参数估计是「猜参数是多少」，假设检验是「判断一个关于参数的命题是否成立」。本章是数一概率统计的最后一章，考查套路固定：选检验统计量 → 定拒绝域 → 做判断。
前置知识：第5章「数理统计的基本概念」中的抽样分布（正态总体样本均值、样本方差的性质，\(\chi^2\) 分布、\(t\) 分布、\(F\) 分布）、第6章「参数估计」。本章覆盖单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验，记忆结论为主，计算简单。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。特别说明：假设检验在数一真题中出现频率极低（据公开资料，2003 年以来仅 2018 年考过一次选择题），故本章仅 1 道经核实的真题，其余例题与练习均为「真题风格·自编题」。

一、假设检验的基本思想

1.1 原假设与备择假设

  • 是什么/定义：
  • 原假设 \(H_0\)：要检验的命题，通常为「无差异 / 等于某值」的假设，如 \(H_0:\mu=\mu_0\)、\(H_0:\mu_1=\mu_2\)。
  • 备择假设 \(H_1\)：与 \(H_0\) 对立的命题，如 \(H_1:\mu\ne\mu_0\)（双侧）、\(H_1:\mu>\mu_0\) 或 \(\mu<\mu_0\)（单侧）。
  • 性质/公式：
  • \(H_0\) 一般放「等号」（\(=\) 或 \(\le,\ge\)），\(H_1\) 放「不等 / 大于 / 小于」；
  • 题干问「是否有显著差异」「是否发生显著变化」→ 通常为双侧检验；问「是否显著偏高 / 偏低 / 不低于」→ 单侧检验。
  • 怎么考：①由题干正确写出 \(H_0\) 与 \(H_1\)；②判断检验是单侧还是双侧；③把实际问题（如「合格 / 不合格」）翻译成统计假设。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某厂声称其产品平均寿命为 500 小时，现想检验这一说法是否属实，写出原假设与备择假设。
    • 解：要检验的命题是「平均寿命 = 500」，即 \(H_0:\mu=500\)；其对立面是「平均寿命 ≠ 500」，即 \(H_1:\mu\ne500\)（双侧检验）。
  • 【例2·真题风格·自编题】质检规定：某食品每袋净重不低于 100 g 才算合格，现检验其是否合格（即是否显著低于 100 g），写出假设。
    • 解：检验「是否显著低于 100 g」，把「合格」放原假设：\(H_0:\mu\ge100\)（或 \(H_0:\mu=100\)），备择 \(H_1:\mu<100\)（左侧单侧检验）。
  • 易错坑点：\(H_0\) 与 \(H_1\) 必须互斥且穷尽；「不低于 / 不高于」这类问题的方向别写反，等号一律放在 \(H_0\) 里。
  • 配套练习：某药厂想检验新药疗效是否与旧药「相同」，写出假设。（答案：\(H_0:\mu_1=\mu_2\)，\(H_1:\mu_1\ne\mu_2\)，双侧）

