上一章用「事件」描述随机现象，本章引入「随机变量」，把事件数字化：用 X 的取值来描述结果，用分布函数/分布律/密度函数完整刻画随机变量（含二维随机变量，对应《多维随机变量及其分布》）。
前置知识：第1章「随机事件与概率」、高中排列组合，以及微积分（连续型部分需要定积分、二重积分）。本章是概率论的核心，务必逐点吃透。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、随机变量与分布函数

1.1 随机变量的概念

  • 是什么/定义：把样本空间 Ω 中每个样本点 ω 对应到一个实数 X(ω) 的映射，称 X 为随机变量。
  • 性质/公式：随机变量本质是「函数」（从样本空间到实数集），不是普通变量；引入它后，「随机事件」就化为「X 满足某不等式」的集合，如 \(\{X\le 2\}\)。
  • 怎么考：①由实际问题定义随机变量并写出取值集合；②区分离散型（取值可列）与连续型（取值充满区间）；③判断某个对应规则是否构成随机变量。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】抛一枚硬币，正面朝上记 \(X=1\)，反面朝上记 \(X=0\)。写出 \(X\) 的取值集合与各取值概率。
    • 解：取值集合 \(\{0,1\}\)；\(P(X=1)=P(X=0)=\dfrac12\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】掷一枚骰子，\(X=\) 掷出的点数。写出 \(X\) 的值域，并说明事件 \(\{X\le 3\}\) 的含义。
    • 解：值域为 \(\{1,2,3,4,5,6\}\)；\(\{X\le 3\}\) 表示「掷出的点数不超过 3」，即 \(\{1,2,3\}\)。
  • 易错坑点：随机变量是「函数」而不是「数」，但解题时按变量处理即可；一个样本点必须对应唯一实数，不能一对多。
  • 配套练习：抛两枚硬币，\(X=\) 正面朝上的个数，写出 \(X\) 的可能取值。（答案：\(0,1,2\)）

1.2 分布函数

  • 是什么/定义：\(F(x)=P(X\le x)\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)，称 \(F(x)\) 为 \(X\) 的分布函数。
  • 性质/公式（判断一个函数是否为分布函数的依据）：
    1. 单调不减：\(x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)\le F(x_2)\)；
    2. 有界：\(0\le F(x)\le 1\)，且 \(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)；
    3. 右连续：\(F(x)=F(x+0)\)。
  • 区间概率公式：\(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\)；单点概率：\(P(X=a)=F(a)-F(a-0)\)（即 \(F\) 在 \(a\) 处的跳跃高度）。
  • 怎么考：①判断某函数是否为分布函数；②用 \(F(x)\) 求区间概率、单点概率；③已知分布函数反解参数（用 \(F(+\infty)=1\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)=x\)（\(0\le x\le 1\)），即 \(X\sim U(0,1)\)。求 \(P(0.25<X\le 0.75)\)。
    • 解：\(P(0.25<X\le 0.75)=F(0.75)-F(0.25)=0.75-0.25=\boxed{0.5}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ \frac12,&0\le x<1\\ 1,&x\ge 1\end{cases}\)。求 \(P(X=0)\)、\(P(0<X\le 1)\)、\(P(0\le X<1)\)。
    • 解：\(P(X=0)=F(0)-F(0-0)=\frac12-0=\boxed{\frac12}\)；\(P(0<X\le 1)=F(1)-F(0)=1-\frac12=\boxed{\frac12}\)；\(P(0\le X<1)=F(1-0)-F(0-0)=\frac12-0=\boxed{\frac12}\)。
  • 易错坑点：分布函数对所有实数都有定义；连续型 \(F(x)\) 连续，离散型 \(F(x)\) 是阶梯函数（跳跃点高度=该点概率）；注意定义用的是「\(\le\)」，与右连续对应。
  • 配套练习：设 \(X\sim U(0,2)\)，求 \(P(0.5<X\le 1.5)\)。（答案：\(F(1.5)-F(0.5)=\frac{1.5}2-\frac{0.5}2=\dfrac12\)）

二、离散型随机变量

2.1 分布律（概率分布）

  • 是什么/定义：\(X\) 的全部可能取值 \(x_1,x_2,\dots\) 及其概率 \(p_k=P(X=x_k)\) 列成的表或式子。
  • 性质/公式：\(p_k\ge 0\)；\(\sum_k p_k=1\)；分布函数 \(F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k\)。
  • 怎么考：①由分布律求概率、求分布函数；②利用「\(\sum p_k=1\)」求分布律中的未知参数；③由分布函数反查分布律（看跳跃点）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\) 的分布律 \(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)。求 \(P(X\ge 1)\) 与 \(F(1.5)\)。
    • 解：\(P(X\ge 1)=0.3+0.5=0.8\)；\(F(1.5)=P(X\le 1.5)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.3=\boxed{0.5}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设离散型 \(X\) 的分布律为 \(P(X=k)=a\cdot k\ (k=1,2,3,4)\)，求常数 \(a\)。
    • 解：由 \(\sum p_k=a(1+2+3+4)=10a=1\)，得 \(\boxed{a=\frac1{10}}\)。
  • 易错坑点：写分布律后务必检查「所有概率之和是否等于 1」；分布函数在取值点处有跳跃。
  • 配套练习：设 \(X\) 的分布律 \(P(X=-1)=0.3\)，\(P(X=0)=0.5\)，\(P(X=1)=0.2\)，求 \(P(X\le 0)\) 和 \(F(0)\)。（答案：\(0.8\)；\(F(0)=P(X\le 0)=0.8\)）

2.2 0-1 分布（两点分布）

  • 是什么/定义：\(X\) 只取 \(0,1\) 两个值，\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1-p\)。
  • 性质/公式：一次试验只有成功/失败两种结果的模型；期望与方差（数字特征第3章正式学，这里先记）：\(E(X)=p\)，\(D(X)=p(1-p)\)。
  • 怎么考：①识别 0-1 分布模型并写出分布律；②由分布律求概率；③与分布函数结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim 0\text{-}1(p)\)，\(p=0.7\)，写出 \(X\) 的分布律。
    • 解：\(P(X=1)=0.7\)，\(P(X=0)=0.3\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】一次试验成功的概率为 \(p\)，\(X=\begin{cases}1,&\text{成功}\\ 0,&\text{失败}\end{cases}\)，求 \(P(X=0)\)。
    • 解：\(P(X=0)=1-p\)。
  • 易错坑点：两点分布就是 \(n=1\) 的二项分布；两个取值不必是 0 和 1（如「\(+1\) 和 \(-1\)」也是两点分布）。
  • 配套练习：设 \(X\sim 0\text{-}1(0.4)\)，求 \(P(X=1)\) 与 \(P(X\le 0)\)。（答案：\(0.4\)；\(0.6\)）

