第3章「数字特征」讲义

分布函数能完整刻画随机变量，但太「重」。本章引入几个「数字」来概括随机变量的核心特征：期望（平均水平）、方差（离散程度）、协方差与相关系数（两个变量的关系）、矩（一般化工具）。
前置知识：第1、2章的分布律/密度函数、微积分中的求和与积分。本章计算量大但套路固定，重在熟练。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、数学期望

1.1 离散型随机变量的期望

是什么/定义：设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P(X=x_k)=p_k\ (k=1,2,\dots)\)，若级数 \(\sum_k |x_k|p_k\) 收敛（绝对收敛），则称 \(E(X)=\sum_k x_k p_k\) 为 \(X\) 的数学期望（均值）；不绝对收敛时称期望不存在。
性质/公式：\(E(X)=\sum_k x_k p_k\)。一句话：所有取值按概率加权的平均。
怎么考：①由分布律求 \(E(X)\)、\(E(X^2)\)；②已知 \(E(X)\) 反解分布律中的未知概率或参数；③与方差公式 \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) 联用。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\) 的分布律为 \(P(X=-1)=0.2\)，\(P(X=0)=0.3\)，\(P(X=1)=0.5\)，求 \(E(X)\) 与 \(E(X^2)\)。
- 解：\(E(X)=(-1)\times0.2+0\times0.3+1\times0.5=\boxed{0.3}\)；\(E(X^2)=(-1)^2\times0.2+0^2\times0.3+1^2\times0.5=\boxed{0.7}\)。（注意 \(E(X^2)\ne[E(X)]^2\)）
【例2·真题风格·自编题】设 \(P(X=k)=\dfrac{1}{k(k+1)}\ (k=1,2,\dots)\)，问 \(E(X)\) 是否存在？若存在求之。
- 解：先验证归一化：\(\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)=1\)，故分布律合法。但 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\dfrac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k+1}=+\infty\)（调和级数发散），故 \(E(X)\) 不存在。（这正是「绝对收敛」条件的意义：并非所有分布都有期望）
易错坑点：求 \(E(X)\) 与 \(E(X^2)\) 要分清「先平方再期望」；分布律必须满足归一化 \(\sum p_k=1\)；无穷可列取值时先检查级数是否绝对收敛。
配套练习：设 \(P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\ (k=1,2,\dots;\ 0<p<1)\)，求 \(E(X)\)。（答案：\(\dfrac1p\)）

1.2 连续型随机变量的期望

是什么/定义：设连续型随机变量 \(X\) 的密度为 \(f(x)\)，若 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)\,dx<+\infty\)（绝对可积），则 \(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\,f(x)\,dx\)。
性质/公式：密度为 0 的区间不参与积分；实际只对 \(f(x)>0\) 的支撑集积分。
怎么考：①由密度求期望；②含参数密度求期望再反解参数；③分段密度的期望（分段积分）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim U(0,2)\)，密度 \(f(x)=\dfrac12\ (0<x<2)\)，求 \(E(X)\)。
- 解：\(E(X)=\int_0^2 x\cdot\dfrac12\,dx=\dfrac12\cdot\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^2=\boxed{1}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X\) 的密度 \(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)，求 \(E(X)\)。
- 解：\(E(X)=\int_0^1 x\cdot 2x\,dx=2\int_0^1 x^2\,dx=2\cdot\dfrac13=\boxed{\dfrac23}\)。
易错坑点：连续型期望是对 \(x\,f(x)\) 积分，不要漏乘 \(x\)、不要忘记只在支撑集上积分；分段密度要分段积分。
配套练习：设 \(X\sim E(\lambda)\)（密度 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0\)），求 \(E(X)\)。（答案：\(\dfrac1\lambda\)）