1.2 显著性水平与拒绝域

  • 是什么/定义：
  • 显著性水平 \(\alpha\)：事先给定的一个小概率（常取 \(0.05\) 或 \(0.01\)），表示「\(H_0\) 为真却被拒绝」这一错误被允许的最大概率。
  • 拒绝域：使 \(H_0\) 被拒绝的检验统计量的取值范围，由 \(\alpha\) 和分位数确定；其余范围称为接受域。
  • 性质/公式：\(\alpha\) 越小，拒绝域越「窄」，越不容易拒绝 \(H_0\)（即接受域越大）。
  • 怎么考：①由 \(\alpha\) 写拒绝域（双侧用 \(\alpha/2\) 分位数，单侧用 \(\alpha\) 分位数）；②辨析「\(\alpha\) 变化时拒绝 / 接受结论如何变化」（概念选择）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】对 \(H_0:\mu=\mu_0\)（\(\sigma^2\) 已知），写出显著性水平 \(\alpha\) 下双侧检验的拒绝域。
    • 解：检验统计量 \(U=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)，拒绝域为 \(\boxed{|U|>z_{\alpha/2}}\)。
  • 【例2·真题】2018年·数一·第8题(4分)：设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\) 已知，\(X_1,\cdots,X_n\) 为来自 \(X\) 的简单随机样本，据此检验假设 \(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\ne\mu_0\)，则（　）。
    (A) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下拒绝 \(H_0\)，那么在检验水平 \(\alpha=0.01\) 下必拒绝 \(H_0\)；
    (B) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下拒绝 \(H_0\)，那么在检验水平 \(\alpha=0.01\) 下必接受 \(H_0\)；
    (C) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下接受 \(H_0\)，那么在检验水平 \(\alpha=0.01\) 下必拒绝 \(H_0\)；
    (D) 如果在检验水平 \(\alpha=0.05\) 下接受 \(H_0\)，那么在检验水平 \(\alpha=0.01\) 下必接受 \(H_0\)。
    • 解：检验统计量 \(U=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)。\(\alpha=0.05\) 时的接受域为 \(|U|\le z_{0.025}=1.96\)，\(\alpha=0.01\) 时的接受域为 \(|U|\le z_{0.005}=2.58\)。因为 \(1.96<2.58\)，\(\alpha=0.01\) 的接受域更大，故「在 \(\alpha=0.05\) 下接受 \(H_0\)」必推出「在 \(\alpha=0.01\) 下也接受 \(H_0\)」，选 (D)。
  • 易错坑点：\(\alpha\) 越小 → 拒绝域越窄 → 越难拒绝 \(H_0\)，方向别记反；双侧检验拒绝域要用 \(z_{\alpha/2}\)（不是 \(z_\alpha\)）。
  • 配套练习：若在显著性水平 \(\alpha=0.01\) 下拒绝了 \(H_0\)，能否断定在 \(\alpha=0.05\) 下也拒绝 \(H_0\)？（答案：能，\(\alpha=0.05\) 的拒绝域比 \(\alpha=0.01\) 更大）

1.3 两类错误

  • 是什么/定义：
  • 第一类错误（弃真）：\(H_0\) 为真却被拒绝，概率 \(P(\text{拒 }H_0\mid H_0\text{ 真})=\alpha\)；
  • 第二类错误（取伪）：\(H_0\) 为假却被接受，概率 \(P(\text{受 }H_0\mid H_0\text{ 假})=\beta\)。
  • 性质/公式：样本量 \(n\) 固定时，\(\alpha\) 与 \(\beta\) 不能同时减小（减小 \(\alpha\) 会增大 \(\beta\)）；显著性检验只控制 \(\alpha\)，不控制 \(\beta\)。
  • 怎么考：①判断某错误属于第几类；②辨析「\(\alpha+\beta=1\) 吗」等概念题；③给具体情形求 \(\alpha\) 或 \(\beta\)（低频，理解为主）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某药本质无效（\(H_0\) 为真），但检验结果却认为它有效（拒绝 \(H_0\)），这犯了第几类错误？
    • 解：\(H_0\) 为真却被拒绝 = 弃真，属于第一类错误。
  • 【例2·真题风格·自编题】在假设检验中，显著性水平 \(\alpha\) 表示（　）。
    (A) \(H_0\) 为假时被拒绝的概率；(B) \(H_0\) 为真时被拒绝的概率；(C) \(H_0\) 为真时被接受的概率；(D) \(H_0\) 为假时被接受的概率。
    • 解：\(\alpha\) 是第一类错误（弃真）的概率，即「\(H_0\) 为真时被拒绝」的概率，选 (B)。
  • 易错坑点：第一类错误的前提是「\(H_0\) 为真」，第二类错误的前提是「\(H_0\) 为假」，先看前提再看「拒 / 受」；「\(\alpha+\beta=1\)」是常见错误说法。
  • 配套练习：若 \(H_0\) 为假却被接受，犯第几类错误？其概率记为什么？（答案：第二类错误，记为 \(\beta\)）

二、单个正态总体均值的检验

设 \(X_1,\cdots,X_n\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，检验 \(H_0:\mu=\mu_0\)。