2.3 二项分布

  • 是什么/定义：\(X\) 表示 \(n\) 重伯努利试验中成功的次数，记 \(X\sim B(n,p)\)。
  • 性质/公式：分布律 \(P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)，\(k=0,1,\dots,n\)；期望与方差：\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。
  • 背景：有放回抽取、\(n\) 次独立重复试验。
  • 怎么考：①识别二项模型并写分布律；②求 \(P(X=k)\)、\(P(X\ge 1)\) 等；③与「至少/至多」的补事件技巧结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim B(10,0.3)\)，求 \(P(X=2)\)。
    • 解：\(P(X=2)=C_{10}^{2}\cdot0.3^2\cdot0.7^{8}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】每次射击命中率 \(0.8\)，独立射击 \(5\) 次，求至少命中 \(1\) 次的概率。
    • 解：\(P(\text{至少命中}1)=1-P(\text{全未命中})=1-(0.2)^5=1-0.00032=\boxed{0.99968}\)。
  • 易错坑点：「无放回」抽取不服从二项分布（服从超几何分布）；\(n=1\) 时退化为 0-1 分布。
  • 配套练习：设 \(X\sim B(4,0.5)\)，求 \(P(X=2)\)。（答案：\(C_4^2\cdot0.5^4=\dfrac38\)）

2.4 泊松分布

  • 是什么/定义：\(X\sim P(\lambda)\)，\(\lambda>0\)。
  • 性质/公式：分布律 \(P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\dots\)；期望与方差：\(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)。
  • 泊松定理：当 \(n\) 很大、\(p\) 很小且 \(np=\lambda\) 适中时，\(C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\approx\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)（\(\lambda=np\)）。
  • 背景：单位时间/面积内稀有事件发生的次数。
  • 怎么考：①直接求 \(P(X=k)\)；②用泊松近似二项（\(n\) 大 \(p\) 小）；③由 \(\sum p_k=1\) 反解参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim P(2)\)，求 \(P(X=1)\)。
    • 解：\(P(X=1)=\dfrac{2^1 e^{-2}}{1!}=\boxed{2e^{-2}}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】某事件在 \(n=500\) 次独立试验中发生的概率 \(p=0.004\)，用泊松分布近似 \(P(X=2)\)。
    • 解：\(\lambda=np=2\)，\(P(X=2)\approx\dfrac{2^2 e^{-2}}{2!}=2e^{-2}\)。
  • 易错坑点：泊松分布取值是 \(0,1,2,\dots\)（无穷多个），不是 \(0\) 到 \(n\)；泊松近似要求「\(n\) 大、\(p\) 小」。
  • 配套练习：设 \(X\sim P(1)\)，求 \(P(X=0)\)。（答案：\(e^{-1}\)）

2.5 几何分布

  • 是什么/定义：\(X\) 表示「首次成功所需的试验次数」，即第 \(k\) 次才首次成功。
  • 性质/公式：分布律 \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)，\(k=1,2,\dots\)；期望与方差：\(E(X)=\dfrac1p\)，\(D(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\)。
  • 无记忆性：已经失败了若干次，不影响后续「还要等几次才成功」的分布。
  • 怎么考：①写分布律并求概率；②识别「首次成功」模型；③用无记忆性快速计算。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】每次投篮命中率 \(p=0.5\)，独立投篮，\(X=\) 首次命中所需次数，求 \(P(X=3)\)。
    • 解：\(P(X=3)=(1-0.5)^{2}\cdot0.5=\boxed{\dfrac18}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】几何分布 \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)，验证 \(\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)=1\)。
    • 解：等比数列求和 \(\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k-1}p=p\cdot\dfrac{1}{1-(1-p)}=1\)。
  • 易错坑点：几何分布 \(k\) 从 \(1\) 开始（若定义「失败次数」则从 \(0\) 开始，注意题目约定）；无记忆性是几何分布（离散）与指数分布（连续）的共有特征。
  • 配套练习：每次试验成功概率 \(p=\frac13\)，\(X=\) 首次成功次数，求 \(P(X\le 2)\)。（答案：\(p+(1-p)p=\frac13+\frac29=\dfrac59\)）

2.6 超几何分布

  • 是什么/定义：\(N\) 件产品中有 \(M\) 件次品，无放回抽取 \(n\) 件，\(X\) 为其中次品数。
  • 性质/公式：分布律 \(P(X=k)=\dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)，\(k\) 满足 \(\max(0,n-(N-M))\le k\le\min(n,M)\)；期望：\(E(X)=n\cdot\dfrac MN\)。
  • 怎么考：①识别无放回抽取模型；②写分布律并求概率；③与二项分布作区分。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】10 件产品中有 3 件次品，无放回抽取 2 件，\(X=\) 次品数，求 \(P(X=1)\)。
    • 解：\(P(X=1)=\dfrac{C_3^1 C_7^1}{C_{10}^2}=\dfrac{21}{45}=\boxed{\dfrac7{15}}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】判断：从 \(N\) 件（含 \(M\) 件次品）中有放回抽 \(n\) 件，次品数服从超几何分布吗？
    • 解：不服从。有放回时每次抽中次品概率恒为 \(p=\frac MN\)，次品数服从 \(B(n,p)\)；无放回才服从超几何分布。
  • 易错坑点：「无放回」是超几何、「有放回」是二项；\(N\) 很大时超几何近似二项（\(p=\frac MN\)）。
  • 配套练习：8 件产品中 2 件次品，无放回抽 3 件，\(X=\) 次品数，求 \(P(X=0)\)。（答案：\(\dfrac{C_6^3}{C_8^3}=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}\)）

