前面研究了单个随机变量的分布与数字特征。本章研究「大量随机变量」的极限规律：大数定律回答「频率/均值为什么稳定在概率/期望附近」，中心极限定理回答「大量独立随机变量的和为什么近似正态」。
前置知识：期望、方差、正态分布。本章结论性内容多、计算少，重在理解条件与结论（切比雪夫不等式在本章 1.1 讲解）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、切比雪夫不等式

1.1 切比雪夫不等式

  • 是什么/定义：设随机变量 \(X\) 的期望 \(E(X)\)、方差 \(D(X)\) 都存在，则对任意 \(\varepsilon>0\)，有
    \[P\big(|X-E(X)|\ge\varepsilon\big)\ \le\ \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.\]
    等价地，\(P\big(|X-E(X)|<\varepsilon\big)\ \ge\ 1-\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}\)。
  • 性质/公式：用方差估计「\(X\) 偏离均值」的概率上界；方差越小，偏离均值的概率上界越小，\(X\) 越「集中」在期望附近。它只要求 \(X\) 有期望和方差，对分布类型没有任何要求。
  • 怎么考：①直接代公式求概率上界；②用切比雪夫不等式证明「依概率收敛」（见 1.2、2.1）；③已知上界反解 \(\varepsilon\) 或 \(D(X)\)；④判断「上界」与「精确概率」的区别。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(E(X)=2\)，\(D(X)=4\)，用切比雪夫不等式估计 \(P\big(|X-2|\ge 4\big)\) 的上界。
    • 解：取 \(\varepsilon=4\)，\(P\big(|X-2|\ge 4\big)\le\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}=\dfrac{4}{4^2}=\boxed{\dfrac14}\)。
  • 【例2·真题】2001年·数一·一(5)（填空，3分）：设随机变量 \(X\) 的方差为 \(2\)，则根据切比雪夫不等式有估计 \(P\big\{|X-E(X)|\ge 2\big\}\le\) ____。
    • 解：\(D(X)=2\)，\(\varepsilon=2\)，故 \(P\big\{|X-E(X)|\ge 2\big\}\le\dfrac{2}{2^2}=\boxed{\dfrac12}\)。
  • 易错坑点：①不等式给出的是「上界」（估计值），不是精确概率，别把 \(\le\) 写成 \(=\)；②记清方向：\(\ge\varepsilon\) 用 \(\le D/\varepsilon^2\)，\(<\varepsilon\) 用 \(\ge 1-D/\varepsilon^2\)；③\(\varepsilon\) 要平方，且分母是 \(\varepsilon^2\) 不是 \(2\varepsilon\)。
  • 配套练习：
    1. （2022年·数一·第9题，选择，5分）设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布，记 \(E(X_i^k)=\mu_k\)（\(k=1,2,\cdots\)），用切比雪夫不等式估计 \(P\Big\{\Big|\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu_1\Big|\ge\varepsilon\Big\}\le\)（　）。
    (A) \(\dfrac{\mu_4-\mu_2^2}{n\varepsilon^2}\)　(B) \(\dfrac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt n\,\varepsilon^2}\)　(C) \(\dfrac{\mu_2-\mu_1^2}{n\varepsilon^2}\)　(D) \(\dfrac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt n\,\varepsilon^2}\)
    （答案：C。\(\bar X=\dfrac1n\sum X_i\)，\(E(\bar X)=\mu_1\)，\(D(\bar X)=\dfrac{D(X_1)}{n}=\dfrac{\mu_2-\mu_1^2}{n}\)，故上界为 \(\dfrac{\mu_2-\mu_1^2}{n\varepsilon^2}\)）
    2. 设 \(E(X)=5\)，\(D(X)=9\)，用切比雪夫不等式估计 \(P\big(|X-5|<6\big)\) 的下界。（答案：\(\ge 1-\dfrac{9}{36}=\dfrac34\)）

