数理统计的「地基」章：把前面研究的「一个随机变量」推广到「一群样本」，引入总体、样本、统计量，以及做区间估计、假设检验必不可少的三大抽样分布（χ²、t、F）。
前置知识：第 1–3 章的概率、随机变量、数字特征，第4章「大数定律」中的依概率收敛。本章记忆结论多、计算少。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、总体与样本

1.1 总体、个体与样本

  • 是什么/定义：
  • 总体：研究对象的全体，其分布（常含未知参数）是要推断的目标。
  • 个体：组成总体的每个元素。
  • 样本：从总体中抽取的 n 个个体 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\)。
  • 简单随机样本：\(X_1, \cdots, X_n\) 相互独立且与总体同分布（i.i.d.）。
  • 样本值：一次具体观测结果 \(x_1, \cdots, x_n\)。
  • 性质/公式：
  • 「简单随机样本」的两个条件缺一不可：①各 \(X_i\) 相互独立；②每个 \(X_i\) 都与总体 \(X\) 同分布。
  • 若总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)（或密度为 \(f(x)\)），则样本 \((X_1,\cdots,X_n)\) 的联合分布函数为 \(\prod_{i=1}^n F(x_i)\)（联合密度为 \(\prod_{i=1}^n f(x_i)\)）。
  • 「样本是随机变量、样本值是数」：抽样前 \(X_1,\cdots,X_n\) 是 n 个随机变量，抽样后才变成具体数字 \(x_1,\cdots,x_n\)。
  • 怎么考：①判断「简单随机样本」必须同时满足独立与同分布；②由总体分布写出样本的联合分布；③辨析「总体—个体—样本—样本值」概念（常出选择/填空）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】从总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 中抽取简单随机样本 \(X_1,X_2,X_3\)，写出 \((X_1,X_2,X_3)\) 的联合密度。
    • 解：因 \(X_1,X_2,X_3\) 相互独立且同服从 \(N(\mu,\sigma^2)\)，故
      \[f(x_1,x_2,x_3)=\prod_{i=1}^{3}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\right)^3 e^{-\frac{\sum_{i=1}^{3}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\]
  • 【例2·真题风格·自编题】下列说法正确的是（　）。
    (A) 样本就是样本值；(B) 简单随机样本只要求各分量相互独立；(C) 简单随机样本的每个分量都与总体同分布；(D) 样本容量越大，样本均值一定越接近总体均值。
    • 解：(A) 错，样本是随机变量、样本值是观测得到的数；(B) 错，还须与总体同分布；(D) 错，「依概率收敛」不等于「一定接近」（那是第4章大数定律）。选 (C)。
  • 易错坑点：样本（随机变量）与样本值（数）是两个不同概念；「简单随机样本」强调独立 + 同分布两点，缺一不可。
  • 配套练习：设总体 \(X\) 的密度为 \(f(x)\)，\(X_1,\cdots,X_n\) 为其简单随机样本，写出样本的联合密度。（答案：\(\prod_{i=1}^n f(x_i)\)）