三、连续型随机变量

3.1 概率密度函数

  • 是什么/定义：若存在非负可积函数 \(f(x)\)，使 \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt\)，则 \(X\) 为连续型随机变量，\(f(x)\) 为概率密度。
  • 性质/公式：
    1. \(f(x)\ge 0\)；
    2. \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1\)（规范性，用来求参数）；
    3. \(P(a<X\le b)=P(a\le X<b)=\int_a^b f(x)\,dx\)；
    4. 在 \(f(x)\) 的连续点处 \(F'(x)=f(x)\)。
  • 重要结论：连续型随机变量取任意指定值的概率为 \(0\)，即 \(P(X=a)=0\)。
  • 怎么考：①由规范性求密度中的参数；②由密度求区间概率；③由密度求分布函数（分段积分）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\) 的概率密度 \(f(x)=\begin{cases}kx,&0\le x\le 2\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)。求（1）\(k\)；（2）\(P(1\le X<2)\)；（3）\(F(x)\)。
    • 解：（1）由 \(\int_0^2 kx\,dx=2k=1\) 得 \(k=\frac12\)；（2）\(P(1\le X<2)=\int_1^2\frac12 x\,dx=\frac34\)；（3）\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ \frac{x^2}{4},&0\le x<2\\ 1,&x\ge 2\end{cases}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x)=\begin{cases}3x^2,&0<x<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(P(0.5<X<1)\) 与 \(F(x)\)。
    • 解：\(P(0.5<X<1)=\int_{0.5}^1 3x^2\,dx=x^3\big|_{0.5}^{1}=1-0.125=\boxed{0.875}\)；\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ x^3,&0\le x<1\\ 1,&x\ge 1\end{cases}\)。
  • 易错坑点：\(f(x)\) 不是概率（可以大于 1），只有积分才是概率；\(P(X=a)=0\) 但 \(\{X=a\}\) 不是不可能事件；分布函数是分段函数，务必覆盖 \((-\infty,+\infty)\) 全范围。
  • 配套练习：设 \(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(P(0.2<X<0.8)\)。（答案：\(x^2\big|_{0.2}^{0.8}=0.6\)）

3.2 均匀分布

  • 是什么/定义：\(X\sim U(a,b)\)，密度 \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\)（\(a<x<b\)），其他为 \(0\)。
  • 性质/公式：分布函数 \(F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\ \dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b\\ 1,&x\ge b\end{cases}\)；期望与方差：\(E(X)=\dfrac{a+b}{2}\)，\(D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)。
  • 背景：落在区间内任意子区间的概率只与长度成正比。
  • 怎么考：①求区间概率（长度比）；②由均匀分布求分布函数、密度；③与几何概率结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim U(0,4)\)，求 \(P(1<X<3)\)。
    • 解：\(P(1<X<3)=\dfrac{3-1}{4-0}=\boxed{\dfrac12}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】某班车每 10 分钟一班，乘客随机到达车站，等待时间 \(X\sim U(0,10)\)，求 \(P(X>4)\)。
    • 解：\(P(X>4)=\dfrac{10-4}{10-0}=\boxed{0.6}\)。
  • 易错坑点：均匀分布概率是「长度比」，注意区间的开闭端点（连续型无所谓）；密度在区间外为 0。
  • 配套练习：设 \(X\sim U(1,5)\)，求 \(P(2<X<4)\) 与 \(E(X)\)。（答案：\(\dfrac12\)；\(3\)）

3.3 指数分布

  • 是什么/定义：\(X\sim E(\lambda)\)（\(\lambda>0\)），密度 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x>0\)），\(x\le 0\) 时为 \(0\)。
  • 性质/公式：分布函数 \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)（\(x>0\)）；期望与方差：\(E(X)=\dfrac1\lambda\)，\(D(X)=\dfrac1{\lambda^2}\)。
  • 无记忆性：\(P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\)。
  • 背景：寿命、等待时间。
  • 怎么考：①求 \(P(X>t)\)；②用无记忆性；③由密度求参数（\(\int f=1\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim E(\lambda)\)，求 \(P(X>t)\)。
    • 解：\(P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】某元件寿命 \(X\sim E(\lambda)\)，已工作 \(s\) 小时后仍正常，求再工作 \(t\) 小时的概率。
    • 解：\(P(X>s+t\mid X>s)=\dfrac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\dfrac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)\)。
  • 易错坑点：指数分布参数有的教材记 \(E(\lambda)\)（密度 \(\lambda e^{-\lambda x}\)），有的记均值 \(\frac1\lambda\)，注意题目给的密度形式；无记忆性必须注意条件写法。
  • 配套练习：设 \(X\sim E(2)\)，求 \(P(X>1)\)。（答案：\(e^{-2}\)）

3.4 正态分布（一维）

  • 是什么/定义：\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，密度 \(f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，\(x\in\mathbb R\)。
  • 性质/公式：
    1. 密度关于 \(x=\mu\) 对称，\(\mu\) 为位置参数，\(\sigma\) 为形状参数（\(\sigma\) 越小越尖）；
    2. 标准正态 \(N(0,1)\)：密度 \(\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)，分布函数 \(\Phi(x)\)；
    3. \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\)；
    4. 标准化：若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，故 \(P(X\le a)=\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)；
    5. 3σ 原则：\(P(|X-\mu|<\sigma)\approx0.6826\)，\(P(|X-\mu|<2\sigma)\approx0.9544\)，\(P(|X-\mu|<3\sigma)\approx0.9974\)。
  • 怎么考：①标准化后求概率；②用对称性 \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\) 化简；③由已知概率反解 \(\mu\) 或 \(\sigma\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim N(2,9)\)，求 \(P(X>-1)\)。
    • 解：\(P(X>-1)=1-P(X\le -1)=1-\Phi\!\left(\dfrac{-1-2}{3}\right)=1-\Phi(-1)=\boxed{\Phi(1)}\)。
  • 【例2·真题】2004年·数一·第13题(选择)：设 \(X\sim N(0,1)\)，对给定的 \(\alpha\ (0<\alpha<1)\)，数 \(u_\alpha\) 满足 \(P\{X>u_\alpha\}=\alpha\)。若 \(P\{|X|<x\}=\alpha\)，则 \(x=\)（　）。(A) \(u_{\alpha/2}\) (B) \(u_{1-\alpha/2}\) (C) \(u_{(1-\alpha)/2}\) (D) \(u_{1-\alpha}\)。
    • 解：\(P\{|X|<x\}=\alpha\) 即 \(P\{|X|\ge x\}=1-\alpha\)，由对称性 \(P\{X\ge x\}=\dfrac{1-\alpha}{2}\)，故 \(x=u_{(1-\alpha)/2}\)，选 (C)。
  • 易错坑点：正态分布必须标准化后再查表/计算；\(\Phi(x)\) 无初等表达式，考试直接给 \(\Phi\) 值或用对称性化简；\(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\) 是最常用化简。
  • 配套练习：设 \(X\sim N(1,4)\)，求 \(P(X\le 3)\)。（答案：\(\Phi\!\left(\dfrac{3-1}{2}\right)=\Phi(1)\)）

