第6章「参数估计」讲义

数理统计的核心问题之一：总体的分布形式已知但参数未知，如何用样本数据去「估计」参数。本章讲两类点估计方法（矩估计、最大似然估计）、评价估计量的三条标准（无偏性、有效性、一致性），以及区间估计（置信区间）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。
前置知识：第5章「数理统计的基本概念」（总体、样本、统计量、抽样分布），以及期望、方差、常见分布。本章是数一概率论必考的压轴考点，计算套路清晰，务必熟练掌握。
关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、基本概念

1.1 总体与样本

是什么/定义：
总体：研究对象的全体，其分布（含未知参数 \(\theta\)）是要推断的目标。
样本：从总体中抽取的 \(n\) 个个体 \(X_1,\cdots,X_n\)。
简单随机样本：\(X_1,\cdots,X_n\) 相互独立且与总体同分布（独立同分布）。
样本值：一次具体观测结果 \(x_1,\cdots,x_n\)（样本是随机变量，样本值是具体数字）。
性质/公式：简单随机样本 ⇒ \(X_1,\cdots,X_n\) 独立同分布，故联合密度（或联合分布）等于各边缘的乘积：\(f(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i)\)。
怎么考：①由「简单随机样本」推出独立同分布，进而求联合分布、求统计量的分布；②辨析样本与样本值的概念。
典型例题：
【例1·基础】设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2\) 是简单随机样本，求 \(X_1+X_2\) 与 \(X_1-X_2\) 的分布。
- 解：\(X_1,X_2\) 独立且均服从 \(N(\mu,\sigma^2)\)，故 \(X_1+X_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)\)，\(X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)\)。
【例2·真题风格·自编题】判断正误：「样本 \(X_1,\cdots,X_n\) 与样本值 \(x_1,\cdots,x_n\) 都是随机变量」。
- 解：错误。抽取前样本 \(X_i\) 是随机变量；抽取后观测到的具体数字 \(x_i\) 是常数，不是随机变量。
易错坑点：「样本是随机变量、样本值是数字」必须分清；做题时常把观测值直接代入计算估计值，此时得到的是「估计值」（数），而估计量（随机变量）是用大写 \(X_i\) 表示的。
配套练习：设总体 \(X\sim B(1,p)\)，\(X_1,X_2\) 是简单随机样本，写出 \((X_1,X_2)\) 的联合分布律。（答案：\(P(X_1=x_1,X_2=x_2)=p^{x_1+x_2}(1-p)^{2-x_1-x_2}\)，\(x_1,x_2\in\{0,1\}\)）

1.2 统计量

是什么/定义：不含任何未知参数、只含样本的函数 \(g(X_1,\cdots,X_n)\) 称为统计量。
性质/公式（常用统计量）：
样本均值 \(\bar X=\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\)；
样本方差 \(S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\)；
样本 \(k\) 阶原点矩 \(A_k=\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^k\)。
怎么考：①判断一个含样本的式子是否是统计量（看是否含未知参数）；②写出常用统计量并求其分布/数字特征。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X_1,\cdots,X_n\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu,\sigma^2\) 未知，判断下列哪些是统计量：①\(\bar X\)；②\(\dfrac{X_1-\mu}{\sigma}\)；③\(\dfrac{X_1-\bar X}{S}\)；④\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)。
- 解：①④不含未知参数，是统计量；②含 \(\mu,\sigma\)，不是统计量；③不含未知参数（\(S\) 为样本标准差），是统计量。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X_1,\cdots,X_n\) 来自 \(N(0,\sigma^2)\)，则 \(\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^2\) 是否统计量？其期望是多少？
- 解：只含样本，是统计量。\(E\left(\dfrac1n\sum X_i^2\right)=\dfrac1n\sum E(X_i^2)=\dfrac1n\cdot n\sigma^2=\sigma^2\)（因 \(E(X_i)=0\)，\(E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2=\sigma^2\)）。
易错坑点：判断统计量的唯一标准是「是否含未知参数」；含未知参数（哪怕写成 \(\theta\) 的函数）就不是统计量。样本方差分母是 \(n-1\)（用于无偏），样本矩分母是 \(n\)。
配套练习：设 \(X_1,\cdots,X_n\) 来自总体 \(X\)，\(E(X)=\mu\)，判断 \(\bar X-\mu\) 与 \(\bar X\) 哪个是统计量。（答案：\(\bar X\) 是统计量；\(\bar X-\mu\) 含未知参数 \(\mu\)，不是统计量）