1.3 随机变量函数的期望

是什么/定义：设 \(Y=g(X)\)，则 \(Y\) 的期望直接用 \(X\) 的分布计算，无需先求 \(Y\) 的分布。
性质/公式：
一维离散：\(E[g(X)]=\sum_k g(x_k)p_k\)；
一维连续：\(E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,dx\)；
二维离散：\(E[g(X,Y)]=\sum_i\sum_j g(x_i,y_j)p_{ij}\)；
二维连续：\(E[g(X,Y)]=\iint g(x,y)f(x,y)\,dxdy\)。
怎么考：①求 \(E(X^2)\)、\(E(|X|)\)、\(E(e^X)\) 等；②二维情形求 \(E(XY)\)、\(E(\max\{X,Y\})\)；③求 \(g(X)\) 的期望时直接套 \(X\) 的分布。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim U(0,1)\)，求 \(E(X^2)\) 与 \(E(e^X)\)。
- 解：\(E(X^2)=\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13\)；\(E(e^X)=\int_0^1 e^x\,dx=e-1\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \((X,Y)\) 的联合分布律为 \(P(1,1)=0.2,\ P(1,2)=0.3,\ P(2,1)=0.4,\ P(2,2)=0.1\)（即 \(P(X=x_i,Y=y_j)\)），求 \(E(XY)\)。
- 解：\(E(XY)=\sum_{i,j}x_i y_j p_{ij}=1\cdot1\cdot0.2+1\cdot2\cdot0.3+2\cdot1\cdot0.4+2\cdot2\cdot0.1=0.2+0.6+0.8+0.4=\boxed{2}\)。
易错坑点：求 \(E[g(X)]\) 直接用 \(X\) 的分布，不要先求 \(g(X)\) 的分布（多此一举且易错）；连续型里 \(g(x)f(x)\) 别忘了乘密度。
配套练习：设 \(X\sim N(0,1)\)，求 \(E(X^2)\) 与 \(E(X^4)\)。（答案：\(E(X^2)=1\)，\(E(X^4)=3\)）

1.4 期望的性质

是什么/定义：期望是线性运算，其性质是后续方差、协方差计算的基石。
性质/公式：
1. \(E(C)=C\)；
2. \(E(aX+b)=aE(X)+b\)；
3. \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)（无条件成立，可推广到 \(n\) 个）；
4. \(E(X-Y)=E(X)-E(Y)\)（第 3 条的推论）；
5. 当 \(X,Y\) 独立时，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)（逆命题不成立）。
怎么考：①用线性性拆分求混合分布的期望；②由 \(E(X\pm Y)\)、\(E(XY)\) 反解参数；③判断「\(E(XY)=E(X)E(Y)\)」成立所需的条件（独立）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(E(X)=2,\ E(Y)=5\)，求 \(E(3X-2Y+1)\)。
- 解：\(E(3X-2Y+1)=3E(X)-2E(Y)+1=3\times2-2\times5+1=\boxed{-3}\)。
【例2·真题】2009年·数一·第7题(4分)：设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)=0.3\Phi(x)+0.7\Phi\left(\dfrac{x-1}{2}\right)\)，其中 \(\Phi(x)\) 为标准正态分布函数，则 \(E(X)=\)（　）。(A) 0　(B) 0.3　(C) 0.7　(D) 1
- 解：\(F(x)\) 是 \(N(0,1)\) 与 \(N(1,4)\) 的混合分布（权重分别为 \(0.3\) 与 \(0.7\)），即 \(X\) 以概率 \(0.3\) 取 \(N(0,1)\)、以概率 \(0.7\) 取 \(N(1,4)\)。故 \(E(X)=0.3\times0+0.7\times1=\boxed{0.7}\)，选 (C)。
易错坑点：\(E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)\) 无条件成立；而 \(E(XY)=E(X)E(Y)\) 必须独立（仅「不相关」不够，见 4.3）。
配套练习：设 \(X\sim B(10,0.3)\)，\(Y\sim P(2)\)，且 \(X,Y\) 独立，求 \(E(X+Y)\) 与 \(E(XY)\)。（答案：\(E(X+Y)=3+2=5\)；\(E(XY)=3\times2=6\)）