四、二维随机变量

4.1 联合分布函数

  • 是什么/定义：\(F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)\)，称二维联合分布函数。
  • 性质/公式：
    1. 对每个变量单调不减；\(0\le F(x,y)\le 1\)；
    2. \(F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)；关于每个变量右连续；
    3. 边缘分布函数：\(F(x,+\infty)=F_X(x)\)，\(F(+\infty,y)=F_Y(y)\)；
    4. 矩形区域概率公式：\(P(a<X\le b,\ c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\)。
  • 怎么考：①由联合分布函数求边缘分布函数；②用矩形区域概率公式求区域概率；③判断 \(F(x,y)\) 是否为联合分布函数（看四条性质）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}),&x>0,y>0\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求边缘分布函数 \(F_X(x)\)。
    • 解：\(F_X(x)=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}(1-e^{-2x})(1-e^{-3y})=1-e^{-2x}\ (x>0)\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】沿用上例，求 \(P(0<X\le 1,\ 0<Y\le 1)\)。
    • 解：由矩形区域概率公式，\(P=F(1,1)-F(0,1)-F(1,0)+F(0,0)=(1-e^{-2})(1-e^{-3})-0-0+0=\boxed{(1-e^{-2})(1-e^{-3})}\)。
  • 易错坑点：矩形区域概率公式中四个顶点一加一减的符号要记准（\(F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\)）；\(F(x,y)\) 对两个变量分别单调不减且右连续。
  • 配套练习：设 \(F(x,y)\) 为联合分布函数，用公式写出 \(P(0<X\le 2,\ 0<Y\le 3)\)。（答案：\(F(2,3)-F(0,3)-F(2,0)+F(0,0)\)）

4.2 二维离散型：联合分布律与边缘分布律

  • 是什么/定义：联合分布律 \(P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\)，\(p_{ij}\ge 0\)，\(\sum_i\sum_j p_{ij}=1\)。
  • 性质/公式：边缘分布律——\(P(X=x_i)=\sum_j p_{ij}\)（按行求和）；\(P(Y=y_j)=\sum_i p_{ij}\)（按列求和）。
  • 怎么考：①给联合分布表求边缘分布律；②由 \(\sum p_{ij}=1\) 求未知参数；③由边缘反推联合（一般不能唯一确定）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \((X,Y)\) 联合分布律：\(P(1,1)=0.2,\ P(1,2)=0.3,\ P(2,1)=0.1,\ P(2,2)=0.4\)。求 \(X\)、\(Y\) 的边缘分布律。
    • 解：\(P(X=1)=0.2+0.3=0.5\)，\(P(X=2)=0.1+0.4=0.5\)；\(P(Y=1)=0.2+0.1=0.3\)，\(P(Y=2)=0.3+0.4=0.7\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设联合分布律中 \(P(1,1)=a\)，\(P(1,2)=P(2,1)=P(2,2)=\dfrac14\)。求 \(a\) 及边缘分布，并判断 \(X,Y\) 是否独立。
    • 解：由规范性 \(a+\frac14+\frac14+\frac14=1\) 得 \(a=\frac14\)。边缘：\(P(X=1)=P(X=2)=\frac12\)，\(P(Y=1)=P(Y=2)=\frac12\)。对一切 \(i,j\) 有 \(p_{ij}=\frac14=\frac12\cdot\frac12=p_{i\cdot}p_{\cdot j}\)，故 \(X,Y\) 独立。
  • 易错坑点：边缘分布是「把另一个变量所有可能取值加总」，行、列要分清；「边缘」是在表格边缘相加，故得名。
  • 配套练习：设 \(P(0,0)=0.1,\ P(0,1)=0.2,\ P(1,0)=0.3,\ P(1,1)=0.4\)，求 \(P(Y=1)\) 与 \(P(X=1)\)。（答案：\(0.6\)；\(0.7\)）

4.3 二维连续型：联合密度与边缘密度

  • 是什么/定义：联合密度 \(f(x,y)\ge 0\)，\(\iint_{\mathbb R^2}f(x,y)\,dx\,dy=1\)；\(F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,dv\,du\)。
  • 性质/公式：
  • 边缘密度：\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy\)；\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx\)；
  • 区域概率：\(P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy\)。
  • 怎么考：①求边缘密度（注意积分上下限）；②求区域概率（画图定限）；③由 \(\iint f=1\) 求参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求边缘密度 \(f_X(x),f_Y(y)\)。
    • 解：\(f_X(x)=\int_0^1 4xy\,dy=2x\ (0<x<1)\)；\(f_Y(y)=\int_0^1 4xy\,dx=2y\ (0<y<1)\)。
  • 【例2·真题】2007年·数一·第23题(解答)：设 \((X,Y)\) 的概率密度 \(f(x,y)=\begin{cases}2-x-y,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)。(Ⅰ) 求 \(P\{X>2Y\}\)。
    • 解：区域为 \(0<x<1,\ 0<y<1,\ x>2y\)。画图定限：由 \(x>2y\) 且 \(x<1\) 得 \(y<\frac12\)，故 \(y\) 从 \(0\) 到 \(\frac12\)、\(x\) 从 \(2y\) 到 \(1\)：
      \[P(X>2Y)=\int_0^{1/2}\!\int_{2y}^{1}(2-x-y)\,dx\,dy=\int_0^{1/2}\!\left(\frac32-5y+4y^2\right)dy=\boxed{\frac{7}{24}}.\]
      （第(Ⅱ)问 \(Z=X+Y\) 见 5.3 例2。）
  • 易错坑点：求边缘密度时要带对「积分上下限」，且结果要写成分段函数（注意变量的有效范围）；区域概率要先画图再定限。
  • 配套练习：设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(P\!\left(X>\frac12\right)\)。（答案：\(\int_{1/2}^1 2x\,dx=\dfrac34\)）