2.1 σ² 已知：Z 检验（U 检验）

  • 是什么/定义：总体方差 \(\sigma^2\) 已知时，用样本均值 \(\bar X\) 与 \(\mu_0\) 的标准化距离构造统计量做检验。
  • 性质/公式：
  • 检验统计量 \(U=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)（\(H_0\) 成立时）；
  • 双侧拒绝域 \(|U|>z_{\alpha/2}\)；单侧（\(H_1:\mu>\mu_0\)）\(U>z_\alpha\)；（\(H_1:\mu<\mu_0\)）\(U<-z_\alpha\)。
  • 怎么考：①给 \(\sigma\)、\(n\)、\(\bar X\)，按五步法完成检验；②写拒绝域；③与参数估计中「置信区间」互推（接受域恰是 \(\mu_0\) 落在置信区间内）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某厂产品某指标 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，已知 \(\sigma=2\)，抽 \(n=25\) 件得 \(\bar X=10.6\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=10\)（\(z_{0.025}=1.96\)）。
    • 解：\(U=\dfrac{10.6-10}{2/5}=\dfrac{0.6}{0.4}=1.5\)。\(|U|=1.5<1.96\)，未落入拒绝域，故不拒绝 \(H_0\)，即在 \(\alpha=0.05\) 下认为 \(\mu=10\) 成立。
  • 【例2·真题风格·自编题】已知某零件长度 \(X\sim N(\mu,0.5^2)\)，抽 \(n=64\) 件得 \(\bar X=4.15\) cm。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=4\)（\(z_{0.025}=1.96\)）。
    • 解：\(U=\dfrac{4.15-4}{0.5/8}=\dfrac{0.15}{0.0625}=2.4>1.96\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为 \(\mu\ne4\)。
  • 易错坑点：分母用总体标准差 \(\sigma\)（不是样本标准差 \(S\)）；双侧检验用 \(\alpha/2\) 的分位数 \(z_{\alpha/2}\)。
  • 配套练习：\(\sigma=3\) 已知，\(n=36\)，\(\bar X=8.8\)，检验 \(H_0:\mu=8\)（\(\alpha=0.05\)，\(z_{0.025}=1.96\)）。（答案：\(U=\dfrac{0.8}{3/6}=1.6<1.96\)，不拒绝 \(H_0\)）

2.2 σ² 未知：t 检验

  • 是什么/定义：总体方差 \(\sigma^2\) 未知时，用样本标准差 \(S\) 代替 \(\sigma\) 构造统计量。
  • 性质/公式：
  • 检验统计量 \(T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\)（\(H_0\) 成立时）；
  • 双侧拒绝域 \(|T|>t_{\alpha/2}(n-1)\)。
  • 怎么考：①给 \(\bar X\)、\(S\)、\(n\)，按五步法完成 t 检验；②自由度是 \(n-1\) 别写成 \(n\)；③与 Z 检验对比选择统计量。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某厂灯泡寿命 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\) 未知），抽 \(n=9\) 件得 \(\bar X=488\) 小时、\(S=12\) 小时。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=500\)（\(t_{0.025}(8)=2.306\)）。
    • 解：\(T=\dfrac{488-500}{12/\sqrt9}=\dfrac{-12}{4}=-3\)。\(|T|=3>2.306\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为 \(\mu\ne500\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】某产品含糖量 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\) 未知），抽 \(n=16\) 件得 \(\bar X=50.2\) g、\(S=2\) g。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=50\)（\(t_{0.025}(15)=2.131\)）。
    • 解：\(T=\dfrac{50.2-50}{2/4}=\dfrac{0.2}{0.5}=0.4<2.131\)，未落入拒绝域，不拒绝 \(H_0\)，即认为 \(\mu=50\) 成立。
  • 易错坑点：\(\sigma\) 未知时统计量分母用样本标准差 \(S\)（不是 \(\sigma\)），且服从 \(t(n-1)\)（自由度 \(n-1\)）；查表用双侧 \(\alpha/2\) 分位数。
  • 配套练习：\(\sigma^2\) 未知，\(n=10\)，\(\bar X=3.2\)，\(S=0.3\)，检验 \(H_0:\mu=3\)（\(\alpha=0.05\)，\(t_{0.025}(9)=2.262\)）。（答案：\(T=\dfrac{0.2}{0.3/\sqrt{10}}\approx2.108<2.262\)，不拒绝 \(H_0\)）