二、方差

2.1 方差的定义与计算

是什么/定义：\(D(X)=E\left\{[X-E(X)]^2\right\}\)，衡量 \(X\) 取值偏离均值的平均程度；\(\sqrt{D(X)}\) 为标准差，与 \(X\) 同量纲。
性质/公式（计算公式，重点）：\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)。
怎么考：①先求 \(E(X^2)\) 与 \(E(X)\) 再代入公式；②由方差反解参数；③与期望联用求标准差。
典型例题：
【例1·基础】接 1.1 例1：\(P(X=-1)=0.2,\ P(X=0)=0.3,\ P(X=1)=0.5\)，求 \(D(X)\)。
- 解：\(E(X)=0.3\)，\(E(X^2)=0.7\)，故 \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0.7-0.3^2=\boxed{0.61}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim U(0,2)\)，求 \(D(X)\)。
- 解：\(E(X)=\int_0^2\dfrac{x}{2}\,dx=1\)，\(E(X^2)=\int_0^2\dfrac{x^2}{2}\,dx=\dfrac{x^3}{6}\Big|_0^2=\dfrac43\)，故 \(D(X)=\dfrac43-1^2=\boxed{\dfrac13}\)（与公式 \(\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac13\) 一致）。
易错坑点：\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) 中 \(E(X^2)\ne[E(X)]^2\)，务必先平方再期望；方差恒 \(\ge 0\)，算成负数一定错。
配套练习：设 \(X\sim B(4,0.5)\)，求 \(D(X)\)。（答案：\(np(1-p)=1\)）

2.2 方差的性质

是什么/定义：方差反映离散程度，其运算规则与期望不同（常数项消失、系数平方）。
性质/公式：
1. \(D(C)=0\)；
2. \(D(aX+b)=a^2D(X)\)；
3. \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)\)；
4. \(X,Y\) 独立时，\(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\)。
怎么考：①由 \(D(aX+b)\) 反解参数；②用 \(D(X\pm Y)\) 展开求协方差；③独立时方差的「加性」（\(X-Y\) 也是加）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(D(X)=4\)，求 \(D(3X-5)\) 与 \(D(-2X)\)。
- 解：\(D(3X-5)=3^2\cdot4=\boxed{36}\)；\(D(-2X)=(-2)^2\cdot4=\boxed{16}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X,Y\) 独立，\(D(X)=3,\ D(Y)=4\)，求 \(D(X-Y)\) 与 \(D(2X+Y)\)。
- 解：独立时协方差为 0，\(D(X-Y)=D(X)+D(Y)=3+4=\boxed{7}\)；\(D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=12+4=\boxed{16}\)。
易错坑点：\(D(aX+b)\) 中常数 \(b\) 无影响、系数 \(a\) 要平方；独立时 \(D(X-Y)\) 仍为 \(D(X)+D(Y)\)（是「加」不是「减」）。
配套练习：设 \(D(X)=2\)，求 \(D(2X+3)\) 与 \(D(-X)\)。（答案：\(8\)；\(2\)）

三、常见分布的期望与方差（必背表）

3.1 常见分布的期望与方差表

是什么/定义：下表是高频考点，务必默写。参数记号：\(N\) 为总数、\(M\) 为次品（特定元素）数、\(n\) 为不放回抽样数、\(p\) 为概率、\(\lambda\) 为泊松/指数参数、\(a,b\) 为区间端点、\(\mu,\sigma^2\) 为正态参数。
性质/公式（必背表）：

分布	参数	\(E(X)\)	\(D(X)\)
0-1 分布	\(p\)	\(p\)	\(p(1-p)\)
二项分布 \(B(n,p)\)	\(n,p\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
泊松分布 \(P(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
几何分布 \(G(p)\)	\(p\)	\(\dfrac1p\)	\(\dfrac{1-p}{p^2}\)
超几何分布 \(H(N,M,n)\)	\(N,M,n\)	\(\dfrac{nM}{N}\)	\(n\cdot\dfrac MN\cdot\left(1-\dfrac MN\right)\cdot\dfrac{N-n}{N-1}\)
均匀分布 \(U(a,b)\)	\(a,b\)	\(\dfrac{a+b}{2}\)	\(\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
指数分布 \(E(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(\dfrac1\lambda\)	\(\dfrac1{\lambda^2}\)
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu,\sigma^2\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