1.2 依概率收敛（预备概念）

  • 是什么/定义：设 \(\{X_n\}\) 是随机变量序列，\(a\) 为常数。若对任意 \(\varepsilon>0\)，有
    \[\lim_{n\to\infty}P\big(|X_n-a|<\varepsilon\big)=1,\quad\text{等价地}\quad \lim_{n\to\infty}P\big(|X_n-a|\ge\varepsilon\big)=0,\]
    则称 \(\{X_n\}\) 依概率收敛于 \(a\)，记 \(X_n\xrightarrow{P}a\)。
  • 性质/公式：一句话——「\(n\) 足够大时，\(X_n\) 与 \(a\) 的偏差任意小这件事发生的概率趋近 1」。依概率收敛是概率意义下的收敛，不是普通数列的逐点收敛。
  • 怎么考：①给出 \(X_n\) 的分布，验证 \(X_n\xrightarrow{P}a\)（用切比雪夫不等式或直接算概率）；②辨析「依概率收敛」与「逐点收敛/几乎必然收敛」的区别；③把「均值/频率收敛」的语言翻译成 \(X_n\xrightarrow{P}a\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_n\) 服从两点分布：\(P(X_n=1)=\dfrac1n\)，\(P(X_n=0)=1-\dfrac1n\)，证明 \(X_n\xrightarrow{P}0\)。
    • 解：对任意 \(\varepsilon>0\)，当 \(n\) 足够大（\(\varepsilon\) 固定时，\(0<\varepsilon\le1\)）：
      \[P\big(|X_n-0|\ge\varepsilon\big)=P(X_n=1)=\frac1n\to 0,\]
      （若 \(\varepsilon>1\)，该概率恒为 \(0\)）。由定义得 \(X_n\xrightarrow{P}0\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X_n\xrightarrow{P}a\)（\(a\) 为常数），则下列等式一定成立的是（　）。
    • (A) 对任意 \(\varepsilon>0\)，\(\lim_{n\to\infty}P\big(|X_n-a|\ge\varepsilon\big)=0\)
    • (B) \(\lim_{n\to\infty}X_n=a\)（逐点收敛）
    • (C) 对一切 \(n\)，都有 \(|X_n-a|<\varepsilon\)
    • (D) \(P\big(\lim_{n\to\infty}X_n=a\big)=1\)（几乎必然收敛）
    • 解：选 (A)，这正是依概率收敛的定义。(B) 是普通数列逐点收敛，(C) 是对所有 \(n\) 成立（定义只要求概率趋近），(D) 是更强的「几乎必然收敛」，依概率收敛推不出它。
  • 易错坑点：依概率收敛只保证「概率上」逼近，不保证每个样本路径 \(\omega\) 上 \(X_n(\omega)\to a\)；不要把它与「逐点收敛」或「几乎必然收敛」混为一谈。
  • 配套练习：设 \(X_n\sim U\big(0,\tfrac1n\big)\)（均匀分布），证明 \(X_n\xrightarrow{P}0\)。（提示：对固定 \(\varepsilon>0\)，\(n\) 足够大时 \(P(|X_n|\ge\varepsilon)=P\big(X_n\ge\varepsilon\big)=0\)）