2.3 单侧检验

  • 是什么/定义：备择假设只取一个方向（\(H_1:\mu>\mu_0\) 或 \(\mu<\mu_0\)）的检验。
  • 性质/公式：单侧拒绝域只用一个分位数（\(\alpha\) 而非 \(\alpha/2\)）：
  • \(H_1:\mu>\mu_0\)：拒绝域 \(U>z_\alpha\)（\(\sigma\) 已知）或 \(T>t_\alpha(n-1)\)（\(\sigma\) 未知）；
  • \(H_1:\mu<\mu_0\)：拒绝域 \(U<-z_\alpha\) 或 \(T<-t_\alpha(n-1)\)。
  • 怎么考：①由题干「高于 / 低于 / 不低于」判断单侧方向；②写单侧拒绝域并判断；③比较单侧与双侧临界值的差别。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某型号钢材平均强度应不低于 20，\(X\sim N(\mu,3^2)\)（\(\sigma=3\) 已知）。抽 \(n=36\) 件得 \(\bar X=21.5\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=20\)，\(H_1:\mu>20\)（\(z_{0.05}=1.645\)）。
    • 解：右侧检验，拒绝域 \(U>z_{0.05}=1.645\)。\(U=\dfrac{21.5-20}{3/6}=\dfrac{1.5}{0.5}=3>1.645\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为平均强度显著高于 20。
  • 【例2·真题风格·自编题】某零件平均寿命要求不低于 1000 小时（\(\sigma^2\) 未知），抽 \(n=9\) 件得 \(\bar X=1005\)、\(S=6\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu=1000\)，\(H_1:\mu>1000\)（\(t_{0.05}(8)=1.860\)）。
    • 解：\(T=\dfrac{1005-1000}{6/3}=\dfrac{5}{2}=2.5>1.860\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为平均寿命显著高于 1000。
  • 易错坑点：单侧检验用 \(\alpha\) 分位数、双侧用 \(\alpha/2\) 分位数，两者别混用；单侧方向（左 / 右）由 \(H_1\) 决定，拒绝域跟着方向走。
  • 配套练习：\(\sigma^2\) 已知，检验 \(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu<\mu_0\)（左侧），显著性水平 \(\alpha\)，写出拒绝域。（答案：\(U<-z_\alpha\)）

三、单个正态总体方差的检验（χ² 检验）

3.1 χ² 检验

  • 是什么/定义：检验单个正态总体方差 \(\sigma^2\) 是否等于指定值 \(\sigma_0^2\)。
  • 性质/公式：
  • 检验 \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\)，统计量 \(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)\)（\(H_0\) 成立时）；
  • 双侧拒绝域：\(\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\) 或 \(\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1)\)；
  • 单侧（\(H_1:\sigma^2>\sigma_0^2\)）：\(\chi^2>\chi^2_\alpha(n-1)\)；（\(H_1:\sigma^2<\sigma_0^2\)）：\(\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\)。
  • 怎么考：①给 \(S^2\)、\(n\)、\(\sigma_0^2\) 求 \(\chi^2\) 观测值并与临界值比较；②χ² 分布不对称，双侧两个临界值都要求。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】某厂零件内径 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，要求方差不超过 4（即 \(\sigma_0^2=4\)）。抽 \(n=10\) 件得 \(S^2=9\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\sigma^2=4\)（\(\chi^2_{0.025}(9)=19.02\)，\(\chi^2_{0.975}(9)=2.70\)）。
    • 解：\(\chi^2=\dfrac{(10-1)\times9}{4}=\dfrac{81}{4}=20.25\)。因为 \(20.25>19.02\)，落入右侧拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为方差显著不等于 4（偏大）。
  • 【例2·真题风格·自编题】某测量仪器精度（方差）需满足 \(\sigma^2\le4\)。抽 \(n=16\) 次得 \(S^2=8\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\sigma^2=4\)，\(H_1:\sigma^2>4\)（\(\chi^2_{0.05}(15)=25.00\)）。
    • 解：单侧右侧检验，拒绝域 \(\chi^2>\chi^2_{0.05}(15)=25.00\)。\(\chi^2=\dfrac{15\times8}{4}=30>25.00\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为精度（方差）显著偏大。
  • 易错坑点：χ² 分布不对称，双侧检验的两个临界值不同（\(\chi^2_{1-\alpha/2}\) 与 \(\chi^2_{\alpha/2}\)），别只取一个；统计量里是 \((n-1)S^2\) 除以 \(\sigma_0^2\)，别漏 \((n-1)\)。
  • 配套练习：\(n=10\)，\(S^2=2\)，检验 \(H_0:\sigma^2=4\)（\(\alpha=0.05\)，双侧临界值同上）。（答案：\(\chi^2=\dfrac{9\times2}{4}=4.5\)，介于 \(2.70\) 与 \(19.02\) 之间，不拒绝 \(H_0\)）

四、两个正态总体的检验

设 \(X_1,\cdots,X_{n_1}\) 来自 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y_1,\cdots,Y_{n_2}\) 来自 \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，两样本相互独立。