1.2 样本的数字特征（必背，注意分母）

  • 是什么/定义：
  • 样本均值：\(\bar X = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)。
  • 样本方差：\(S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2\)（分母 n−1）。
  • 样本标准差：\(S = \sqrt{S^2}\)。
  • 样本 k 阶原点矩：\(A_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k\)（分母 n）。
  • 样本 k 阶中心矩：\(B_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^k\)（分母 n）。
  • 性质/公式（设总体 \(X\) 的均值、方差为 \(\mu,\ \sigma^2\)）：
  • \(E(\bar X)=\mu\)，\(D(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}\)。
  • \(E(S^2)=\sigma^2\)（样本方差是总体方差的无偏估计，这正是 \(S^2\) 分母取 \(n-1\) 的原因）。
  • \(E(A_k)=E(X^k)\)（样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩的无偏估计）。
  • 注意：一般 \(E(S)\ne\sigma\)（样本标准差不是总体标准差的无偏估计），考试只要求记 \(E(S^2)=\sigma^2\)。
  • 怎么考：①默写定义并计算具体样本值的 \(\bar X\)、\(S^2\)；②用 \(E(\bar X)=\mu\)、\(E(S^2)=\sigma^2\) 求形如 \(a\bar X+bS^2\) 的期望（常与无偏估计结合，2009 年真题方向）；③辨析分母 \(n-1\) 与 \(n\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设一组样本值 \(x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=5\)，求样本均值 \(\bar x\) 与样本方差 \(s^2\)。
    • 解：\(\bar x=\dfrac{1+3+5}{3}=3\)；\(s^2=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3-1}=\dfrac{4+0+4}{2}=4\)。
  • 【例2·真题】2009年·数一·第14题（填空4分）：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_m\) 为来自二项分布总体 \(B(n,p)\) 的简单随机样本，\(\bar X\) 和 \(S^2\) 分别为样本均值和样本方差。若 \(\bar X+kS^2\) 为 \(np^2\) 的无偏估计量，则 \(k=\)____。
    • 解：由样本数字特征的性质，\(E(\bar X)=E(X)=np\)，\(E(S^2)=D(X)=np(1-p)\)。由无偏性：
      \[E(\bar X+kS^2)=np+k\cdot np(1-p)=np^2.\]
      约去 \(np\)（\(0<p<1\)）得 \(1+k(1-p)=p\)，即 \(k(1-p)=-(1-p)\)，故 \(k=-1\)。
  • 易错坑点（最高频）：样本方差分母是 n−1（保证无偏），样本矩分母是 n，两者别混；\(E(S^2)=\sigma^2\) 但 \(E(S)\ne\sigma\)。
  • 配套练习：设总体 \(X\) 的均值、方差分别为 \(\mu,\ \sigma^2\)，\(\bar X\) 为容量 \(n\) 的样本均值，求 \(E(\bar X^2)\)（用 \(\mu,\sigma^2,n\) 表示）。（答案：\(E(\bar X^2)=D(\bar X)+[E(\bar X)]^2=\mu^2+\dfrac{\sigma^2}{n}\)）

二、统计量

2.1 统计量

  • 是什么/定义：统计量是不含任何未知参数、只含样本的函数 \(g(X_1,\cdots,X_n)\)；它本身也是随机变量。
  • 性质/公式：
  • 样本均值 \(\bar X\)、样本方差 \(S^2\)、样本标准差 \(S\)、样本各阶矩 \(A_k,B_k\) 都是统计量。
  • 含未知参数（如 \(\mu\)、\(\sigma^2\)、\(p\)、\(\theta\)）的式子不是统计量。
  • 统计量作为随机变量也有自己的分布，称为抽样分布（第三、四章的核心）。
  • 怎么考：①判断给定式子是否为统计量；②识别常见统计量；③由统计量的分布反求参数（即抽样分布的应用）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)（\(\mu,\sigma^2\) 均未知），\(X_1,X_2,X_3\) 为样本，判断下列哪些是统计量：①\(X_1+X_2+X_3\)；②\(\bar X-\mu\)；③\(\dfrac{1}{3}(X_1^2+X_2^2+X_3^2)\)；④\(\dfrac{X_1-\mu}{\sigma}\)。
    • 解：①是；②含未知 \(\mu\)，不是；③是（即样本二阶原点矩 \(A_2\)）；④含未知 \(\mu,\sigma\)，不是。
  • 【例2·真题风格·自编题】设总体 \(X\) 的均值 \(\mu\) 未知、方差 \(\sigma^2\) 已知，下列哪个是统计量？（　）
    (A) \(\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\)；(B) \(\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\)；(C) \(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2-\bar X^2\)；(D) \(\dfrac{\mu}{\sigma}\)。
    • 解：(C) 即样本二阶中心矩 \(B_2\)，只含样本，是统计量；(A)(B)(D) 均含未知 \(\mu\)，不是。选 (C)。
  • 易错坑点：含未知参数的式子不是统计量（哪怕它「看起来」是随机变量）；统计量本身是随机变量，有它的分布（抽样分布）。
  • 配套练习：设总体 \(X\sim B(1,p)\)（\(0<p<1\)），判断下列是否为统计量：①\(X_1+X_2\)；②\(p(1-p)\)；③\(\bar X(1-\bar X)\)。（答案：①③是，②不是）