二、大数定律

2.1 切比雪夫大数定律

  • 是什么/定义：设 \(X_1,X_2,\cdots\) 相互独立，且每个 \(X_i\) 的期望存在、方差一致有界（即存在常数 \(C\)，使 \(D(X_i)\le C\)），并记 \(E(X_i)=\mu_i\)，则算术平均与「期望的平均」之差依概率收敛于 0；当期望相同 \(E(X_i)=\mu\) 时，有
    \[\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\ \xrightarrow{P}\ \mu.\]
  • 性质/公式：证明思路就是切比雪夫不等式——\(D\Big(\dfrac1n\sum X_i\Big)=\dfrac1{n^2}\sum D(X_i)\le\dfrac{C}{n}\)，于是 \(P\Big(\Big|\dfrac1n\sum X_i-\mu\Big|\ge\varepsilon\Big)\le\dfrac{C}{n\varepsilon^2}\to 0\)。
  • 怎么考：①判断某组条件能否由切比雪夫大数定律推出均值收敛；②与辛钦定律对比条件（是否要求同分布、方差是否存在）；③选择题辨析「由哪个定律得出」。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,X_2,\cdots\) 相互独立，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)\le C\)（一致有界），证明 \(\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu\)。
    • 解：记 \(\bar X_n=\dfrac1n\sum X_i\)，则 \(E(\bar X_n)=\mu\)，\(D(\bar X_n)=\dfrac1{n^2}\sum D(X_i)\le\dfrac{nC}{n^2}=\dfrac{C}{n}\)。由切比雪夫不等式
      \[P\big(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon\big)\le\frac{D(\bar X_n)}{\varepsilon^2}\le\frac{C}{n\varepsilon^2}\to 0,\]
      故 \(\bar X_n\xrightarrow{P}\mu\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】下列哪组条件能由切比雪夫大数定律推出 \(\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu\)？（　）
    • (A) \(X_i\) 独立同分布且 \(E(X_i)=\mu\) 存在（不要求方差）
    • (B) \(X_i\) 相互独立、\(E(X_i)=\mu\)、\(D(X_i)\le C\)（一致有界）
    • (C) \(X_i\) 相互独立、\(D(X_i)\) 存在但 \(E(X_i)\) 各不相同
    • (D) \(X_i\) 相互独立、\(E(X_i)=\mu\) 但方差不存在
    • 解：选 (B)。切比雪夫定律的关键是「独立 + 期望相同 + 方差一致有界」；(A)(D) 是辛钦定律的条件，(C) 期望不同则不能收敛到单一 \(\mu\)。
  • 易错坑点：切比雪夫定律要求「方差一致有界」；若方差存在但无界（如 \(D(X_i)=i\)），则不能套用此定律。辛钦定律放宽了这一点。
  • 配套练习：判断正误——「设 \(X_1,\cdots,X_n\) 相互独立，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=C\)（常数），则由切比雪夫大数定律有 \(\bar X\xrightarrow{P}\mu\)。」（答案：正确，方差一致有界满足条件）

2.2 辛钦大数定律（独立同分布大数定律）

  • 是什么/定义：设 \(X_1,X_2,\cdots\) 相互独立、同分布，且期望存在 \(E(X_i)=\mu\)（不要求方差存在），则
    \[\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\ \xrightarrow{P}\ \mu.\]
  • 性质/公式：这是最常用的大数定律——条件只需「独立同分布 + 期望存在」。样本均值依概率收敛于总体均值 \(\mu\)。
  • 怎么考：①判断「均值收敛到期望」由哪个定律得出；②与切比雪夫定律做条件对比（辛钦不要求方差存在、但要求同分布）；③结合具体分布（指数、均匀、0-1 等）说出收敛到的值。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,\cdots,X_n\) 独立同服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布（\(E(X_i)=\dfrac1\lambda\)），则 \(\bar X=\dfrac1n\sum X_i\) 依概率收敛于？
    • 解：指数分布期望存在，由辛钦大数定律，\(\bar X\xrightarrow{P}\dfrac1\lambda\)。注意不需要用到指数分布的方差。
  • 【例2·真题风格·自编题】与切比雪夫大数定律相比，辛钦大数定律在条件上的关键区别是（　）。
    • (A) 不要求独立　(B) 不要求方差存在，但要求同分布　(C) 不要求期望存在　(D) 要求正态分布
    • 解：选 (B)。辛钦定律「独立同分布 + 期望存在」即可，不要求方差存在，但比切比雪夫多了「同分布」要求。
  • 易错坑点：辛钦定律不要求方差存在，但必须同分布且期望存在；若期望不存在（如柯西分布），均值不收敛到常数。
  • 配套练习：设 \(X_1,\cdots,X_n\) 独立同服从 \(U(0,1)\)，则 \(\bar X\) 依概率收敛于？（答案：\(\dfrac12\)，因为 \(E(X)=\dfrac12\)）