1.3 点估计

是什么/定义：用某个统计量 \(\hat\theta(X_1,\cdots,X_n)\) 去估计未知参数 \(\theta\)，称 \(\hat\theta\) 为 \(\theta\) 的点估计量；代入样本值 \(x_1,\cdots,x_n\) 得到估计值 \(\hat\theta(x_1,\cdots,x_n)\)。
性质/公式：估计量是随机变量，估计值是数；同一参数可以有多种估计量。
怎么考：①区分估计量与估计值；②理解「点估计」与后文「区间估计」的区别（点估计给一个数，区间估计给一个区间）。
典型例题：
【例1·基础】设总体 \(X\sim P(\lambda)\)，样本 \(X_1,\cdots,X_n\)，写出 \(\lambda\) 的一个点估计量，并说明其估计值怎么得到。
- 解：取 \(\hat\lambda=\bar X\)（随机变量）；若测得样本值 \(x_1,\cdots,x_n\)，则估计值为 \(\hat\lambda=\dfrac1n\sum x_i\)（数）。
【例2·真题风格·自编题】「估计量」与「估计值」何时相等？
- 解：把估计量中的大写 \(X_i\) 换成具体观测值 \(x_i\)，即得估计值；两者数值可能相同，但一个是随机变量、一个是常数，概念不同。
易错坑点：点估计量必须用大写 \(X_i\)（随机变量）写，估计值用小写 \(x_i\)（数字）；选择题常考「以下哪个是估计量/估计值」。
配套练习：简述点估计与区间估计的区别。（答案：点估计用一个数估计参数，区间估计用一个区间并以置信水平度量其可靠程度）

二、矩估计

2.1 基本思想

是什么/定义：用「样本矩」代替「总体矩」，令它们相等，解出未知参数，所得估计量称为矩估计量。
性质/公式：有几个待估参数，就令前几阶样本矩 = 对应总体矩，解方程组；一阶用 \(E(X)\)，二阶用 \(E(X^2)\)。
怎么考：①单个参数的矩估计；②两个参数的矩估计；③矩估计与最大似然估计对比。
典型例题：
【例1·基础】设总体 \(X\sim U(0,\theta)\)，\(\theta>0\) 未知，\(X_1,\cdots,X_n\) 为样本，求 \(\theta\) 的矩估计。
- 解：\(E(X)=\dfrac{\theta}{2}\)。令 \(\bar X=\dfrac{\theta}{2}\)，解得 \(\hat\theta=2\bar X\)。
【例2·真题风格·自编题】设总体 \(X\sim B(1,p)\)，求 \(p\) 的矩估计。
- 解：\(E(X)=p\)，令 \(\bar X=p\)，得 \(\hat p=\bar X\)。
易错坑点：矩估计「令样本矩 = 总体矩」时，样本矩的分母是 \(n\)（不是 \(n-1\)）；用二阶中心矩对应 \(D(X)\) 时要注意换算成 \(E(X^2)\)。
配套练习：设总体 \(X\sim P(\lambda)\)，求 \(\lambda\) 的矩估计。（答案：\(\hat\lambda=\bar X\)）

2.2 计算步骤（一阶矩估计单个参数）

是什么/定义：只有一个待估参数时，只需用一阶原点矩。
性质/公式：
1. 求总体一阶原点矩 \(\mu_1(\theta)=E(X)\)；
2. 令样本一阶矩 \(A_1=\bar X\) 等于 \(E(X)\)：\(\bar X=\mu_1(\theta)\)；
3. 解出 \(\hat\theta=g(\bar X)\)。
怎么考：①给密度/分布列求 \(\theta\) 的矩估计；②给分布函数先求密度再求矩估计。
典型例题：
【例1·基础】设总体密度 \(f(x;\theta)=\theta x^{\theta-1}\)（\(0<x<1\)，\(\theta>0\)），求 \(\theta\) 的矩估计。
- 解：\(E(X)=\int_0^1 x\cdot\theta x^{\theta-1}dx=\theta\int_0^1 x^{\theta}dx=\dfrac{\theta}{\theta+1}\)。令 \(\bar X=\dfrac{\theta}{\theta+1}\)，解得 \(\hat\theta=\dfrac{\bar X}{1-\bar X}\)。
【例2·真题】2004年·数一·第23题(Ⅰ)（9分）：设总体 \(X\) 的分布函数为
\[F(x;\beta)=\begin{cases}1-\dfrac{1}{x^{\beta}},&x>1\\ 0,&x\le 1\end{cases}\]
其中 \(\beta>1\) 未知，\(X_1,\cdots,X_n\) 为样本，求 \(\beta\) 的矩估计量。
- 解：先求密度 \(f(x;\beta)=F'(x)=\beta x^{-\beta-1}\)（\(x>1\)）。则
  \[E(X)=\int_1^\infty x\cdot\beta x^{-\beta-1}dx=\beta\int_1^\infty x^{-\beta}dx=\frac{\beta}{\beta-1}.\]
  令 \(\bar X=\dfrac{\beta}{\beta-1}\)，解得 \(\hat\beta=\dfrac{\bar X}{\bar X-1}\)。（该题的最大似然估计见 3.3）
易错坑点：给的是分布函数时要先求导得到密度函数；\(E(X)\) 的积分限按密度支集（本题为 \(x>1\)）取，别写错上下限。
配套练习：设总体 \(X\) 密度 \(f(x;\theta)=\dfrac{2x}{\theta^2}\)（\(0<x<\theta\)），求 \(\theta\) 的矩估计。（答案：\(E(X)=\dfrac{2\theta}{3}\)，\(\hat\theta=\dfrac{3}{2}\bar X\)）