三、三大抽样分布

抽样分布是「统计量」的分布，是区间估计与假设检验的理论依据。

3.1 χ² 分布（卡方分布）

  • 是什么/定义：\(X_1, \cdots, X_n\) 独立且同服从 \(N(0,1)\)，则 \(\chi^2 = X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)\)，\(n\) 为自由度。
  • 性质/公式：
  • \(E(\chi^2) = n\)，\(D(\chi^2) = 2n\)。
  • 可加性：若 \(X \sim \chi^2(n_1)\)、\(Y \sim \chi^2(n_2)\) 独立，则 \(X + Y \sim \chi^2(n_1 + n_2)\)。
  • χ² 只取非负值（密度在 \(x>0\) 有定义，\(x\le 0\) 处为 0）。
  • 分位数记号 \(\chi^2_\alpha(n)\)：\(P(\chi^2>\chi^2_\alpha(n))=\alpha\)（见 3.4）。
  • 怎么考：①由「n 个独立标准正态平方和」识别 χ² 变量；②用 \(E=n,\ D=2n\) 求期望方差；③用可加性合并两个独立 χ²；④与样本方差 \((n-1)S^2/\sigma^2\) 联系（第四章）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,X_2,X_3,X_4\) 独立同服从 \(N(0,1)\)，求 \(Y=X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\) 的期望与方差。
    • 解：由构造 \(Y\sim\chi^2(4)\)，故 \(E(Y)=4\)，\(D(Y)=2\times 4=8\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim N(0,1)\)、\(Y\sim\chi^2(3)\) 且相互独立，令 \(Z=X^2+Y\)，求 \(E(Z)\)、\(D(Z)\)。
    • 解：\(X^2\sim\chi^2(1)\)，故 \(E(X^2)=1,\ D(X^2)=2\)；\(E(Y)=3,\ D(Y)=6\)。由独立性：\(E(Z)=1+3=4\)，\(D(Z)=2+6=8\)。
  • 易错坑点：χ² 只取非负值；自由度为 \(n\) 表示「\(n\) 个独立标准正态的平方和」；\(\chi^2(1)\) 就是标准正态的平方。
  • 配套练习：设 \(X_1,\cdots,X_6\) 独立同服从 \(N(0,1)\)，令 \(Y=(X_1+X_2+X_3)^2+(X_4+X_5+X_6)^2\)，问 \(\dfrac{Y}{3}\) 服从什么分布？（答案：先标准化：\(X_1+X_2+X_3\sim N(0,3)\)，故 \(\dfrac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt 3}\sim N(0,1)\)，同理另一组，于是 \(\dfrac{Y}{3}\sim\chi^2(2)\)）