4.4 二维均匀分布

  • 是什么/定义：设平面区域 \(D\) 的面积为 \(S_D\)，若 \((X,Y)\) 的联合密度 \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac1{S_D},&(x,y)\in D\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，则称 \((X,Y)\) 在 \(D\) 上服从二维均匀分布。
  • 性质/公式：区域概率 = 面积比：对 \(A\subseteq D\)，\(P((X,Y)\in A)=\dfrac{S_A}{S_D}\)（等价于 \(\iint_A\frac1{S_D}\,dx\,dy\)）。
  • 怎么考：①写出均匀分布的联合密度；②用面积比求区域概率；③由二维均匀分布进一步求函数分布（如 \(Z=|X-Y|\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \((X,Y)\) 在单位圆 \(D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}\) 上均匀分布，写出 \(f(x,y)\) 并求 \(P\!\left(X^2+Y^2\le\frac14\right)\)。
    • 解：\(S_D=\pi\)，故 \(f(x,y)=\dfrac1\pi\ ((x,y)\in D)\)；\(P\!\left(X^2+Y^2\le\frac14\right)=\dfrac{\pi(1/2)^2}{\pi}=\boxed{\dfrac14}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \((X,Y)\) 在区域 \(D=\{(x,y):1\le x\le 3,\ 1\le y\le 3\}\) 上服从二维均匀分布，求 \(Z=|X-Y|\) 的密度函数 \(f_Z(z)\)。
    • 解：\(S_D=4\)，\(f(x,y)=\dfrac14\ ((x,y)\in D)\)。\(Z=|X-Y|\in[0,2]\)。对 \(0\le z\le 2\)：
      \[F_Z(z)=P(|X-Y|\le z)=1-P(|X-Y|>z)=1-\frac{(2-z)^2}{4}.\]
      其中 \(|X-Y|>z\) 是两块直角边长为 \(2-z\) 的等腰直角三角形（面积各 \(\frac{(2-z)^2}{2}\)，共 \((2-z)^2\)）。求导得
      \[f_Z(z)=F_Z'(z)=\frac{2-z}{2},\quad 0<z<2,\ \text{其余为 }0.\]
  • 易错坑点：二维均匀分布的密度是「1 除以区域面积」，不是长度；区域概率用面积比时注意 \(A\) 必须落在 \(D\) 内。
  • 配套练习：设 \((X,Y)\) 在 \(D=\{(x,y):0<x<2,\ 0<y<2\}\) 上均匀分布，求 \(P(X<1,Y<1)\)。（答案：\(\dfrac{1\times1}{2\times2}=\dfrac14\)）

4.5 二维正态分布

  • 是什么/定义：\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)，密度为
    \[f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\!\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\},\]
    其中 \(\mu_1,\mu_2\) 为均值，\(\sigma_1,\sigma_2>0\) 为标准差，\(|\rho|<1\) 为相关系数。考试常只记「记法 \(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)」而不展开密度。
  • 性质/公式（必须背熟）：
    1. 边缘分布：\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)；
    2. \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 \(\iff \rho=0\)（仅对二维正态成立！）；
    3. 线性组合仍正态：\(aX+bY\sim N\!\left(a\mu_1+b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+2ab\rho\sigma_1\sigma_2\right)\)；
    4. 条件分布仍正态。
  • 怎么考：①给二维正态求边缘分布；②由 \(\rho=0\) 判断独立、由独立推 \(\rho=0\)；③求线性组合的分布（常考 \(X-Y\)、\(X+Y\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \((X,Y)\sim N(1,2,1,4,0)\)，写出 \(X\)、\(Y\) 的边缘分布，并判断独立性。
    • 解：\(X\sim N(1,1)\)，\(Y\sim N(2,4)\)；因 \(\rho=0\)，故 \(X,Y\) 相互独立。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \((X,Y)\sim N(0,0,1,1,\frac12)\)，求 \(Z=X-Y\) 的分布。
    • 解：\(a=1,b=-1\)，故 \(Z\sim N\!\left(0,\ 1+1-2\cdot\frac12\cdot1\cdot1\right)=N(0,1)\)。
  • 易错坑点：「\(\rho=0\Rightarrow\) 独立」是二维正态特有结论，一般情形 \(\rho=0\) 只是不相关、不等于独立；线性组合方差里交叉项 \(2ab\rho\sigma_1\sigma_2\) 千万别漏。
  • 配套练习：设 \((X,Y)\sim N(0,0,1,1,0)\)，求 \(X+Y\) 的分布。（答案：\(N(0,2)\)）

4.6 条件分布

  • 是什么/定义：
  • 离散条件分布律：\(P(Y=y_j\mid X=x_i)=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}\)（要求 \(p_{i\cdot}>0\)）；
  • 连续条件密度：\(f_{Y|X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\)（要求 \(f_X(x)>0\)）。
  • 性质/公式：条件分布也要「归一」：\(\sum_j P(Y=y_j\mid X=x_i)=1\)，\(\int f_{Y|X}(y\mid x)\,dy=1\)。
  • 怎么考：①给联合分布表求条件分布律；②给联合密度求条件密度；③用条件密度/分布律求条件概率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】沿用 4.2 例1 的联合分布律，求 \(P(Y=2\mid X=1)\)。
    • 解：\(P(Y=2\mid X=1)=\dfrac{P(X=1,Y=2)}{P(X=1)}=\dfrac{0.3}{0.5}=\boxed{0.6}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(f_{Y|X}(y\mid x)\) 与 \(P\!\left(Y>\frac12\mid X=\frac12\right)\)。
    • 解：\(f_X(x)=2x\)，故 \(f_{Y|X}(y\mid x)=\dfrac{4xy}{2x}=2y\ (0<y<1)\)；\(P\!\left(Y>\frac12\mid X=\frac12\right)=\int_{1/2}^{1}2y\,dy=1-\frac14=\boxed{\frac34}\)。
  • 易错坑点：条件分布的分母是「条件那个变量的边缘概率/密度」，不能拿错；条件密度作为 \(y\) 的函数也要非负、积分为 1。
  • 配套练习：设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(P\!\left(Y<\frac12\mid X=\frac12\right)\)。（答案：\(\int_0^{1/2}2y\,dy=\dfrac14\)）