怎么考：①直接默写/代入求 \(E\)、\(D\)；②由 \(E\) 或 \(D\) 反解分布参数（如已知 \(E(X)\) 求 \(\lambda\)）；③超几何分布注意有限总体修正因子 \(\dfrac{N-n}{N-1}\)（不放回抽样的修正）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim H(10,4,3)\)（从 10 个含 4 个次品的产品中不放回抽 3 个，\(X\) 为次品数），求 \(E(X)\)、\(D(X)\)。
- 解：\(E(X)=n\dfrac MN=3\times\dfrac4{10}=\boxed{1.2}\)；\(D(X)=3\cdot\dfrac4{10}\cdot\dfrac6{10}\cdot\dfrac{10-3}{10-1}=3\cdot0.4\cdot0.6\cdot\dfrac79=0.72\cdot\dfrac79=\boxed{0.56}\)。
【例2·真题】2000年·数一·十二(8分)：某流水生产线上每个产品不合格的概率为 \(p\ (0<p<1)\)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 \(X\)，求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\)。
- 解：\(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布 \(G(p)\)（\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\ k=1,2,\dots\)），故 \(E(X)=\boxed{\dfrac1p}\)，\(D(X)=\boxed{\dfrac{1-p}{p^2}}\)。
易错坑点：泊松分布 \(E=D=\lambda\)；指数分布方差是 \(\dfrac1{\lambda^2}\)（别忘平方）；几何分布期望是 \(\dfrac1p\)；超几何分布方差多乘一个有限总体修正因子 \(\dfrac{N-n}{N-1}\)（当 \(N\to\infty\) 时它趋近于二项分布的方差）。
配套练习：
1. 设 \(X\sim P(3)\)，求 \(E(X^2)\)。（答案：\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=3+9=12\)）
2. 设 \(X\sim E(2)\)（密度 \(f(x)=2e^{-2x},x>0\)），求 \(D(X)\)。（答案：\(\dfrac14\)）

四、协方差与相关系数

4.1 协方差

是什么/定义：\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\right\}\)，描述 \(X,Y\) 同向/反向变动的趋势。
性质/公式（计算公式，重点）：\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)；
1. \(\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)\)；
2. \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)\)；
3. \(\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)；
4. \(\mathrm{Cov}(X_1+X_2,Y)=\mathrm{Cov}(X_1,Y)+\mathrm{Cov}(X_2,Y)\)；
5. \(X,Y\) 独立时，\(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)。
怎么考：①由联合分布求 \(E(XY)\) 再套公式；②用协方差的线性性化简 \(\mathrm{Cov}(\sum X_i,\cdot)\)；③由 \(\mathrm{Cov}=0\) 判断不相关。
典型例题：
【例1·基础】设 \((X,Y)\) 的联合分布律为 \(P(1,1)=0.2,\ P(1,2)=0.3,\ P(2,1)=0.4,\ P(2,2)=0.1\)，求 \(\mathrm{Cov}(X,Y)\)。
- 解：\(E(X)=1\times0.5+2\times0.5=1.5\)，\(E(Y)=1\times0.6+2\times0.4=1.4\)，\(E(XY)=2\)（见 1.3 例2）。故 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2-1.5\times1.4=2-2.1=\boxed{-0.1}\)。
【例2·真题】2004年·数一·第14题(4分)：设随机变量 \(X_1,X_2,\dots,X_n\ (n>1)\) 独立同分布，且其方差为 \(\sigma^2>0\)，令 \(Y=\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则（　）。(A) \(\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\dfrac{\sigma^2}{n}\) (B) \(\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\sigma^2\) (C) \(D(X_1+Y)=\dfrac{(n+2)\sigma^2}{n}\) (D) \(D(X_1-Y)=\dfrac{(n+1)\sigma^2}{n}\)
- 解：\(\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\mathrm{Cov}\left(X_1,\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\dfrac1n\left[\mathrm{Cov}(X_1,X_1)+\sum_{i=2}^{n}\mathrm{Cov}(X_1,X_i)\right]=\dfrac1n(\sigma^2+0)=\dfrac{\sigma^2}{n}\)，选 (A)。（另可验算 \(D(X_1-Y)=\dfrac{(n-1)\sigma^2}{n}\)、\(D(X_1+Y)=\dfrac{(n+3)\sigma^2}{n}\)，故 (C)(D) 均错）
易错坑点：\(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) 不意味着独立（反之成立）；常数项 \(b,d\) 对协方差无影响；协方差有量纲、大小受量纲影响（故引入无量纲的相关系数）。
配套练习：设 \(X,Y\) 独立，\(D(X)=2,\ D(Y)=3\)，求 \(\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)\)。（答案：\(D(X)-D(Y)=2-3=-1\)）