3.2 t 分布

  • 是什么/定义：\(X \sim N(0,1)\)，\(Y \sim \chi^2(n)\)，二者独立，则 \(T = \dfrac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)\)。
  • 性质/公式：
  • t 分布关于 \(x=0\) 对称；当 \(n>1\) 时 \(E(T)=0\)；\(n\) 较大时近似标准正态 \(N(0,1)\)。
  • 重要关系：\(T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)\)（因为 \(T^2=\dfrac{X^2}{Y/n}\)，而 \(X^2\sim\chi^2(1)\)）。
  • 分位数记号 \(t_\alpha(n)\)：\(P(T>t_\alpha(n))=\alpha\)，且由对称性 \(t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)\)（见 3.4）。
  • 怎么考：①由构造识别 t 变量；②用对称性求双侧概率；③利用 \(t^2\sim F(1,n)\) 搭桥（2013 年真题）；④与样本均值 \((\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)\) 联系（第四章）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim N(0,1)\)、\(Y\sim\chi^2(9)\) 且相互独立，求 \(T=\dfrac{X}{\sqrt{Y/9}}\) 的分布。
    • 解：由 t 分布的构造，\(T\sim t(9)\)。
  • 【例2·真题】2013年·数一·第8题（选择4分）：设随机变量 \(X\sim t(n)\)，\(Y\sim F(1,n)\)，给定 \(\alpha\ (0<\alpha<0.5)\)，若 \(P\{X>c\}=\alpha\)，则 \(P\{Y>c^2\}=\)（　）。
    (A) \(\alpha\)　(B) \(1-\alpha\)　(C) \(2\alpha\)　(D) \(1-2\alpha\)
    • 解：由 t 分布典型模式，\(X\) 可写为 \(\dfrac{Z}{\sqrt{V/n}}\)，其中 \(Z\sim N(0,1)\)、\(V\sim\chi^2(n)\) 独立，故 \(X^2=\dfrac{Z^2}{V/n}\sim F(1,n)\)，与 \(Y\) 同分布。又 t 分布关于 0 对称，\(P\{X>c\}=\alpha\)（\(\alpha<0.5\) 时 \(c>0\)），故 \(P\{X<-c\}=\alpha\)。于是
      \[P\{Y>c^2\}=P\{X^2>c^2\}=P\{X>c\}+P\{X<-c\}=2\alpha,\ \text{选 (C)}.\]
  • 易错坑点：t 分布以 0 为中心对称，双侧分位数 \(t_{\alpha/2}(n)\) 满足 \(P\{|T|>t_{\alpha/2}(n)\}=\alpha\)；别忘了 \(T^2\sim F(1,n)\) 这条高频「桥」。
  • 配套练习：设 \(T\sim t(n)\)，求 \(P\{T>t_{\alpha/2}(n)\}\) 与 \(P\{|T|>t_{\alpha/2}(n)\}\)。（答案：\(\dfrac{\alpha}{2}\)；\(\alpha\)）

3.3 F 分布

  • 是什么/定义：\(X \sim \chi^2(n_1)\)、\(Y \sim \chi^2(n_2)\) 独立，则 \(F = \dfrac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)\)，\((n_1, n_2)\) 为自由度（\(n_1\) 分子、\(n_2\) 分母）。
  • 性质/公式：
  • F 分布有两个自由度，顺序不能反。
  • 重要关系：\(\dfrac{1}{F(n_1, n_2)} \sim F(n_2, n_1)\)。
  • 分位数关系：\(F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \dfrac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}\)。
  • 与 t 的联系：\(T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)\)。
  • 怎么考：①由「两个独立 χ² 各除以自由度再相除」识别 F；②用 \(\dfrac1F\) 关系与分位数对调；③与两个正态总体样本方差之比联系（第四章）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X\sim\chi^2(4)\)、\(Y\sim\chi^2(6)\) 且相互独立，求 \(F=\dfrac{X/4}{Y/6}\) 的分布及 \(\dfrac1F\) 的分布。
    • 解：由 F 分布构造，\(F\sim F(4,6)\)；\(\dfrac1F\sim F(6,4)\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(F\sim F(3,5)\)，查表得 \(F_{0.05}(3,5)=5.41\)、\(F_{0.05}(5,3)=9.01\)，求 \(F_{0.95}(3,5)\)。
    • 解：\(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\dfrac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}\)，故 \(F_{0.95}(3,5)=\dfrac{1}{F_{0.05}(5,3)}=\dfrac{1}{9.01}\approx 0.111\)。
  • 易错坑点：F 分布两个自由度顺序不能反；\(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)\) 要把自由度对调并取倒数（不是直接取负）。
  • 配套练习：设 \(X\sim\chi^2(2)\)、\(Y\sim\chi^2(8)\) 且独立，令 \(F=\dfrac{X/2}{Y/8}\)，求 \(F\) 的分布及 \(\dfrac1F\) 的分布。（答案：\(F\sim F(2,8)\)，\(\dfrac1F\sim F(8,2)\)）