2.3 伯努利大数定律

  • 是什么/定义：设 \(n_A\) 是 \(n\) 次独立重复试验中事件 \(A\) 发生的次数，每次 \(A\) 发生的概率为 \(p\)，则频率 \(\dfrac{n_A}{n}\) 依概率收敛于概率 \(p\)：
    \[\frac{n_A}{n}\ \xrightarrow{P}\ p.\]
  • 性质/公式：从理论上解释了「频率稳定于概率」。伯努利大数定律是辛钦定律在 0-1 分布下的特例（频率 \(=\) 样本均值，概率 \(=\) 期望）。
  • 怎么考：①判断「频率收敛于概率」由哪个定律得出；②说明频率稳定性是大数定律的体现；③与「概率的统计定义」联系。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】掷一枚均匀硬币 \(n\) 次，正面出现次数记为 \(n_A\)，由伯努利大数定律可知 \(\dfrac{n_A}{n}\) 依概率收敛于？
    • 解：\(p=\dfrac12\)，故 \(\dfrac{n_A}{n}\xrightarrow{P}\dfrac12\)，即「正面频率稳定在 \(\dfrac12\) 附近」。
  • 【例2·真题风格·自编题】「随着试验次数增加，事件发生的频率越来越接近其概率」这一结论的数学依据是（　）。
    • (A) 中心极限定理　(B) 伯努利大数定律　(C) 切比雪夫不等式　(D) 棣莫弗-拉普拉斯定理
    • 解：选 (B)。频率收敛于概率正是伯努利大数定律；中心极限定理/棣莫弗-拉普拉斯刻画的是「近似正态分布」，切比雪夫不等式只是概率上界。
  • 易错坑点：伯努利定律说的是「频率依概率收敛于 \(p\)」，不是「频率恰好等于 \(p\)」，也不是「频率与 \(p\) 的差单调减小」；它是大数定律，不是中心极限定理。
  • 配套练习：设每次试验事件 \(A\) 发生的概率 \(p=0.3\)，\(n_A\) 为 \(n\) 次独立重复试验中 \(A\) 发生的次数，则 \(\dfrac{n_A}{n}\) 依概率收敛于？（答案：\(0.3\)）

2.4 三个大数定律对比（重点）

  • 是什么/定义：三个定律的结论都是「某种平均依概率收敛于某个常数」，区别只在条件：
定律 条件 结论
切比雪夫 独立、期望相同、方差一致有界 样本均值 \(\xrightarrow{P}\mu\)
辛钦 独立同分布、期望存在 样本均值 \(\xrightarrow{P}\mu\)
伯努利 \(n\) 重伯努利试验 频率 \(\xrightarrow{P}p\)
  • 性质/公式：条件强度关系——切比雪夫与辛钦各有侧重（前者要方差有界、后者要同分布）；伯努利是辛钦（也是切比雪夫）在 0-1 分布下的特例。
  • 怎么考：①选择题判断「某结论由哪个定律得出」；②逐条对照题干条件是否满足某个定律；③改一处条件（如去掉同分布、去掉方差）后判断结论是否仍成立。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】「设 \(X_1,\cdots,X_n\) 独立同分布，\(E(X_i)=\mu\) 存在」，则 \(\bar X\xrightarrow{P}\mu\)。这里用到的是哪个定律？
    • 解：条件为「独立同分布 + 期望存在」，不涉及方差，故是辛钦大数定律。
  • 【例2·真题风格·自编题】下列说法正确的是（　）。
    • (A) 切比雪夫大数定律要求同分布但不要求方差有界
    • (B) 辛钦大数定律不要求方差存在，但要求同分布
    • (C) 伯努利大数定律要求每次试验的概率可以不同
    • (D) 切比雪夫不等式是中心极限定理
    • 解：选 (B)。(A) 反了（切比雪夫要方差有界、不必同分布）；(C) 伯努利要求每次概率相同为 \(p\)；(D) 切比雪夫不等式与大数定律相关，与中心极限定理不同。
  • 易错坑点：三个定律的「条件」极易张冠李戴，务必逐条对照：切比雪夫＝独立＋期望相同＋方差一致有界；辛钦＝独立同分布＋期望存在；伯努利＝\(n\) 重伯努利试验。
  • 配套练习：判断正误——「辛钦大数定律比切比雪夫大数定律条件更弱（更宽松），所以任何满足切比雪夫条件的序列也都满足辛钦条件。」（答案：错误。切比雪夫不要求同分布，辛钦要求同分布，两者条件不可直接比较强弱）