4.2 相关系数

是什么/定义：\(\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)（要求 \(D(X)>0,\ D(Y)>0\)），是「标准化」的协方差，无量纲，专测线性关系。
性质/公式：
1. \(|\rho|\le 1\)；
2. \(\rho>0\) 正相关、\(\rho<0\) 负相关、\(\rho=0\) 不相关；
3. \(|\rho|=1\iff\) \(X,Y\) 之间存在（几乎必然的）线性关系 \(Y=aX+b\)（且 \(a\) 与 \(\rho\) 同号）。
怎么考：①由联合分布求 \(\rho\)；②由 \(|\rho|=1\) 推出线性关系（如 \(X+Y=\) 常数 \(\Rightarrow\rho=-1\)）；③判断相关方向。
典型例题：
【例1·基础】设 \(D(X)=4,\ D(Y)=1,\ \mathrm{Cov}(X,Y)=1\)，求相关系数 \(\rho\)。
- 解：\(\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\dfrac{1}{\sqrt{4\times1}}=\boxed{\dfrac12}\)（正相关）。
【例2·真题】2008年·数一·第8题(4分)：设随机变量 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(1,4)\)，且相关系数 \(\rho_{XY}=1\)，则（　）。(A) \(P\{Y=-2X-1\}=1\) (B) \(P\{Y=2X-1\}=1\) (C) \(P\{Y=-2X+1\}=1\) (D) \(P\{Y=2X+1\}=1\)
- 解：\(\rho=1\) 说明存在线性关系 \(Y=aX+b\) 且 \(a>0\)。由 \(E(Y)=aE(X)+b\) 得 \(1=a\cdot0+b\Rightarrow b=1\)；由 \(D(Y)=a^2D(X)\) 得 \(4=a^2\cdot1\Rightarrow a=2\)（取正）。故 \(Y=2X+1\)，即 \(P\{Y=2X+1\}=1\)，选 (D)。
易错坑点：\(|\rho|=1\iff\) 线性关系，注意 \(a\) 的符号与 \(\rho\) 一致（\(\rho=1\Rightarrow a>0\)，\(\rho=-1\Rightarrow a<0\)）；求 \(\rho\) 前先确认 \(D(X)>0,\ D(Y)>0\)。
配套练习：设 \(X,Y\) 满足 \(Y=-2X+3\)，求 \(\rho\)。（答案：\(-1\)）

4.3 不相关与独立

是什么/定义：
不相关：\(\rho=0\)（即 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)），指「没有线性关系」；
独立：\(P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)\)，指「没有任何关系」。
性质/公式：
独立 \(\Rightarrow\) 不相关（\(E(XY)=E(X)E(Y)\Rightarrow\mathrm{Cov}=0\)）；
不相关 \(\not\Rightarrow\) 独立；
特例：二维正态 \((X,Y)\) 中，\(X,Y\) 独立 \(\iff\) 不相关（\(\iff\rho=0\)）。
怎么考：①判断「独立」与「不相关」谁强谁弱；②构造反例（如 \(Y=X^2\)）说明不相关但不独立；③二维正态下用 \(\rho=0\) 判独立。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim U(-1,1)\)，\(Y=X^2\)，判断 \(X,Y\) 是否相关、是否独立。
- 解：\(E(X)=0\)，\(E(XY)=E(X^3)=\int_{-1}^1\dfrac{x^3}{2}\,dx=0\)（奇函数在对称区间积分为 0），故 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0\)，\(X,Y\) 不相关；但 \(Y=X^2\) 完全由 \(X\) 决定，故 \(X,Y\) 不独立。
【例2·真题】2012年·数一·第8题(4分)：将长度为 \(1\,\text{m}\) 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（　）。(A) \(1\) (B) \(\dfrac12\) (C) \(-\dfrac12\) (D) \(-1\)
- 解：设两段长度分别为 \(X,Y\)，则 \(X+Y=1\)，即 \(Y=-X+1\)，存在完全负的线性关系，故 \(\rho=\boxed{-1}\)，选 (D)。（完全线性相关 ⇒ 必不独立）
易错坑点：「不相关」只排除线性关系，不等于「没有关系」；只有二维正态分布下不相关才等价于独立。
配套练习：设 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y=X^2\)，求 \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) 并判断独立。（答案：\(\mathrm{Cov}=E(X^3)-E(X)E(X^2)=0\)，不相关但不独立）