3.4 分位数记号约定（上侧分位数，第6、7章直接使用）

  • 是什么/定义：本章起统一采用上侧分位数记号。设随机变量 \(U\)，对给定的 \(\alpha\in(0,1)\)，满足 \(P(U>u_\alpha)=\alpha\) 的点 \(u_\alpha\) 称为 \(U\) 的（上侧）\(\alpha\) 分位数——即 \(u_\alpha\) 右侧的尾部概率恰为 \(\alpha\)。四个常用分位数：
  • \(z_\alpha\)：标准正态 \(Z\sim N(0,1)\)，\(P(Z>z_\alpha)=\alpha\)；
  • \(t_\alpha(n)\)：\(T\sim t(n)\)，\(P(T>t_\alpha(n))=\alpha\)；
  • \(\chi^2_\alpha(n)\)：\(\chi^2\sim\chi^2(n)\)，\(P(\chi^2>\chi^2_\alpha(n))=\alpha\)；
  • \(F_\alpha(n_1,n_2)\)：\(F\sim F(n_1,n_2)\)，\(P(F>F_\alpha(n_1,n_2))=\alpha\)。
  • 性质/公式：
  • 标准正态、t 分布关于 0 对称：\(z_{1-\alpha}=-z_\alpha\)，\(t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)\)。
  • 双侧写法：\(P(|Z|>z_{\alpha/2})=\alpha\)，\(P(|T|>t_{\alpha/2}(n))=\alpha\)（把 \(\alpha\) 对半分到两侧）。
  • F 分布：\(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\dfrac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}\)。
  • 为什么第6、7章直接写 \(z_{\alpha/2}\)：区间估计的置信度为 \(1-\alpha\)，两端各留 \(\dfrac{\alpha}{2}\) 的概率，因此用「上侧 \(\dfrac{\alpha}{2}\) 分位数」。
  • 怎么考：①由 \(P(U>u)=\alpha\) 判断 \(u\) 是哪个分位数；②用对称性把 \(z_{1-\alpha}\)、\(t_{1-\alpha}\) 转成 \(-z_\alpha\)、\(-t_\alpha\)；③给分位数值求概率；④F 分位数下标对调取倒数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(Z\sim N(0,1)\)，已知 \(P(Z>1.96)=0.025\)，写出 \(z_{0.025}\)，并求 \(z_{0.975}\)。
    • 解：由定义 \(z_{0.025}=1.96\)；由对称性 \(z_{0.975}=-z_{0.025}=-1.96\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(T\sim t(n)\)，已知 \(P(T>t_{0.025}(n))=0.025\)，求 \(P(|T|>t_{0.025}(n))\)。
    • 解：由对称性 \(P(T<-t_{0.025}(n))=0.025\)，故 \(P(|T|>t_{0.025}(n))=0.025+0.025=0.05\)。（这正是置信度 95% 时区间估计用到 \(t_{\alpha/2}(n)\) 的原因。）
  • 易错坑点：本讲义用的是「右侧尾部概率 \(=\alpha\)」的上侧分位数；\(z\)、\(t\) 对称所以下标 \(1-\alpha\) 取负号，\(\chi^2\)、\(F\) 不对称不能取负；\(F\) 分位数要「下标对调 + 取倒数」。
  • 配套练习：设 \(\chi^2\sim\chi^2(10)\)，已知 \(P(\chi^2>18.307)=0.05\)，写出 \(\chi^2_{0.05}(10)\)；并用 \(F_\alpha(n_2,n_1)\) 表示 \(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)\)。（答案：\(\chi^2_{0.05}(10)=18.307\)；\(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\dfrac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}\)）