三、中心极限定理

3.1 独立同分布中心极限定理（林德伯格-列维定理）

  • 是什么/定义：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立、同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2>0\)，则当 \(n\) 充分大时，和 \(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\) 近似服从正态分布：
    \[S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\ \ \text{近似服从}\ \ N(n\mu,\ n\sigma^2).\]
  • 性质/公式（标准化后收敛到标准正态）：
  • 和的形式：\(\dfrac{S_n-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)\)，即
    \[P\Big(\frac{S_n-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\le x\Big)\ \to\ \Phi(x).\]
  • 均值形式：\(\bar X=\dfrac{S_n}{n}\) 近似服从 \(N\Big(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\Big)\)，即
    \[\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1),\qquad P\Big(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\le x\Big)\ \to\ \Phi(x).\]
  • 怎么考：①写出「和/均值」的近似正态分布并标准化求概率；②已知 \(E,D\) 与样本量 \(n\)，计算 \(P(S_n\le b)\) 或 \(P(\bar X\le b)\) 的近似值（用 \(\Phi\) 表示）；③判断「大量独立同分布变量之和近似正态」的适用条件。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=10\)，\(D(X_i)=1\)，求总重量 \(S_{100}=\sum_{i=1}^{100}X_i\) 不超过 \(1020\) 的近似概率（用 \(\Phi\) 表示）。
    • 解：\(S_{100}\) 近似服从 \(N(100\times10,\ 100\times1)=N(1000,100)\)，标准差 \(\sqrt{100}=10\)，故
      \[P(S_{100}\le 1020)\approx\Phi\Big(\frac{1020-1000}{10}\Big)=\boxed{\Phi(2)}.\]
  • 【例2·真题】2020年·数一·第8题（选择，4分）：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_{100}\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本，其中 \(P\{X=0\}=P\{X=1\}=\dfrac12\)，\(\Phi(x)\) 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 \(P\Big\{\sum_{i=1}^{100}X_i\le 55\Big\}\) 的近似值为（　）。
    • (A) \(1-\Phi(1)\)　(B) \(\Phi(1)\)　(C) \(1-\Phi(0.2)\)　(D) \(\Phi(0.2)\)
    • 解：\(E(X)=\dfrac12\)，\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14\)。于是 \(\sum X_i\) 近似服从 \(N\Big(100\times\dfrac12,\ 100\times\dfrac14\Big)=N(50,25)\)，标准差为 \(5\)。故
      \[P\Big(\sum_{i=1}^{100}X_i\le 55\Big)\approx\Phi\Big(\frac{55-50}{5}\Big)=\Phi(1),\]
      选 (B)。
  • 易错坑点：①和的标准差是 \(\sqrt n\,\sigma\)（不是 \(n\sigma\)）；均值的标准差是 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)；②标准化时分母千万别用错；③该定理要求同分布且方差存在（\(\sigma^2>0\)）。
  • 配套练习：
    1. 设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，则样本均值 \(\bar X\) 近似服从？（答案：\(N\Big(\mu,\dfrac{\sigma^2}{100}\Big)\)，即 \(\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/10}\) 近似服从 \(N(0,1)\)）
    2. 设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=1\)，\(D(X_i)=4\)，求 \(P\Big(\sum_{i=1}^{100}X_i\le 80\Big)\) 的近似值。（答案：\(\Phi(-1)=1-\Phi(1)\)，因为和近似 \(N(100,400)\)，标准差 \(20\)）