4.4 二维正态分布（补充常考点）

是什么/定义：\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\) 表示二维正态分布，五个参数分别对应两个均值、两个方差和相关系数。
性质/公式：
边缘分布 \(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)；
\(X,Y\) 独立 \(\iff\rho=0\)（二维正态特有）。
怎么考：①由二维正态直接读边缘分布与 \(\rho\)；②用 \(\rho=0\) 判定独立；③注意「两个边缘都是正态 ⇒ 联合是二维正态」不成立。
典型例题：
【例1·基础】设 \((X,Y)\sim N(1,2,9,16,0.5)\)，求 \(X\)、\(Y\) 的边缘分布与 \(\rho\)。
- 解：\(X\sim N(1,9)\)（\(\mu_1=1,\sigma_1^2=9\)），\(Y\sim N(2,16)\)（\(\mu_2=2,\sigma_2^2=16\)），\(\rho=0.5\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \((X,Y)\) 服从二维正态分布，且 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(0,1)\)，\(E(XY)=0.5\)，求 \(\rho\) 并判断 \(X,Y\) 是否独立。
- 解：\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.5-0=0.5\)，故 \(\rho=\dfrac{0.5}{\sqrt{1\times1}}=\boxed{0.5}\)，\(\rho\ne0\)，故 \(X,Y\) 不独立（二维正态下独立 \(\iff\rho=0\)）。
易错坑点：二维正态的边缘仍是正态；但两个边缘是正态，联合不一定是二维正态（此时不相关也未必等价于独立）。
配套练习：设 \((X,Y)\sim N(0,0,1,1,0)\)，判断 \(X,Y\) 是否独立。（答案：\(\rho=0\)，二维正态下独立）

五、矩

5.1 原点矩与中心矩

是什么/定义：
\(k\) 阶原点矩：\(E(X^k)\)；
\(k\) 阶中心矩：\(E\left\{[X-E(X)]^k\right\}\)。
性质/公式：一阶原点矩 \(E(X)\) 就是期望；二阶中心矩 \(E\left\{[X-E(X)]^2\right\}\) 就是方差 \(D(X)\)。
怎么考：①识别某表达式是几阶什么矩；②已知低阶矩求高阶矩（如 \(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2\)）；③用矩表示偏度、峰度等（数一了解即可）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(E(X)=3,\ D(X)=4\)，求 \(X\) 的二阶原点矩。
- 解：\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=4+9=\boxed{13}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim P(1)\)（泊松分布），求三阶原点矩 \(E(X^3)\)。
- 解：对泊松分布有阶乘矩 \(E[X(X-1)(X-2)]=\lambda^3\)，即 \(E(X^3)-3E(X^2)+2E(X)=\lambda^3\)。当 \(\lambda=1\)：\(E(X)=1\)，\(E(X^2)=\lambda^2+\lambda=2\)，故 \(E(X^3)=1+3\times2-2\times1=\boxed{5}\)。
易错坑点：期望是一阶原点矩、方差是二阶中心矩，两者是不同「阶」的量；原点矩与中心矩换算的核心是 \(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2\)。
配套练习：设 \(E(X)=2,\ E(X^2)=5\)，求 \(D(X)\) 与二阶中心矩。（答案：\(D(X)=5-4=1\)，二阶中心矩 \(=1\)）