四、正态总体的常用抽样分布（核心结论，必背）

4.1 单个正态总体：\(\bar X\)、\(S^2\) 与 \(t\) 的抽样分布

  • 是什么/定义：设 \(X_1, \cdots, X_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的简单随机样本，\(\bar X\)、\(S^2\) 为样本均值、样本方差，则：
    1. 样本均值的分布：
    \[\bar X \sim N\Big(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\Big), \quad \text{即 } \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1).\]
    2. 样本方差与总体方差的联系：
    \[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1),\]
    且 \(\bar X\) 与 \(S^2\) 相互独立。
    3. 用样本方差替代总体方差（t 分布）：
    \[\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n} \sim t(n-1).\]
  • 性质/公式：
  • 结论 1 是「标准化」；结论 2 是「样本方差联系总体方差」；结论 3 是「\(\sigma\) 未知时用 \(S\) 替代」。
  • 三条结论的自由度都是 \(n-1\)（估计 \(\mu\) 用掉了一个自由度）。
  • 由结论 2 可反推出 \(E(S^2)=\sigma^2\)：\(E\!\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right]=n-1\Rightarrow E(S^2)=\sigma^2\)。
  • 怎么考：①给定 \(\mu,\sigma^2,n\) 直接写出 \(\bar X\)、\(S^2\) 相关统计量的分布；②用结论 1 标准化求概率；③用结论 2 求 \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\) 的分布（自由度 \(n-1\)）；④\(\sigma\) 未知时用结论 3 构造 t 变量。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,X_2,\cdots,X_9\) 是来自正态总体 \(N(2,9)\) 的简单随机样本，\(\bar X\) 为样本均值，\(S^2\) 为样本方差。求：（1）\(\bar X\) 的分布；（2）\(P(\bar X>3)\)；（3）\(\dfrac{8S^2}{9}\) 的分布。
    • 解：（1）\(\bar X\sim N\!\left(2,\dfrac{9}{9}\right)=N(2,1)\)。（2）标准化：\(P(\bar X>3)=1-\Phi\!\left(\dfrac{3-2}{1}\right)=1-\Phi(1)\approx 0.1587\)。（3）由结论 2，\(n-1=8\)、\(\sigma^2=9\)，故 \(\dfrac{8S^2}{9}\sim\chi^2(8)\)。
  • 【例2·真题】2023年·数一·第10题（选择5分）：设 \(X_1,X_2\) 为来自总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，其中 \(\sigma\ (\sigma>0)\) 是未知参数。若 \(\hat\sigma=a|X_1-X_2|\) 为 \(\sigma\) 的无偏估计，则 \(a=\)（　）。
    (A) \(\dfrac{\sqrt\pi}{2}\)　(B) \(\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}\)　(C) \(\sqrt\pi\)　(D) \(\sqrt{2\pi}\)
    • 解：正态变量的线性组合仍正态，\(Y=X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)\)。则
      \[E|Y|=\int_{-\infty}^{\infty}|y|\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt2\,\sigma}e^{-\frac{y^2}{2\cdot 2\sigma^2}}\,dy=\frac{2\sigma}{\sqrt\pi}.\]
      由无偏性 \(E(\hat\sigma)=aE|X_1-X_2|=\sigma\)，即 \(a\cdot\dfrac{2\sigma}{\sqrt\pi}=\sigma\)，故 \(a=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\)，选 (A)。（「无偏估计」属第6章，此处关键用到本章的抽样分布 \(Y=X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)\)。）
  • 易错坑点：\(\bar X\) 的方差是 \(\sigma^2/n\)（除以 \(n\)，不是 \(n-1\)）；\(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\) 的自由度是 \(n-1\)；第 3 条分母是 \(S\)（样本标准差）、第 1 条分母是 \(\sigma\)（总体标准差），别混。
  • 配套练习：设 \(X_1,\cdots,X_{16}\) 来自 \(N(\mu,4)\)，求：(a) \(\bar X\) 的分布；(b) \(\dfrac{15S^2}{4}\) 的分布；(c) \(\dfrac{\bar X-\mu}{S/4}\) 的分布。（答案：(a) \(N(\mu,\dfrac14)\)；(b) \(\chi^2(15)\)；(c) \(t(15)\)）