3.2 棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）

  • 是什么/定义：设 \(X\sim B(n,p)\)，则当 \(n\) 充分大时，\(X\) 近似服从正态分布：
    \[X\ \ \text{近似服从}\ \ N\big(np,\ np(1-p)\big).\]
  • 性质/公式（标准化）：
    \[\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1),\qquad P\Big(\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\Big)\to\Phi(x).\]
    这是中心极限定理在二项分布下的特例（二项分布 \(=\) \(n\) 个独立 0-1 变量之和）。
  • 怎么考：①\(n\) 较大时用正态分布近似计算二项分布概率；②写出 \(X\sim B(n,p)\) 的近似正态分布并标准化；③与泊松定理区分（\(n\) 大、\(p\) 很小时用泊松近似，\(p\) 不太小时用正态近似）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim B(400,0.5)\)，由棣莫弗-拉普拉斯定理，\(X\) 近似服从什么分布？并求 \(P(X\le 210)\) 的近似值。
    • 解：\(X\) 近似服从 \(N\big(400\times0.5,\ 400\times0.5\times0.5\big)=N(200,100)\)，标准差为 \(10\)，故
      \[P(X\le 210)\approx\Phi\Big(\frac{210-200}{10}\Big)=\boxed{\Phi(1)}.\]
  • 【例2·真题风格·自编题】某产品次品率为 \(0.2\)，现随机抽取 \(100\) 件，设次品数为 \(X\)，求 \(P(15\le X\le 25)\) 的近似值（用 \(\Phi\) 表示）。
    • 解：\(X\sim B(100,0.2)\)，\(np=20\)，\(np(1-p)=16\)，标准差为 \(4\)。由棣莫弗-拉普拉斯定理，
      \[P(15\le X\le 25)\approx\Phi\Big(\frac{25-20}{4}\Big)-\Phi\Big(\frac{15-20}{4}\Big)=\Phi(1.25)-\Phi(-1.25)=\boxed{2\Phi(1.25)-1}.\]
  • 易错坑点：①近似正态的方差是 \(np(1-p)\)，不是 \(np\)；②\(n\) 大但 \(p\) 很小（如 \(np\) 也很小）时应用泊松近似而非正态近似；③标准化分母是 \(\sqrt{np(1-p)}\)。
  • 配套练习：
    1. 设 \(X\sim B(100,0.2)\)，求 \(P(X\le 20)\) 的近似值。（答案：\(\Phi(0)=0.5\)）
    2. 设 \(X\sim B(400,0.5)\)，求 \(P(190\le X\le 210)\) 的近似值。（答案：\(2\Phi(1)-1\)）

3.3 中心极限定理的应用（题型汇总）

  • 是什么/定义：把前两节的结论统一成「先写近似正态、再标准化、再查 \(\Phi\)」的计算流程，用来求大量独立随机变量之和（或均值）落在某区间的近似概率。
  • 性质/公式（记 \(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\)，注意用 \(S_n\) 而不是单个 \(X\)，避免与随机变量 \(X\) 混淆）：
  • 和的形式：\(S_n\) 近似服从 \(N(n\mu,n\sigma^2)\)，故
    \[P\big(a<S_n\le b\big)\ \approx\ \Phi\Big(\frac{b-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\Big)-\Phi\Big(\frac{a-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\Big).\]
  • 均值形式：\(\bar X\) 近似服从 \(N\Big(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\Big)\)，故
    \[P\big(a<\bar X\le b\big)\ \approx\ \Phi\Big(\frac{b-\mu}{\sigma/\sqrt n}\Big)-\Phi\Big(\frac{a-\mu}{\sigma/\sqrt n}\Big).\]
  • 怎么考：①给「大量独立随机变量之和/均值」落在区间内的概率，先标准化再查 \(\Phi\)；②注意区分题目问的是「和」还是「均值」，分母分别是 \(\sqrt n\,\sigma\) 与 \(\sigma/\sqrt n\)；③有时结合 \(X\sim B(n,p)\) 用二项近似（3.2）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=100\)，\(D(X_i)=25\)，求样本均值 \(\bar X\) 不超过 \(101\) 的近似概率。
    • 解：\(\bar X\) 近似服从 \(N\Big(100,\dfrac{25}{100}\Big)=N(100,0.25)\)，标准差 \(\dfrac{5}{10}=0.5\)，故
      \[P(\bar X\le 101)\approx\Phi\Big(\frac{101-100}{0.5}\Big)=\boxed{\Phi(2)}.\]
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=2\)，\(D(X_i)=9\)，求 \(P\Big(190\le\sum_{i=1}^{100}X_i\le 220\Big)\) 的近似值（用 \(\Phi\) 表示）。
    • 解：\(S_{100}\) 近似服从 \(N(200,900)\)，标准差 \(30\)，故
      \[P(190\le S_{100}\le 220)\approx\Phi\Big(\frac{220-200}{30}\Big)-\Phi\Big(\frac{190-200}{30}\Big)=\Phi\Big(\frac23\Big)-\Phi\Big(-\frac13\Big)=\boxed{\Phi\Big(\frac23\Big)+\Phi\Big(\frac13\Big)-1}.\]
  • 易错坑点：①必须先标准化再查 \(\Phi\)；②「和」用 \(\sqrt n\,\sigma\)，「均值」用 \(\sigma/\sqrt n\)，二者千万别混；③答案通常用 \(\Phi(\cdot)\) 的代数式表示即可，不需硬背 \(\Phi\) 数值表。
  • 配套练习：
    1. 设 \(X_1,\cdots,X_{100}\) 独立同分布，\(E(X_i)=2\)，\(D(X_i)=9\)，求 \(P(\bar X\le 2.3)\) 的近似值。（答案：\(\Phi(1)\)，因为 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{3}{10}\)，\(\dfrac{2.3-2}{0.3}=1\)）
    2. 设 \(X_1,\cdots,X_{64}\) 独立同分布，\(E(X_i)=1\)，\(D(X_i)=4\)，求 \(P\Big(\sum_{i=1}^{64}X_i\ge 48\Big)\) 的近似值。（答案：\(\Phi(1)\)，即 \(1-\Phi(-1)\)：因为和近似 \(N(64,256)\)，标准差 \(16\)，\(P(\ge 48)=1-\Phi\Big(\dfrac{48-64}{16}\Big)=1-\Phi(-1)=\Phi(1)\)）