5.2 混合矩

是什么/定义：
\(k+l\) 阶混合原点矩：\(E(X^kY^l)\)；
\(k+l\) 阶混合中心矩：\(E\left\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\right\}\)。
性质/公式：\(E(XY)\) 是 \(1+1\) 阶混合原点矩；\(\mathrm{Cov}(X,Y)\) 是 \(1+1\) 阶混合中心矩。
怎么考：①判断给定量是哪种矩；②混合中心矩与原点矩的换算（核心即协方差公式 \(\mathrm{Cov}=E(XY)-E(X)E(Y)\)）。
典型例题：
【例1·基础】写出 \(E(XY)\) 与 \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) 各是什么阶的什么矩。
- 解：\(E(XY)\) 是 \(1+1\) 阶混合原点矩；\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\right\}\) 是 \(1+1\) 阶混合中心矩。
【例2·真题风格·自编题】已知 \(E(XY)=3,\ E(X)=1,\ E(Y)=2\)，求 \(X,Y\) 的 \(1+1\) 阶混合中心矩。
- 解：\(1+1\) 阶混合中心矩即 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3-1\times2=\boxed{1}\)。
易错坑点：矩是「期望」的一般化，记住 \(E(X^k)\)（原点矩）与 \(E\left\{[X-E(X)]^k\right\}\)（中心矩）两类即可；混合矩要注意「原点/中心」保持一致。
配套练习：设 \(E(X)=0,\ E(XY)=0\)，问 \(X,Y\) 是否一定不相关？（答案：是，\(\mathrm{Cov}=E(XY)-E(X)E(Y)=0\)）

配套练习（本章综合）

设 \(X\sim B(4,0.5)\)，求 \(E(X)\)、\(D(X)\)。（答案：\(2\)；\(1\)）
设 \(X\sim E(2)\)（密度 \(f(x)=2e^{-2x},x>0\)），求 \(E(X)\)、\(D(X)\)。（答案：\(\dfrac12\)；\(\dfrac14\)）
设 \(X\sim P(3)\)，求 \(E(X^2)\)。（答案：\(12\)）
设 \(X\sim H(20,5,4)\)，求 \(E(X)\)、\(D(X)\)。（答案：\(E(X)=4\times\dfrac5{20}=1\)；\(D(X)=4\cdot\dfrac14\cdot\dfrac34\cdot\dfrac{16}{19}=\dfrac{12}{19}\)）
（2001年·数一·第5题·选择）将一枚硬币重复掷 \(n\) 次，以 \(X\) 和 \(Y\) 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 \(X\) 和 \(Y\) 的相关系数等于（　）。(A) \(-1\) (B) \(0\) (C) \(\dfrac12\) (D) \(1\)。（答案：A，\(X+Y=n\Rightarrow Y=-X+n\)，完全负相关）
设 \(X,Y\) 独立同分布，\(D(X)=2\)，求 \(D(X-Y)\) 与 \(\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)\)。（答案：\(D(X-Y)=2+2=4\)；\(\mathrm{Cov}=D(X)-D(Y)=0\)）
（2004年·数一·填空）设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，则 \(P\{X>\sqrt{D(X)}\}=\)（　）。（答案：\(\sqrt{D(X)}=\dfrac1\lambda\)，\(P\left\{X>\dfrac1\lambda\right\}=e^{-\lambda\cdot\frac1\lambda}=\dfrac1e\)）

学完本章的检验标准

能熟练用定义和公式 \(E(X^2)-[E(X)]^2\) 求各种分布的期望与方差。
能默写常见八个分布（0-1、二项、泊松、几何、超几何、均匀、指数、正态）的期望与方差。
会用 \(E(XY)-E(X)E(Y)\) 求协方差，并计算相关系数。
能说清「独立」「不相关」的区别，尤其掌握二维正态分布下的等价关系。
能区分原点矩、中心矩、混合矩，并知道期望、方差、协方差各是什么矩。

全部达到后，进入第4章「大数定律与中心极限定理」（从极限角度理解频率逼近概率、和的分布逼近正态）。