4.2 两个正态总体：方差比的 F 分布

  • 是什么/定义：两样本相互独立，\(X_1,\cdots,X_{n_1}\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y_1,\cdots,Y_{n_2}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，样本方差为 \(S_1^2,\ S_2^2\)，则
    \[\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1).\]
    当 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 时，\(\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\)。
  • 性质/公式：
  • 推导：\(\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2(n_1-1)\)、\(\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2(n_2-1)\)，各自除以自由度再相除即得 F。
  • 分子自由度 \(n_1-1\)、分母自由度 \(n_2-1\)（不是 \(n_1,n_2\)）。
  • 怎么考：①求两独立正态样本方差比的分布（\(\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\) 时须配系数）；②利用 F 分布定义判断选项（2023 年真题方向）；③结合 \(F_{1-\alpha}\) 分位数求概率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(X_1,\cdots,X_9\sim N(\mu,\sigma^2)\)、\(Y_1,\cdots,Y_{16}\sim N(\mu,\sigma^2)\) 且两样本独立，样本方差为 \(S_1^2,S_2^2\)，求 \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\) 的分布。
    • 解：两总体方差相同，故 \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(8,15)\)。
  • 【例2·真题】2023年·数一·第9题（选择5分）：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(N(\mu_1,\sigma^2)\) 的简单随机样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_m\) 为来自总体 \(N(\mu_2,2\sigma^2)\) 的简单随机样本，且两样本相互独立。记 \(S_1^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\)，\(S_2^2=\dfrac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(Y_i-\bar Y)^2\)，则（　）。
    (A) \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)\)　(B) \(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)\)　(C) \(\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)\)　(D) \(\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)\)
    • 解：\(\dfrac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，\(\dfrac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2}\sim\chi^2(m-1)\)。由 F 分布定义：
      \[\frac{\dfrac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2}/(n-1)}{\dfrac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2}/(m-1)}=\frac{S_1^2/\sigma^2}{S_2^2/(2\sigma^2)}=\frac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1),\ \text{选 (D)}.\]
  • 易错坑点：\(S_1^2/S_2^2\) 直接服从 F 的前提是 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\)；若 \(\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\) 必须带上 \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 的系数（如本题配出 \(2S_1^2/S_2^2\)）；自由度是 \(n_1-1,\ n_2-1\)。
  • 配套练习：设 \(X_1,\cdots,X_6\sim N(\mu_1,\sigma^2)\)、\(Y_1,\cdots,Y_{10}\sim N(\mu_2,\sigma^2)\) 且独立，\(S_1^2,S_2^2\) 为样本方差，求 \(\dfrac{S_2^2}{S_1^2}\) 的分布。（答案：\(F(9,5)\)）

配套练习（本章综合）

  1. 设 \(X_1,\cdots,X_{16}\) 来自 \(N(0,1)\)，则样本均值 \(\bar X\) 服从？（答案：\(N(0,\ 1/16)\)）
  2. 设 \(X_1,\cdots,X_{10}\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(\dfrac{9S^2}{\sigma^2}\) 服从？（答案：\(\chi^2(9)\)）
  3. 设 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim\chi^2(10)\) 且独立，则 \(T=\dfrac{X}{\sqrt{Y/10}}\) 服从？（答案：\(t(10)\)）
  4. 设 \(X\sim\chi^2(3)\)、\(Y\sim\chi^2(6)\) 且独立，则 \(\dfrac{X/3}{Y/6}\) 服从？（答案：\(F(3,6)\)）
  5. 设 \(T\sim t(20)\)，则 \(P\{|T|>t_{0.05}(20)\}=\)？（答案：\(0.10\)）

学完本章的检验标准

  1. 能区分总体、个体、样本、样本值，判断一个函数是否是统计量。
  2. 会默写样本均值、样本方差（分母 n−1）、样本矩（分母 n）的定义。
  3. 知道 χ²、t、F 三大分布的构造与自由度。
  4. 能正确使用上侧分位数记号 \(z_\alpha,\ t_\alpha,\ \chi^2_\alpha,\ F_\alpha\)（含对称性 \(z_{1-\alpha}=-z_\alpha\)、\(F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\dfrac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}\)）。
  5. 能默写正态总体样本均值、样本方差的四个抽样分布结论（N、χ²、t、F）。
  6. 能由抽样分布结论求概率或做标准化计算。

全部达到后，进入第6章「参数估计」（矩估计、最大似然估计、区间估计）。