配套练习（本章综合）

  1. 设 \(E(X)=2\)，\(D(X)=4\)，由切比雪夫不等式，\(P(|X-2|\ge 4)\le\)？（答案：\(\dfrac14\)）
  2. （2001年·数一·一(5)）设随机变量 \(X\) 的方差为 \(2\)，则 \(P\{|X-E(X)|\ge 2\}\le\)？（答案：\(\dfrac12\)）
  3. （2022年·数一·第9题）独立同分布、\(E(X_i^k)=\mu_k\) 下用切比雪夫不等式估计 \(P\Big\{\Big|\bar X-\mu_1\Big|\ge\varepsilon\Big\}\le\)？（答案：\(\dfrac{\mu_2-\mu_1^2}{n\varepsilon^2}\)，选 C）
  4. （2020年·数一·第8题）\(X_i\) 为 0-1 分布（各取 \(\dfrac12\)），利用中心极限定理求 \(P\Big\{\sum_{i=1}^{100}X_i\le 55\Big\}\) 的近似值。（答案：\(\Phi(1)\)，选 B）
  5. 设 \(X\sim B(400,0.5)\)，由棣莫弗-拉普拉斯定理，\(X\) 近似服从？（答案：\(N(200,100)\)）
  6. 设 \(X_i\) 独立同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，则 \(\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\) 近似服从？（答案：\(N(0,1)\)）

学完本章的检验标准

  1. 能用切比雪夫不等式估计 \(|X-E(X)|\) 大于某值的概率上界，并区分「上界」与「精确值」。
  2. 理解「依概率收敛」的含义，会判断题干中的收敛关系。
  3. 能区分三个大数定律（切比雪夫、辛钦、伯努利）的条件与结论，并说出「频率收敛于概率」是伯努利定律。
  4. 能写出独立同分布中心极限定理的和的形式与均值形式（\(\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)\)），并计算和/均值落在某区间的近似概率。
  5. 能写出二项分布的正态近似（棣莫弗-拉普拉斯定理），并区分其与泊松近似的适用场合。
  6. 标准化时能分清「和用 \(\sqrt n\,\sigma\)、均值用 \(\sigma/\sqrt n\)」。

全部达到后，进入第5章「数理统计的基本概念」（总体、样本、统计量与三大抽样分布）。