2.3 两个参数的矩估计

是什么/定义：两个待估参数 \(\theta_1,\theta_2\)，需同时用一阶、二阶矩。
性质/公式：令 \(\begin{cases}E(X)=\bar X\\ E(X^2)=A_2=\dfrac1n\sum X_i^2\end{cases}\)，解方程组得 \(\hat\theta_1,\hat\theta_2\)。
均匀分布 \(U(a,b)\) 的矩估计反解式：
\[E(X)=\frac{a+b}{2},\qquad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12},\qquad E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\frac{(b-a)^2}{12}+\frac{(a+b)^2}{4}.\]
令 \(\bar X=\dfrac{a+b}{2}\)、\(A_2=\dfrac1n\sum X_i^2=\dfrac{(b-a)^2}{12}+\dfrac{(a+b)^2}{4}\)，反解得
\[\hat a=\bar X-\sqrt{3(A_2-\bar X^2)},\qquad \hat b=\bar X+\sqrt{3(A_2-\bar X^2)},\]
其中 \(A_2-\bar X^2=\dfrac1n\sum X_i^2-\bar X^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\)。
怎么考：①均匀分布 \(U(a,b)\)、正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的两参数矩估计；②给含两参数的密度求矩估计。
典型例题：
【例1·基础】设总体 \(X\sim U(a,b)\)，\(a<b\) 未知，\(X_1,\cdots,X_n\) 为样本，求 \(a,b\) 的矩估计。
- 解：由上面反解式，\(\hat a=\bar X-\sqrt{\dfrac{3}{n}\sum(X_i-\bar X)^2}\)，\(\hat b=\bar X+\sqrt{\dfrac{3}{n}\sum(X_i-\bar X)^2}\)。
【例2·真题风格·自编题】设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求 \(\mu,\sigma^2\) 的矩估计。
- 解：\(E(X)=\mu\)，\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\sigma^2+\mu^2\)。令 \(\mu=\bar X\)、\(\sigma^2+\mu^2=A_2\)，得 \(\hat\mu=\bar X\)，\(\hat\sigma^2=A_2-\bar X^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\)。
易错坑点：二阶矩用 \(E(X^2)\)（对应 \(\dfrac1n\sum X_i^2\)），别和样本方差 \(S^2\)（分母 \(n-1\)）混；解方程组时先把参数与矩的关系式列清楚再代入。
配套练习：设总体 \(X\sim U(a,b)\)，已知 \(\bar X=4\)、\(A_2=\dfrac1n\sum X_i^2=17\)，求 \(a,b\) 的矩估计值。（答案：\(A_2-\bar X^2=17-16=1\)，\(\hat a=4-\sqrt3\)，\(\hat b=4+\sqrt3\)）

2.4 典型题型与方法小结

是什么/定义：矩估计的常见题型归纳。
性质/公式：
题型一：已知总体密度含 \(\theta\)，求 \(\theta\) 的矩估计；
题型二：均匀分布 \(U(0,\theta)\) 或 \(U(a,b)\) 的参数矩估计；
题型三：比较矩估计与最大似然估计的结果是否相同。
怎么考：多数年份考一道解答题或填空题，套路固定：求矩 → 令相等 → 反解。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim U(0,\theta)\)，矩估计与最大似然估计是否相同？
- 解：矩估计 \(\hat\theta=2\bar X\)；最大似然估计 \(\hat\theta=\max X_i\)（见 3.4）。两者不同。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim P(\lambda)\)，矩估计与最大似然估计是否相同？
- 解：矩估计 \(\hat\lambda=\bar X\)；最大似然估计 \(\hat\lambda=\bar X\)（见 3.5）。两者相同。
易错坑点：矩估计和 MLE 结果可能相同（指数、泊松、正态均值）也可能不同（均匀分布），不要想当然认为一样。
配套练习：设 \(X\sim E(\lambda)\)，比较 \(\lambda\) 的矩估计与最大似然估计。（答案：均为 \(\hat\lambda=1/\bar X\)，相同）

三、最大似然估计（MLE）

3.1 基本思想

是什么/定义：已经发生的样本值「最可能」来自使该样本出现概率（密度）最大的参数值。
性质/公式：选使似然函数 \(L(\theta)\) 达到最大的参数值作为估计：\(\hat\theta=\arg\max_\theta L(\theta)\)。
怎么考：①离散型用联合分布律、连续型用联合密度构造似然函数；②对似然函数求最大值。
典型例题：
【例1·基础】用一句话说明最大似然估计的直观含义。
- 解：样本已发生，选一个参数 \(\hat\theta\)，使「出现这批样本」的概率（密度）最大。
【例2·真题风格·自编题】设总体 \(X\sim B(1,p)\)，样本观测值含 \(k\) 个 1、\(n-k\) 个 0，写出似然函数。
- 解：\(L(p)=p^{k}(1-p)^{n-k}\)。
易错坑点：似然函数是「样本的联合概率/密度」看作 \(\theta\) 的函数；不要写成单个样本的分布。
配套练习：设 \(X\sim P(\lambda)\)，样本值 \(x_1,\cdots,x_n\)，写出似然函数。（答案：\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\dfrac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}=\dfrac{\lambda^{\sum x_i}e^{-n\lambda}}{\prod x_i!}\)）