4.1 两个总体均值差的检验（σ₁²、σ₂² 已知：Z 检验）

  • 是什么/定义：比较两个正态总体均值是否相等（或差为 \(\delta_0\)），两总体方差已知时用 Z 检验。
  • 性质/公式：
  • 检验 \(H_0:\mu_1-\mu_2=\delta_0\)（常取 \(\delta_0=0\)，即 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)），统计量
    \[U=\frac{(\bar X-\bar Y)-\delta_0}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)\quad(H_0\text{ 成立时});\]
  • 双侧拒绝域 \(|U|>z_{\alpha/2}\)；单侧拒绝域与前面同理（\(U>z_\alpha\) 或 \(U<-z_\alpha\)）。
  • 怎么考：①已知两总体方差、两样本均值与样本量，按五步法检验 \(\mu_1=\mu_2\)；②注意分母是两个方差除以各自样本量之和再开方。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】甲、乙两厂生产的同型号轴承寿命分别为 \(X\sim N(\mu_1,4^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,4^2)\)，各抽 \(n_1=n_2=32\) 件，得 \(\bar X=53\)、\(\bar Y=50.6\)（千小时）。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(z_{0.025}=1.96\)）。
    • 解：\(U=\dfrac{53-50.6}{\sqrt{\dfrac{16}{32}+\dfrac{16}{32}}}=\dfrac{2.4}{\sqrt{0.5+0.5}}=\dfrac{2.4}{1}=2.4>1.96\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为两厂寿命均值有显著差异。
  • 【例2·真题风格·自编题】两种工艺下产品强度分别为 \(X\sim N(\mu_1,4^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,4^2)\)，各抽 \(n_1=n_2=32\) 件，得 \(\bar X=51\)、\(\bar Y=50\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(z_{0.025}=1.96\)）。
    • 解：\(U=\dfrac{51-50}{\sqrt{0.5+0.5}}=\dfrac{1}{1}=1<1.96\)，未落入拒绝域，不拒绝 \(H_0\)，即认为两种工艺强度均值无显著差异。
  • 易错坑点：分母是 \(\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}\)，两个方差分别除以各自样本量再相加，不能把方差相加后再除以总样本量。
  • 配套练习：\(\sigma_1=\sigma_2=5\) 已知，\(n_1=n_2=50\)，\(\bar X=20\)、\(\bar Y=19.2\)，检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(\alpha=0.05\)）。（答案：\(U=\dfrac{0.8}{\sqrt{25/50+25/50}}=\dfrac{0.8}{1}=0.8<1.96\)，不拒绝 \(H_0\)）

4.2 两个总体均值差的检验（σ₁²=σ₂² 未知：pooled t 检验）

  • 是什么/定义：两总体方差未知但相等（\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)）时，把两个样本方差「合并（pool）」成公共方差来估计 \(\sigma^2\)，再做 t 检验。
  • 性质/公式：
  • 合并样本方差
    \[S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2};\]
  • 检验统计量（\(H_0:\mu_1-\mu_2=\delta_0\) 成立时）
    \[T=\frac{(\bar X-\bar Y)-\delta_0}{S_p\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2);\]
  • 双侧拒绝域 \(|T|>t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\)。
  • 怎么考：①先算 \(S_p^2\) 再算 \(T\)，自由度是 \(n_1+n_2-2\)；②题干说「方差未知但可认为相等」→ 用 pooled t，别误用 Z 检验或普通 t 检验。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】两种教学方法下成绩 \(X\sim N(\mu_1,\sigma^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\) 未知但相等），各抽 \(n_1=n_2=8\) 名学生，得 \(\bar X=21\)、\(\bar Y=16\)、\(S_1^2=S_2^2=16\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(t_{0.025}(14)=2.145\)）。
    • 解：\(S_p^2=\dfrac{7\times16+7\times16}{8+8-2}=\dfrac{224}{14}=16\)，\(S_p=4\)。\(T=\dfrac{21-16}{4\sqrt{1/8+1/8}}=\dfrac{5}{4\times0.5}=\dfrac{5}{2}=2.5>2.145\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为两种方法成绩均值有显著差异。
  • 【例2·真题风格·自编题】两种肥料对小麦产量影响 \(X\sim N(\mu_1,\sigma^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\) 未知但相等），各抽 \(n_1=n_2=8\) 块地，得 \(\bar X=20\)、\(\bar Y=18\)、\(S_1^2=S_2^2=9\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(t_{0.025}(14)=2.145\)）。
    • 解：\(S_p^2=\dfrac{7\times9+7\times9}{14}=9\)，\(S_p=3\)。\(T=\dfrac{20-18}{3\sqrt{1/8+1/8}}=\dfrac{2}{3\times0.5}=\dfrac{4}{3}\approx1.333<2.145\)，未落入拒绝域，不拒绝 \(H_0\)，即认为两种肥料产量均值无显著差异。
  • 易错坑点：\(S_p^2\) 是按自由度加权平均（分子乘 \(n_i-1\)，分母 \(n_1+n_2-2\)），不是简单算术平均；自由度是 \(n_1+n_2-2\)。
  • 配套练习：\(n_1=n_2=8\)，\(S_1^2=S_2^2=16\)，\(\bar X=24\)、\(\bar Y=20\)，检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(\alpha=0.05\)）。（答案：\(S_p=4\)，\(T=\dfrac{4}{4\sqrt{1/8+1/8}}=\dfrac{4}{2}=2<2.145\)，不拒绝 \(H_0\)）

