothing\)，故 \(P(ABC)=0\)，从而 \(P(AB\cup C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=\dfrac14+P(C)\)。于是
      \[\frac{\dfrac12P(C)}{\dfrac14+P(C)}=\frac14\ \Rightarrow\ \frac12P(C)=\frac1{16}+\frac14P(C)\ \Rightarrow\ P(C)=\boxed{\frac14}.\]
  • 易错坑点：独立 ≠ 互斥——独立讲「概率相乘」，互斥讲「不能同时发生」；当 \(P(A)P(B)>0\) 时，互斥的两个事件一定不独立；独立是「概率意义」，不是「逻辑无关」。
  • 配套练习：设 \(P(A)=0.6,\ P(B)=0.5\)，\(A,B\) 独立，求 \(P(\bar A\bar B)\)。（答案：\(P(\bar A)P(\bar B)=0.4\times0.5=0.2\)）

7.2 多个事件的独立

  • 是什么/定义：
  • 两两独立：任意两个事件都独立，即对任意 \(i<j\) 都有 \(P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)\)。
  • 相互独立：对任意 \(2\le k\le n\) 个事件（即一切子集 \(A_{i_1},\dots,A_{i_k}\)），都有 \(P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})\)。
    > 注意：相互独立不是只看「两两」，也不是只看「\(n\) 个一起」，而是 \(k=2,3,\dots,n\) 的所有子集都满足乘积公式。
  • 性质/公式：
  • 相互独立 \(\Rightarrow\) 两两独立；两两独立 \(\nRightarrow\) 相互独立。
  • 相互独立的 \(n\) 个事件中，任意一部分换成对立事件后仍相互独立。
  • \(P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=1-P(\bar A_1)P(\bar A_2)\cdots P(\bar A_n)\)（独立时成立）。
  • 怎么考：①辨析两两独立 vs 相互独立（选择题）；②验证三个事件是否相互独立（需验 \(P(AB),P(AC),P(BC),P(ABC)\) 四条）；③用独立算「至少一个发生」。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷两枚可区分硬币，\(A_1=\{\text{第一枚正面}\}\)，\(A_2=\{\text{第二枚正面}\}\)，\(A_3=\{\text{正、反面各一次}\}\)。判断 \(A_1,A_2,A_3\) 是否两两独立、是否相互独立。
    • 解：\(\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}\)，\(A_1=\{HH,HT\}\)，\(A_2=\{HH,TH\}\)，\(A_3=\{HT,TH\}\)，三者概率均为 \(\dfrac12\)。\(A_1A_2=\{HH\}\)、\(A_1A_3=\{HT\}\)、\(A_2A_3=\{TH\}\)，概率均为 \(\dfrac14=\dfrac12\cdot\dfrac12\)，故两两独立；但 \(A_1A_2A_3=\varnothing\)，\(P=0\ne\dfrac18\)，故不相互独立。这就是「两两独立 \(\nRightarrow\) 相互独立」的经典反例。
  • 【例2·真题风格·自编题】\(A,B,C\) 相互独立且 \(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac12\)，求「至少一个发生」的概率。
    • 解：\(P(A\cup B\cup C)=1-P(\bar A)P(\bar B)P(\bar C)=1-\left(\dfrac12\right)^3=\boxed{\dfrac78}\)。
  • 易错坑点：「两两独立」不等于「相互独立」；验证 \(n=3\) 时要验 4 个等式（三个两两 + 一个 \(P(ABC)\)），别漏 \(P(ABC)\)；「至少一个发生」在独立时用 \(1-\prod P(\bar A_i)\)。
  • 配套练习：\(A,B,C\) 两两独立，\(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac13\)，且 \(P(ABC)=\dfrac1{27}\)，判断是否相互独立，并求 \(P(A\cup B\cup C)\)。（答案：相互独立；\(1-\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{19}{27}\)）

7.3 伯努利概型

  • 是什么/定义：
  • 伯努利试验：只有「成功/失败」两种结果的试验。
  • \(n\) 重伯努利试验：\(n\) 次独立重复的伯努利试验。
  • 性质/公式（二项概率公式）：\(n\) 次试验中恰成功 \(k\) 次的概率 \(P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\)（\(k=0,1,\dots,n\)）。（此公式是第2章二项分布的基础）
  • 怎么考：①已知 \(n,p\) 求「恰 \(k\) 次」；②「至少一次」用对立 \(1-(1-p)^n\)；③「至多 \(k\) 次」累加。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某人射击命中率 \(0.8\)，独立射击 3 次，求恰命中 2 次的概率。
    • 解：\(P_3(2)=C_3^2\times0.8^2\times0.2=3\times0.64\times0.2=\boxed{0.384}\)。
  • 【例2·真题】1987年·数一·填空(2分)：在一次试验中事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\)，现进行 \(n\) 次独立试验，则 \(A\) 至少发生一次的概率为__；而事件 \(A\) 至多发生一次的概率为____。
    • 解：至少发生一次 \(=1-P(\text{一次都不发生})=1-(1-p)^n\)；至多发生一次 \(=P(\text{0 次})+P(\text{1 次})=(1-p)^n+C_n^1p(1-p)^{n-1}=(1-p)^n+np(1-p)^{n-1}=\boxed{[1+(n-1)p](1-p)^{n-1}}\)。
  • 易错坑点：前提是「独立重复」，各次结果互不影响；「至少一次」用对立；「至多一次」= 0 次 + 1 次，别漏 0 次。
  • 配套练习：某运动员罚球命中率 \(0.6\)，独立罚 4 次，求至少命中一次的概率。（答案：\(1-0.4^4=1-0.0256=0.9744\)）

配套练习（本章综合）

  1. 盒中有 4 个白球、2 个黑球，从中任取 2 个，求恰取到 1 白 1 黑的概率。（答案：\(\dfrac{8}{15}\)）
  2. 设 \(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\cup B)=0.7\)，求 \(P(A|B)\)。（答案：\(0.4\)）
  3. 甲、乙两人独立射击，命中率分别为 \(0.8\) 和 \(0.7\)，各射一次，求恰有一人命中的概率。（答案：\(0.38\)）
  4. 某厂甲、乙两车间产量各占 \(60\%、40\%\)，次品率分别为 \(3\%、5\%\)，任取一件，求是次品的概率。（答案：\(0.038\)）
  5. 续上题，已知取到的是次品，求它来自乙车间的概率。（答案：\(\dfrac{10}{19}\)）
  6. 甲、乙两人在 \([0,60]\)（分钟）内随机到达，先到者等候 20 分钟即离去，求两人能相遇的概率。（答案：\(\dfrac59\)）

学完本章的检验标准

  1. 能写出给定随机试验的样本空间，判断事件间的关系，并用交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律化简事件表达式。
  2. 能熟练用加法公式、对立事件、德摩根律计算事件概率（含「至少/至多/恰有一个发生」）。
  3. 会用排列组合解古典概型（摸球、抽签、生日等），且计数口径一致。
  4. 会用长度比、面积比解几何概型（等车、约会问题）。
  5. 能正确区分并使用条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式（由因求果 vs 由果溯因）。
  6. 能区分两两独立与相互独立，判断事件是否独立，并用伯努利公式计算 \(n\) 重试验概率。

全部达到后，进入第2章「随机变量及其分布」（把事件数字化，引入分布函数）