3.2 似然函数

是什么/定义：
离散型：\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i=x_i;\theta)\)；
连续型：\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)\)。
性质/公式：\(L(\theta)\) 是样本联合分布（密度）关于 \(\theta\) 的函数；对数似然 \(\ln L(\theta)\) 与 \(L(\theta)\) 同单调，故求 \(\ln L\) 最大即可。
怎么考：①由密度/分布列写出似然函数；②注意样本的取值范围（支集）对 \(\theta\) 的约束。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim E(\lambda)\)，密度 \(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x>0\)），写出似然函数与对数似然。
- 解：\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum x_i}\)；\(\ln L=n\ln\lambda-\lambda\sum x_i\)。
【例2·真题风格·自编题】似然函数为什么经常「取对数」？
- 解：连乘求导困难，取对数把乘积化为和，且单调性不变，便于求导解方程。
易错坑点：连续型的 \(L(\theta)\) 是密度连乘（可以大于 1，不是概率），不要误以为 \(L\le 1\)。
配套练习：设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，写出关于 \(\mu,\sigma^2\) 的对数似然函数。（答案：\(\ln L=-\dfrac n2\ln(2\pi)-\dfrac n2\ln\sigma^2-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum(x_i-\mu)^2\)）

3.3 计算步骤

是什么/定义：MLE 的标准求解流程。
性质/公式：
1. 写似然函数 \(L(\theta)\)；
2. 取对数 \(\ln L\)；
3. 对 \(\theta\) 求导（多参数对各参数求偏导）并令 \(=0\)；
4. 验证最大值（二阶导 < 0 或由单调性判断）。
怎么考：①求单参数/多参数 MLE；②用 MLE 的不变性（\(\hat\theta\) 的函数 \(\tau(\hat\theta)\) 是 \(\tau(\theta)\) 的 MLE）。
典型例题：
【例1·基础】设总体 \(X\sim E(\lambda)\)，求 \(\lambda\) 的矩估计与最大似然估计。
- 解：矩估计：\(E(X)=1/\lambda\)，令 \(\bar X=1/\lambda\)，得 \(\hat\lambda_1=1/\bar X\)。
  最大似然：\(L=\lambda^n e^{-\lambda\sum X_i}\)，\(\ln L=n\ln\lambda-\lambda\sum X_i\)，\(\dfrac{d\ln L}{d\lambda}=\dfrac n\lambda-\sum X_i=0\)，得 \(\hat\lambda_2=\dfrac n{\sum X_i}=\dfrac1{\bar X}\)。二者相同。
【例2·真题】2004年·数一·第23题(Ⅱ)（9分）：设 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\beta)=1-\dfrac{1}{x^{\beta}}\)（\(x>1\)，\(\beta>1\)），求 \(\beta\) 的最大似然估计量。
- 解：密度 \(f(x;\beta)=\beta x^{-\beta-1}\)（\(x>1\)）。似然函数
  \[L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}\beta X_i^{-\beta-1}=\beta^n\Big(\prod_{i=1}^{n}X_i\Big)^{-(\beta+1)},\]
  \[\ln L=n\ln\beta-(\beta+1)\sum_{i=1}^{n}\ln X_i,\qquad \frac{d\ln L}{d\beta}=\frac n\beta-\sum_{i=1}^{n}\ln X_i=0,\]
  得 \(\hat\beta=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^{n}\ln X_i}\)（二阶导 \(-\dfrac n{\beta^2}<0\)，为最大值）。
易错坑点：似然函数要包含所有样本项，漏乘会直接算错；多参数时分别求偏导并令其等于 0，解方程组。
配套练习：
1. 设总体密度 \(f(x;\theta)=\dfrac1\theta e^{-x/\theta}\)（\(x>0\)），求 \(\theta\) 的 MLE。（答案：\(\hat\theta=\bar X\)）
2. （2020年·数一·第23题(Ⅱ)）元件寿命 \(T\) 的分布函数 \(F(t)=1-e^{-(t/\theta)^m}\)（\(t\ge0\)，\(m\) 已知），求 \(\theta\) 的最大似然估计值。（答案：\(\hat\theta=\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^{n}t_i^m\right)^{1/m}\)）

3.4 不可导情形的最大似然估计（重点）

是什么/定义：\(L(\theta)\) 关于 \(\theta\) 单调或含端点约束，求导无解时，直接用单调性/端点找最大值。
性质/公式：均匀分布 \(U(0,\theta)\)：\(L(\theta)=\dfrac{1}{\theta^n}\)（要求 \(0\le x_i\le\theta\) 对所有 \(i\)），\(\theta\) 越小 \(L\) 越大，但必须满足 \(\theta\ge\max x_i\)，故 \(\hat\theta=\max(X_1,\cdots,X_n)\)。
怎么考：①均匀分布 \(U(0,\theta)\)、\(U(0,2\theta)\) 等的 MLE；②支集与 \(\theta\) 有关的分布（如 \(U(\theta,2\theta)\)）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim U(0,\theta)\)，求 \(\theta\) 的 MLE。
- 解：\(L(\theta)=\prod\dfrac1\theta I(0\le X_i\le\theta)=\dfrac1{\theta^n}I(\theta\ge\max X_i)\)。在 \(\theta\ge\max X_i\) 下 \(\dfrac1{\theta^n}\) 随 \(\theta\) 增大而减小，故 \(\hat\theta=\max X_i\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X\sim U(0,2\theta)\)，求 \(\theta\) 的 MLE。
- 解：\(L(\theta)=\dfrac{1}{(2\theta)^n}I(\theta\ge \max X_i/2)\)，需 \(\theta\ge\dfrac{\max X_i}{2}\)，取最小可行值 \(\hat\theta=\dfrac{\max X_i}{2}\)。
易错坑点：均匀分布类题目不能直接求导 = 0，必须在「约束 \(\theta\ge\max x_i\)（或其变形）」下取最小可行值。
配套练习：设 \(X\sim U(0,\theta)\)，已知样本最大值 \(x_{(n)}=5\)，求 \(\theta\) 的 MLE 值。（答案：\(5\)）