4.7 随机变量的独立性

  • 是什么/定义：若 \(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\) 对一切 \(x,y\) 成立，则 \(X,Y\) 相互独立。
  • 性质/公式（判定方法）：
  • 离散：\(p_{ij}=p_{i\cdot}\,p_{\cdot j}\) 对一切 \(i,j\) 成立；
  • 连续：\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（几乎处处）成立；
  • 二维正态：\(X,Y\) 独立 \(\iff \rho=0\)。
  • 怎么考：①验证独立（离散看表、连续看密度分解）；②由独立把联合概率拆成边缘概率相乘；③独立 + 正态等分布求事件概率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，判断 \(X,Y\) 是否独立。
    • 解：\(f_X(x)=2x\)，\(f_Y(y)=2y\)，且 \(f(x,y)=4xy=(2x)(2y)=f_X(x)f_Y(y)\)，故 \(X,Y\) 独立。
  • 【例2·真题】2015年·数一·填空：设 \(X\sim N(1,1)\)，\(Y\sim N(0,1)\)，且 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，则 \(P\{XY-Y<0\}=\) ____。
    • 解：\(P\{XY-Y<0\}=P\{Y(X-1)<0\}=P(Y<0,X>1)+P(Y>0,X<1)\)。由 \(Y\sim N(0,1)\) 对称知 \(P(Y<0)=P(Y>0)=\frac12\)；由 \(X\sim N(1,1)\) 知 \(P(X>1)=P(X<1)=\frac12\)；独立得原式 \(=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12=\boxed{\dfrac12}\)。
  • 易错坑点：独立需「对所有 \(x,y\)（或所有 \(i,j\)）」都成立，仅个别点相等不能判定；连续情形在个别点不成立也可独立（考试一般给密度直接验证）。
  • 配套练习：设 \(P(0,0)=P(0,1)=P(1,0)=P(1,1)=\dfrac14\)，判断 \(X,Y\) 是否独立。（答案：独立，\(p_{ij}=\frac14=\frac12\cdot\frac12\)）

五、随机变量函数的分布

5.1 一维离散型 \(Y=g(X)\)

  • 是什么/定义：先列 \(X\) 的取值，代入 \(g\) 得 \(Y\) 的取值，相同值合并、对应概率相加。
  • 性质/公式：\(P(Y=y_k)=\sum_{x_i:\ g(x_i)=y_k}P(X=x_i)\)。
  • 怎么考：①给离散 \(X\) 求 \(Y=g(X)\) 的分布律；②求 \(Y\) 取某值的概率；③求 \(Y\) 的期望（第3章）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\) 取 \(-1,0,1\) 的概率各为 \(\frac13\)，\(Y=X^2\)，求 \(Y\) 的分布律。
    • 解：\(Y\in\{0,1\}\)；\(P(Y=0)=P(X=0)=\frac13\)，\(P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac13+\frac13=\frac23\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim B(2,\frac12)\)（即 \(P(X=0)=\frac14,P(X=1)=\frac12,P(X=2)=\frac14\)），\(Y=(X-1)^2\)，求 \(Y\) 的分布律。
    • 解：\(Y\in\{0,1\}\)；\(P(Y=0)=P(X=1)=\frac12\)，\(P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=\frac14+\frac14=\boxed{\frac12}\)。
  • 易错坑点：\(g(X)\) 出现相同值时要把概率「合并相加」，不能重复计；合并后概率和仍应为 1。
  • 配套练习：设 \(X\) 取 \(0,1,2\) 的概率各为 \(\frac13\)，\(Y=2X\)，求 \(P(Y=2)\)。（答案：\(\frac13\)）

5.2 一维连续型 \(Y=g(X)\)（分布函数法）

  • 是什么/定义（步骤）：① 求 \(F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)\)；② 解出 \(X\) 的区间，用 \(X\) 的分布表示；③ 对 \(y\) 求导得 \(f_Y(y)=F_Y'(y)\)。
  • 性质/公式（公式法，\(g\) 严格单调时）：若 \(y=g(x)\) 严格单调、可导且 \(g'(x)\ne 0\)，则 \(f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|\)，其中 \(x=h(y)\) 是反函数。
  • 怎么考：①线性函数 \(Y=aX+b\)；②平方、绝对值等分段函数 \(Y=X^2\)、\(Y=|X|\)；③求密度或分布函数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim U(0,1)\)，\(Y=2X+1\)，求 \(f_Y(y)\)。
    • 解：\(F_Y(y)=P(2X+1\le y)=P\!\left(X\le\frac{y-1}{2}\right)\)。当 \(1<y<3\) 时 \(F_Y(y)=\frac{y-1}{2}\)，故 \(f_Y(y)=\frac12\ (1<y<3)\)，其余为 0。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y=X^2\)，求 \(f_Y(y)\)。
    • 解：\(F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y)=2\Phi(\sqrt y)-1\ (y>0)\)，求导得 \(f_Y(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\ (y>0)\)，其余为 0。
  • 易错坑点：分布函数法最通用，别漏「分段讨论 \(y\) 的范围」；公式法要注意 \(g\) 的单调性（不单调时要分段求反函数）。
  • 配套练习：设 \(X\sim U(0,2)\)，\(Y=X+1\)，求 \(f_Y(y)\) 的非零区间与值。（答案：\(f_Y(y)=\frac12\ (1<y<3)\)）