3.5 常见分布的最大似然估计结论（可对照记忆）

是什么/定义：常见分布 MLE 的速记结论。
性质/公式：
二项/0-1 分布：\(\hat p=\bar X\)；
泊松分布：\(\hat\lambda=\bar X\)；
指数分布（率参数 \(\lambda\)）：\(\hat\lambda=1/\bar X\)；
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)：\(\hat\mu=\bar X\)，\(\hat\sigma^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\)；
均匀分布 \(U(0,\theta)\)：\(\hat\theta=\max X_i\)。
怎么考：选择题/填空题直接套结论，解答题仍需写出完整过程。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求 \(\mu,\sigma^2\) 的 MLE。
- 解：\(\ln L=-\dfrac n2\ln(2\pi)-\dfrac n2\ln\sigma^2-\dfrac1{2\sigma^2}\sum(X_i-\mu)^2\)。对 \(\mu\)、\(\sigma^2\) 求偏导并令为 0，得 \(\hat\mu=\bar X\)，\(\hat\sigma^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\)。
【例2·真题风格·自编题】正态方差的 MLE 与样本方差 \(S^2\) 有何关系？
- 解：\(\hat\sigma^2=\dfrac{n-1}{n}S^2\)。MLE 分母是 \(n\)，样本方差分母是 \(n-1\)，二者不相等。
易错坑点：正态方差的 MLE 分母是 \(n\)（不是 \(n-1\)，那是无偏样本方差）；MLE 结果未必无偏。
配套练习：设 \(X\sim B(1,p)\)，样本 \(X_1,\cdots,X_n\)，求 \(p\) 的 MLE。（答案：\(\hat p=\bar X\)）

四、估计量的评价标准

4.1 无偏性

是什么/定义：若 \(E(\hat\theta)=\theta\) 对一切 \(\theta\) 成立，则 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的无偏估计量。
性质/公式：
\(\bar X\) 是 \(\mu\) 的无偏估计；
\(S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2\) 是 \(\sigma^2\) 的无偏估计；
\(\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\) 不是 \(\sigma^2\) 的无偏估计（有偏）。
怎么考：①验证 \(E(\hat\theta)=\theta\)；②由无偏性反解常数（常考小题）。
典型例题：
【例1·基础】验证 \(\bar X\) 是 \(\mu\) 的无偏估计，\(S^2\) 是 \(\sigma^2\) 的无偏估计。
- 解：\(E(\bar X)=\dfrac1n\sum E(X_i)=\mu\)。又 \(E(S^2)=\sigma^2\)（结论：\(E\left[\sum(X_i-\bar X)^2\right]=(n-1)\sigma^2\)），故两者均无偏。
【例2·真题】2023年·数一·第10题(5分)：设 \(X_1,X_2\) 为来自总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，其中 \(\sigma(\sigma>0)\) 是未知参数。若 \(\hat\sigma=a|X_1-X_2|\) 为 \(\sigma\) 的无偏估计，则 \(a=\)（　）。
- 解：\(X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)\)。令 \(Y=X_1-X_2\)，则
  \[E|Y|=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt2\sigma}e^{-\frac{y^2}{4\sigma^2}}dy=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}.\]
  由无偏性 \(E(\hat\sigma)=a\cdot\dfrac{2\sigma}{\sqrt\pi}=\sigma\)，得 \(\boxed{a=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}\)。
易错坑点：验证无偏性就是算 \(E(\hat\theta)\) 是否等于 \(\theta\)；样本方差分母用 \(n-1\) 才无偏，MLE 的 \(\hat\sigma^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\) 是有偏的。
配套练习：设 \(X_1,X_2,X_3\) 来自 \(E(X)=\mu\) 的总体，判断 \(\hat\mu=\dfrac{X_1+X_2+X_3}{3}\) 与 \(\tilde\mu=\dfrac{X_1+X_2}{2}\) 是否都是 \(\mu\) 的无偏估计。（答案：都是）

4.2 有效性

是什么/定义：\(\hat\theta_1,\hat\theta_2\) 都是 \(\theta\) 的无偏估计，若 \(D(\hat\theta_1)<D(\hat\theta_2)\)，则 \(\hat\theta_1\) 比 \(\hat\theta_2\) 更有效。
性质/公式：在无偏前提下，方差越小越有效；方差最小的无偏估计称最小方差无偏估计。
怎么考：①比较两个无偏估计的方差；②判断谁更有效（必须先验证无偏）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,\cdots,X_n\) 为样本，比较 \(\hat\mu_1=\bar X\) 与 \(\hat\mu_2=X_1\) 的有效性。
- 解：两者均无偏；\(D(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}\)，\(D(X_1)=\sigma^2\)，当 \(n\ge2\) 时 \(D(\bar X)<D(X_1)\)，故 \(\bar X\) 更有效。
【例2·真题风格·自编题】设 \(X_1,X_2\) 来自总体 \(X\)（\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)），比较 \(\hat\mu_1=\dfrac{X_1+X_2}{2}\) 与 \(\hat\mu_2=\dfrac{X_1+2X_2}{3}\)。
- 解：均无偏。\(D(\hat\mu_1)=\dfrac{1}{4}(\sigma^2+\sigma^2)=\dfrac{\sigma^2}{2}\)；\(D(\hat\mu_2)=\dfrac{1}{9}(\sigma^2+4\sigma^2)=\dfrac{5\sigma^2}{9}\)。因 \(\dfrac12<\dfrac59\)，\(\hat\mu_1\) 更有效。
易错坑点：比较有效性必须先都是无偏估计；有偏估计之间不能直接比方差论有效性。
配套练习：设 \(\hat\mu_1=\dfrac{X_1+X_2}{2}\)、\(\hat\mu_2=\dfrac{2X_1+X_2}{3}\)（\(E(X_i)=\mu\)），问哪个更有效？（答案：\(D(\hat\mu_1)=\dfrac{\sigma^2}{2}\)，\(D(\hat\mu_2)=\dfrac{5\sigma^2}{9}\)，\(\hat\mu_1\) 更有效）

4.3 一致性（相合性）

是什么/定义：若 \(\hat\theta\) 依概率收敛于 \(\theta\)（\(\hat\theta\xrightarrow{P}\theta\)），则称 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的一致（相合）估计量。
性质/公式：
\(\bar X\) 是 \(\mu\) 的一致估计；\(S^2\) 是 \(\sigma^2\) 的一致估计；
矩估计量、最大似然估计量在一定条件下是一致估计；
常用工具：切比雪夫不等式、大数定律。
怎么考：①用大数定律/切比雪夫不等式证相合性；②判断叙述是否正确（选择题）。
典型例题：
【例1·基础】用切比雪夫不等式证明 \(\bar X\) 是 \(\mu\) 的一致估计。
- 解：\(E(\bar X)=\mu\)，\(D(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}\)。对任意 \(\varepsilon>0\)，\(P(|\bar X-\mu|\ge\varepsilon)\le\dfrac{D(\bar X)}{\varepsilon^2}=\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0\)，故 \(\bar X\xrightarrow{P}\mu\)。
【例2·真题风格·自编题】无偏估计是否一定一致？一致估计是否一定无偏？
- 解：都不一定。无偏是「固定 \(n\) 的期望性质」，一致是「\(n\to\infty\) 的极限性质」，两者互不蕴含。
易错坑点：一致性是「大样本性质」（\(n\to\infty\)），无偏性、有效性是「固定 \(n\)」的性质；三者概念不要混淆。
配套练习：判断：「\(S^2\) 是 \(\sigma^2\) 的无偏且一致的估计」是否正确。（答案：正确）

4.4 三条标准的对比

是什么/定义：无偏性、有效性、一致性的对比记忆。
性质/公式：

标准	考察点	关键
无偏性	\(E(\hat\theta)=\theta\)？	期望是否等于真值
有效性	无偏前提下比较 \(D(\hat\theta)\)	方差越小越好
一致性	\(\hat\theta\xrightarrow{P}\theta\)？	\(n\to\infty\) 的极限行为

怎么考：选择题常给几个估计量，问「无偏/有效/一致」的正确说法。
典型例题：
【例1·基础】判断正误：有效性比较的两个估计量都必须无偏。
- 解：正确。有效性的定义前提是两个估计量都是无偏估计。
【例2·真题风格·自编题】判断正误：一致估计一定无偏。
- 解：错误。二者互不蕴含。
易错坑点：逐一按定义验证即可，不要凭「方差小」直接断定「更有效」（还要先确认无偏）。
配套练习：简述无偏性、有效性、一致性分别关注什么。（答案：期望、方差（无偏前提下）、依概率收敛）

五、区间估计（置信区间）

5.1 置信区间的基本概念

是什么/定义：用一个区间估计未知参数，并给出该区间「包含参数」的可信程度。
性质/公式：
置信水平 \(1-\alpha\)（常取 0.95 或 0.90）；
若 \(P(\hat\theta_L<\theta<\hat\theta_R)=1-\alpha\)，则 \((\hat\theta_L,\hat\theta_R)\) 是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间；
枢轴量法：①找枢轴量（含待估参数、分布已知）→②由 \(1-\alpha\) 确定分位数→③反解出参数的区间。
怎么考：①求单个/两个正态总体参数的置信区间；②理解置信水平的含义（选择/填空）。
典型例题：
【例1·基础】解释「置信水平 0.95」的含义。
- 解：重复抽样构造大量区间，约有 95% 的区间包含参数真值；不能说「参数有 95% 的概率落在某固定区间内」（参数是常数）。
【例2·真题风格·自编题】置信水平 \(1-\alpha\) 越大，置信区间通常越宽还是越窄？
- 解：越宽。\(1-\alpha\) 增大 ⇒ 分位数绝对值增大 ⇒ 区间变宽（可信度↑、精度↓）。
易错坑点：置信区间是「区间以 \(1-\alpha\) 的概率包含参数」，不是「参数以 \(1-\alpha\) 的概率落在区间内」；参数是常数不是随机变量。
配套练习：设置信水平为 0.95，\(\alpha\) 等于多少？（答案：\(\alpha=0.05\)）