5.3 二维函数 \(Z=X+Y\)（卷积公式）

  • 是什么/定义：\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx\)；当 \(X,Y\) 独立时 \(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx\)。
  • 性质/公式：积分限由 \(f\) 的非零区域决定，别直接写 \((-\infty,+\infty)\)；先按 \(z\) 的分段区间讨论。
  • 怎么考：①两个均匀、指数等的和；②给联合密度求 \(Z=X+Y\) 的密度（画图定限）；③结合 \(P(X>2Y)\) 等区域概率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，\(Z=X+Y\)，求 \(f_Z(z)\)。
    • 解：卷积 \(f_Z(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx\)。当 \(0<z<1\)：\(f_Z(z)=\int_0^z 1\,dx=z\)；当 \(1<z<2\)：\(f_Z(z)=\int_{z-1}^{1}1\,dx=2-z\)；其余为 0（三角分布）。
  • 【例2·真题】2007年·数一·第23题(解答·第(Ⅱ)问)：沿用 4.3 例2 的 \(f(x,y)=2-x-y\ (0<x<1,0<y<1)\)，求 \(Z=X+Y\) 的概率密度 \(f_Z(z)\)。
    • 解：\(f_Z(z)=\int f(x,z-x)\,dx\)，其中 \(0<x<1,\ 0<z-x<1\)。当 \(0<z<1\)：\(f_Z(z)=\int_0^z[2-x-(z-x)]\,dx=z(2-z)\)；当 \(1<z<2\)：\(f_Z(z)=\int_{z-1}^{1}[2-x-(z-x)]\,dx=(2-z)^2\)；其余为 0。即 \(f_Z(z)=\begin{cases}z(2-z),&0<z<1\\ (2-z)^2,&1<z<2\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)。
  • 易错坑点：卷积积分限必须由「\(f_X(x)\) 非零」与「\(f_Y(z-x)\) 非零」共同确定，按 \(z\) 分段；直接写全实轴积分会错。
  • 配套练习：设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,2)\)，\(Z=X+Y\)，求 \(0<z<2\) 时 \(f_Z(z)\)。（答案：\(\int_0^z\frac12\cdot\frac12\,dx=\dfrac z4\)）

5.4 二维函数 \(Z=X-Y\)、\(Z=XY\)、\(Z=\dfrac XY\)

  • 是什么/定义（三个常用公式，独立情形）：
  • \(Z=X-Y\)：\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x-z)\,dx\)（即 \(f_X * f_{-Y}\)，把 \(-Y\) 的密度 \(f_Y(-z)\) 代入卷积）；
  • \(Z=XY\)：\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y\!\left(\dfrac zx\right)\dfrac1{|x|}\,dx\)；
  • \(Z=\dfrac XY\)（商分布）：\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(yz)f_Y(y)|y|\,dy\)。
  • 性质/公式：统一思路仍是「分布函数法」或「二维换元」；考试中 \(U(0,1)\)、指数、正态的组合最常考。
  • 怎么考：①求 \(Z=X/Y\) 或 \(Z=XY\) 的密度；②求 \(Z=X-Y\) 的密度/分布；③给联合密度（非独立）用分布函数法求 \(Z=X-Y\) 等。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，\(Z=\dfrac XY\)，求 \(f_Z(z)\)。
    • 解：\(f_Z(z)=\int_0^1 f_X(yz)f_Y(y)|y|\,dy\)。当 \(0<z<1\)：\(yz<1\) 恒成立，\(f_Z(z)=\int_0^1 y\,dy=\frac12\)；当 \(z\ge 1\)：需 \(yz<1\)，即 \(y<\frac1z\)，\(f_Z(z)=\int_0^{1/z}y\,dy=\frac1{2z^2}\)；当 \(z<0\)：\(0\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，\(Z=XY\)，求 \(f_Z(z)\)。
    • 解：\(f_Z(z)=\int_0^1 f_X(x)f_Y\!\left(\frac zx\right)\frac1x\,dx\)。当 \(0<z<1\)：需 \(x>z\)，故 \(f_Z(z)=\int_z^1\frac1x\,dx=-\ln z\)；其余为 0。
  • 易错坑点：商分布、乘积公式里都有绝对值因子 \(|y|\) 或 \(\frac1{|x|}\)，别丢；\(Z=X-Y\) 可直接套卷积（把第二个变量换成 \(x-z\)），别把符号搞反。
  • 配套练习：设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，\(Z=X-Y\)，求 \(P(Z>0)\)。（提示：由对称性 \(P(X>Y)=\frac12\)。答案：\(\frac12\)）

5.5 \(Z=\max(X,Y)\) 与 \(Z=\min(X,Y)\)（独立情形）

  • 是什么/定义（\(X,Y\) 独立）：
  • \(F_{\max}(z)=P(\max\le z)=P(X\le z,\ Y\le z)=F_X(z)F_Y(z)\)；
  • \(F_{\min}(z)=P(\min\le z)=1-P(X>z,\ Y>z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\)。
  • 性质/公式：max 用「都 \(\le z\)」、min 用「都 \(>z\)」反向思考；非独立时不能相乘，要用联合分布。
  • 怎么考：①求 max/min 的分布函数或密度；②系统可靠性（串联对应 min、并联对应 max）；③ \(|X-Y|=\max-\min\) 与函数分布结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，求 \(\max(X,Y)\) 与 \(\min(X,Y)\) 的分布函数。
    • 解：\(F_X(z)=z\ (0<z<1)\)，故 \(F_{\max}(z)=z^2\)，\(F_{\min}(z)=1-(1-z)^2\)（\(0<z<1\)）。
  • 【例2·真题风格·自编题】系统由两个独立同分布的元件组成，寿命 \(X,Y\sim E(\lambda)\)。求并联（系统寿命 \(=\max(X,Y)\)）与串联（寿命 \(=\min(X,Y)\)）时寿命的分布。
    • 解：\(F_X(z)=1-e^{-\lambda z}\)。并联：\(F_{\max}(z)=(1-e^{-\lambda z})^2\)；串联：\(F_{\min}(z)=1-[1-(1-e^{-\lambda z})]^2=1-e^{-2\lambda z}\)，即 \(\min(X,Y)\sim E(2\lambda)\)。
  • 易错坑点：max 用「都 \(\le\)」、min 用「都 \(>\)」；只有独立才能把概率相乘，非独立要用联合分布 \(P(X\le z,Y\le z)=F(z,z)\)。
  • 配套练习：设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，求 \(P(\min(X,Y)>\frac12)\)。（答案：\((1-\frac12)^2=\frac14\)）