5.2 单个正态总体均值 μ 的置信区间

是什么/定义：总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求 \(\mu\) 的置信区间。
性质/公式：
\(\sigma^2\) 已知：\(\left(\bar X-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar X+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\)；
\(\sigma^2\) 未知：\(\left(\bar X-t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt n},\ \bar X+t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt n}\right)\)。
怎么考：①σ 已知用 z 分位数；②σ 未知用 \(t(n-1)\) 分位数；③给 \(\bar x,s,n\) 求区间。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\) 未知，\(n=9\)，测得 \(\bar x=4.5\)，\(s^2=0.81\)，求 \(\mu\) 的 0.95 置信区间。
- 解：\(t_{0.025}(8)=2.306\)，\(\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{0.9}{3}=0.3\)，区间为 \(4.5\pm2.306\times0.3=(3.81,5.19)\)。
【例2·真题】2003年·数一·填空第6题(4分)：已知一批零件的长度 \(X\)（单位：cm）服从 \(N(\mu,1)\)，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 cm，则 \(\mu\) 的置信度为 0.95 的置信区间是______。
- 解：\(\sigma^2=1\) 已知，\(z_{0.025}=1.96\)，\(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac14=0.25\)，区间 \(40\pm1.96\times0.25=(39.51,40.49)\)。
易错坑点：σ 已知用 z（标准正态）分位数，σ 未知用 t(n−1) 分位数；双侧取 \(\alpha/2\)，别用成 \(\alpha\)。
配套练习：设 \(n=25\)，\(\bar x=100\)，\(\sigma=2\) 已知，求 \(\mu\) 的 0.95 置信区间。（答案：\(100\pm1.96\times0.4=(99.216,100.784)\)）

5.3 单个正态总体方差 σ² 的置信区间

是什么/定义：总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求 \(\sigma^2\) 的置信区间。
性质/公式：由 \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，得
\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right).\]
怎么考：①给 \(n,s^2\) 查 \(\chi^2\) 分位数求区间；②判断分位数的上下位置。
典型例题：
【例1·基础】设 \(n=10\)，\(s^2=3.6\)，求 \(\sigma^2\) 的 0.95 置信区间。
- 解：\(n-1=9\)，\(\chi^2_{0.025}(9)=19.023\)，\(\chi^2_{0.975}(9)=2.700\)。区间为 \(\left(\dfrac{9\times3.6}{19.023},\dfrac{9\times3.6}{2.700}\right)=(1.70,12.00)\)。
【例2·真题风格·自编题】\(\sigma^2\) 的置信区间关于 \(\sigma\) 是否对称？为什么？
- 解：不对称。\(\chi^2\) 分布不对称，上下限的分位数不同（\(\chi^2_{\alpha/2}\) 与 \(\chi^2_{1-\alpha/2}\)），位置不能放反。
易错坑点：χ² 分布不对称，上下限分母分别是 \(\chi^2_{\alpha/2}\)（大，放左端分母）和 \(\chi^2_{1-\alpha/2}\)（小，放右端分母），位置不能放反。
配套练习：设 \(n=16\)，\(s^2=2\)，求 \(\sigma^2\) 的 0.90 置信区间（\(\chi^2_{0.05}(15)=24.996\)，\(\chi^2_{0.95}(15)=7.261\)）。（答案：\(\left(\dfrac{30}{24.996},\dfrac{30}{7.261}\right)=(1.20,4.13)\)）

5.4 两个正态总体均值差 μ₁−μ₂ 的置信区间

是什么/定义：两独立正态总体 \(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，求 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间。
性质/公式：
\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知：
\[\left(\bar X-\bar Y-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}},\ \bar X-\bar Y+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right).\]
\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\) 未知（pooled t 区间）：
\[S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},\qquad \left(\bar X-\bar Y-t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}},\ \bar X-\bar Y+t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}\right).\]
怎么考：①σ 已知用 z；②σ 相等未知用 pooled t；③\(\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\) 且未知时用近似 t（数一要求较低，掌握公式思想即可）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(X\sim N(\mu_1,\sigma^2)\)，\(Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\) 未知，\(n_1=10\)，\(n_2=8\)，\(\bar x=18\)，\(\bar y=15\)，\(s_1^2=4\)，\(s_2^2=5\)，求 \(\mu_1-\mu_2\) 的 0.95 置信区间。
- 解：\(S_w^2=\dfrac{9\times4+7\times5}{16}=\dfrac{71}{16}=4.4375\)，\(S_w=2.1065\)；\(t_{0.025}(16)=2.120\)。区间为 \(3\pm2.120\times2.1065\sqrt{\dfrac1{10}+\dfrac1{8}}=(0.88,5.12)\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(\sigma_1^2=9\)、\(\sigma_2^2=4\) 已知，\(n_1=n_2=16\)，\(\bar x-\bar y=5\)，求 \(\mu_1-\mu_2\) 的 0.95 置信区间。
- 解：\(z_{0.025}=1.96\)，标准误 \(\sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{4}{16}}=\sqrt{\dfrac{13}{16}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}=0.9014\)。区间 \(5\pm1.96\times0.9014=(3.23,6.77)\)。
易错坑点：均值差区间用「方差相加」；pooled t 的自由度是 \(n_1+n_2-2\)，不要漏掉合并方差 \(S_w^2\)。
配套练习：设 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 未知，\(n_1=n_2=10\)，\(s_1^2=3\)，\(s_2^2=5\)，求 \(S_w^2\)。（答案：\(S_w^2=\dfrac{9\times3+9\times5}{18}=4\)）