5.6 正态分布的可加性与线性组合

  • 是什么/定义：\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\) 独立，则 \(X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。
  • 性质/公式：独立正态变量的任意线性组合仍服从正态分布，且均值、方差分别线性计算；\((X,Y)\) 二维正态时 \(aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+2ab\rho\sigma_1\sigma_2)\)。
  • 怎么考：①求 \(X\pm Y\)、\(aX+bY\) 的分布；②求含 \(X-Y\) 的概率（标准化）；③判断概率与参数的关系（选择）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim N(1,1)\)，\(Y\sim N(2,4)\) 独立，求 \(X+2Y\) 的分布。
    • 解：\(X+2Y\sim N(1+2\cdot2,\ 1+2^2\cdot4)=N(5,17)\)。
  • 【例2·真题】2019年·数一·第8题(选择)：设 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且都服从 \(N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(P\{|X-Y|<1\}\)（　）。(A) 与 \(\mu\) 无关，而与 \(\sigma^2\) 有关 (B) 与 \(\mu\) 有关，而与 \(\sigma^2\) 无关 (C) 与 \(\mu,\sigma^2\) 都有关 (D) 与 \(\mu,\sigma^2\) 都无关。
    • 解：\(X-Y\sim N(0,2\sigma^2)\)，故 \(P\{|X-Y|<1\}=P\!\left\{\left|\frac{X-Y}{\sqrt2\sigma}\right|<\frac1{\sqrt2\sigma}\right\}=2\Phi\!\left(\frac1{\sqrt2\sigma}\right)-1\)，与 \(\mu\) 无关、与 \(\sigma^2\) 有关，选 (A)。
  • 易错坑点：正态可加性要求「独立」（或二维正态）；方差相加而不是标准差相加；线性组合的方差里有交叉项 \(2ab\rho\sigma_1\sigma_2\)。
  • 配套练习：设 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(0,4)\) 独立，求 \(X-Y\) 的分布。（答案：\(N(0,5)\)）

六、题型分类（本章考点地图）

  1. 题型一：由分布函数/密度/分布律求参数与概率
    - 核心方法：用「\(\sum p_k=1\)」「\(\int f=1\)」「\(F(+\infty)=1\)」求参数；用 \(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\) 或积分求概率。→ 见 2.1、3.1、4.3。
  2. 题型二：求边缘分布
    - 核心方法：离散按行/列求和；连续对另一变量积分（注意上下限）。→ 见 4.2、4.3。
  3. 题型三：求条件分布
    - 核心方法：离散 \(P(Y|X)=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}\)；连续 \(f_{Y|X}=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\)。→ 见 4.6。
  4. 题型四：判断独立性
    - 核心方法：离散看 \(p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}\)；连续看 \(f=f_Xf_Y\)；二维正态看 \(\rho\) 是否为 0。→ 见 4.7。
  5. 题型五：求一维函数 \(Y=g(X)\) 的分布
    - 核心方法：离散合并相同值；连续用分布函数法（或单调时公式法）。→ 见 5.1、5.2。
  6. 题型六：求二维函数 \(Z=g(X,Y)\) 的分布
    - 核心方法：卷积（\(Z=X+Y\)）、商分布/乘积公式（\(Z=X/Y,\ XY\)）、差（\(Z=X-Y\)）、max/min 公式。→ 见 5.3、5.4、5.5。
  7. 题型七：正态标准化与线性组合
    - 核心方法：标准化 \(\frac{X-\mu}{\sigma}\)；线性组合 \(aX+bY\) 均值方差线性算。→ 见 3.4、4.5、5.6。

配套练习（本章综合）

  1. 设 \(X\sim N(2,9)\)，求 \(P(X>-1)\)。（答案：\(\Phi(1)\)）
  2. 设 \(X\sim B(10,0.3)\)，求 \(P(X=2)\)。（答案：\(C_{10}^{2}\cdot0.3^2\cdot0.7^8\)）
  3. 设 \(X\sim U(0,4)\)，求 \(P(1<X<3)\)。（答案：\(\dfrac12\)）
  4. 设 \(f(x,y)=\begin{cases}4xy,&0<x<1,\ 0<y<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(f_X(x)\) 并判断 \(X,Y\) 是否独立。（答案：\(f_X(x)=2x\)；独立）
  5. 设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(U(0,1)\)，\(Z=X+Y\)，求 \(f_Z(z)\)。（答案：\(z\ (0<z<1)\)，\(2-z\ (1<z<2)\)）
  6. 设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(E(\lambda)\)，求 \(\min(X,Y)\) 的分布。（答案：\(E(2\lambda)\)）
  7. （2007年·数一·第23题·第(Ⅰ)问）设 \(f(x,y)=2-x-y\ (0<x<1,0<y<1)\)，求 \(P(X>2Y)\)。（答案：\(\dfrac7{24}\)）
  8. （2015年·数一·填空）\(X\sim N(1,1)\)，\(Y\sim N(0,1)\) 独立，求 \(P\{XY-Y<0\}\)。（答案：\(\dfrac12\)）

学完本章的检验标准

  1. 能判断一个函数是否是分布函数，并用 \(F(x)\) 求区间概率、单点概率。
  2. 能写出并区分二项、泊松、几何、超几何分布及其背景与数字特征。
  3. 能写出均匀、指数、正态分布的密度、分布函数，并会正态标准化计算。
  4. 会由联合分布律/密度求边缘分布、条件分布，并判断独立性。
  5. 会用分布函数法或卷积公式求随机变量函数的分布。
  6. 会求独立情形下 max/min 的分布，并熟练运用正态分布的可加性。
  7. 会写二维均匀分布（\(f=\dfrac1{S_D}\)）并用面积比求区域概率，掌握二维正态的「独立 ⇔ ρ=0」与线性组合结论。
  8. 会求 \(Z=X-Y\)、\(Z=XY\)、\(Z=\dfrac XY\)（商分布）等简单函数分布。

全部达到后，进入第3章「数字特征」（用期望、方差等数字概括随机变量的特征）。