5.5 两个正态总体方差比 σ₁²/σ₂² 的置信区间

是什么/定义：两独立正态总体，求方差比 \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 的置信区间。
性质/公式：由 \(\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)，得
\[\left(\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\ \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\right),\]
其中 \(F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)=\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}\)。
怎么考：①给样本方差比求方差比置信区间；②F 分位数上下位置与自由度顺序。
典型例题：
【例1·基础】设 \(n_1=13\)，\(n_2=9\)，\(s_1^2=2.4\)，\(s_2^2=1.2\)，求 \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 的 0.90 置信区间。
- 解：\(F_{0.05}(12,8)\approx3.28\)，\(F_{0.95}(12,8)=\dfrac1{F_{0.05}(8,12)}\approx\dfrac1{2.85}=0.35\)。样本方差比 \(\dfrac{s_1^2}{s_2^2}=2\)，区间 \(\left(\dfrac{2}{3.28},\dfrac{2}{0.35}\right)=(0.61,5.70)\)。
【例2·真题风格·自编题】若方差比置信区间包含 1，说明什么？
- 解：不能拒绝 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\)（两方差无显著差异），即 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 是合理的。
易错坑点：上下限的 F 自由度顺序别写反（\(F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\) 与 \(F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\)）；求 \(F_{1-\alpha/2}\) 常用倒数关系。
配套练习：设 \(n_1=6\)，\(n_2=11\)，求 \(F_{0.95}(5,10)\)（用 \(F_{0.05}(10,5)\approx4.74\) 表示）。（答案：\(F_{0.95}(5,10)=\dfrac1{F_{0.05}(10,5)}\approx0.21\)）

配套练习（本章综合）

设总体 \(X\sim P(\lambda)\)，\(X_1,\cdots,X_n\) 为样本，求 \(\lambda\) 的矩估计与 MLE。（答案：均为 \(\bar X\)）
设总体 \(X\sim U(0,\theta)\)，求 \(\theta\) 的矩估计与 MLE。（答案：矩估计 \(2\bar X\)，MLE \(\max X_i\)）
设 \(X_1,\cdots,X_n\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\) 未知，求 \(\sigma^2\) 的 MLE，并判断是否无偏。（答案：\(\hat\sigma^2=\dfrac1n\sum(X_i-\bar X)^2\)，有偏）
（2003年·数一·填空第6题）设 \(X\sim N(\mu,1)\)，\(n=16\)，\(\bar x=40\)，求 \(\mu\) 的 0.95 置信区间。（答案：\((39.51,40.49)\)）
（2023年·数一·第10题）设 \(X_1,X_2\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\hat\sigma=a|X_1-X_2|\) 为 \(\sigma\) 的无偏估计，求 \(a\)。（答案：\(\dfrac{\sqrt\pi}{2}\)）
（2004年·数一·第23题）设 \(F(x;\beta)=1-\dfrac1{x^{\beta}}\)（\(x>1\)），求 \(\beta\) 的矩估计与 MLE。（答案：\(\hat\beta_1=\dfrac{\bar X}{\bar X-1}\)，\(\hat\beta_2=\dfrac n{\sum\ln X_i}\)）
（2020年·数一·第23题(Ⅱ)）设 \(F(t)=1-e^{-(t/\theta)^m}\)（\(t\ge0\)，\(m\) 已知），求 \(\theta\) 的 MLE。（答案：\(\hat\theta=\left(\dfrac1n\sum t_i^m\right)^{1/m}\)）

学完本章的检验标准

能区分总体、样本、统计量，判断一个函数是否是统计量。
会用「样本矩 = 总体矩」求一个或两个参数的矩估计，包括均匀分布 \(U(a,b)\) 的反解式。
会写似然函数并用对数求导求最大似然估计，包括不可导情形（均匀分布）。
能默写常见分布（0-1、泊松、指数、正态、均匀）的矩估计与最大似然估计。
能验证估计量的无偏性、比较有效性、判断一致性。
会用枢轴量法求单个正态总体均值（σ 已知/未知）、方差的置信区间，以及两个正态总体均值差（含 σ₁²=σ₂² 未知的 pooled t 区间）、方差比的置信区间。

全部达到后，进入第7章「假设检验」（显著性检验、单个正态总体均值与方差的检验）。