4.3 两个总体方差比的 F 检验

  • 是什么/定义：比较两个正态总体方差是否相等，用两样本方差之比构造 F 统计量。
  • 性质/公式：
  • 检验 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)，统计量
    \[F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,\ n_2-1)\quad(H_0\text{ 成立时});\]
  • 双侧拒绝域：\(F>F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\) 或 \(F<F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\)；
  • 单侧（\(H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2\)）：\(F>F_\alpha(n_1-1,n_2-1)\)；
  • 常用关系：\(F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)=\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}\)。
  • 怎么考：①给两样本方差与样本量求 \(F\) 值并与临界值比较；②F 分布分子、分母自由度分别是 \(n_1-1\)、\(n_2-1\)，顺序别写反；③双侧下界用倒数关系。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】甲、乙两厂产品强度方差比较：各抽 \(n_1=n_2=10\) 件，得 \(S_1^2=20\)、\(S_2^2=4\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)（\(F_{0.025}(9,9)=4.03\)）。
    • 解：\(F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}=\dfrac{20}{4}=5>4.03\)，落入右侧拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为两厂强度方差有显著差异。
  • 【例2·真题风格·自编题】检验甲工艺的方差是否显著大于乙工艺：\(n_1=n_2=10\)，\(S_1^2=36\)、\(S_2^2=9\)。在 \(\alpha=0.05\) 下检验 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)，\(H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2\)（\(F_{0.05}(9,9)=3.18\)）。
    • 解：单侧右侧检验，拒绝域 \(F>3.18\)。\(F=\dfrac{36}{9}=4>3.18\)，落入拒绝域，拒绝 \(H_0\)，即认为甲工艺方差显著大于乙工艺。
  • 易错坑点：F 统计量分子、分母对应各自样本方差 \(S_1^2/S_2^2\)，自由度顺序 \((n_1-1,n_2-1)\) 别写反；双侧下界临界值要用倒数关系 \(F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)=\dfrac1{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}\)。
  • 配套练习：\(n_1=n_2=10\)，\(S_1^2=8\)、\(S_2^2=4\)，检验 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)（\(\alpha=0.05\)）。（答案：\(F=\dfrac{8}{4}=2\)，介于 \(\dfrac1{4.03}\approx0.248\) 与 \(4.03\) 之间，不拒绝 \(H_0\)）

五、假设检验的一般步骤（答题模板）

  1. 提出假设 \(H_0\)、\(H_1\)（并说明单侧/双侧）；
  2. 选择检验统计量，写出其在 \(H_0\) 成立时的分布（Z / t / χ² / F 之一）；
  3. 由显著性水平 \(\alpha\) 确定拒绝域（查分位数）；
  4. 由样本值计算统计量的观测值；
  5. 判断：观测值落入拒绝域则拒绝 \(H_0\)，否则不拒绝 \(H_0\)。

六、典型题型汇总

  1. 概念题：原假设/备择假设、显著性水平、两类错误、\(\alpha\) 变化对结论的影响。
  2. 单个正态总体均值检验：\(\sigma^2\) 已知用 Z 检验、\(\sigma^2\) 未知用 t 检验（含单侧）。
  3. 单个正态总体方差检验：用 \(\chi^2\) 检验。
  4. 两个正态总体均值差检验：\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知用 Z 检验；未知但相等用 pooled t 检验。
  5. 两个正态总体方差比检验：用 F 检验。
  6. 写出拒绝域：由 \(\alpha\) 与分位数写出拒绝域表达式。

配套练习（本章综合）

  1. 检验 \(H_0:\mu=\mu_0\)（\(\sigma^2\) 已知），应选用什么统计量及其分布？（答案：\(U=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)）
  2. 检验 \(H_0:\mu=\mu_0\)（\(\sigma^2\) 未知），应选用什么统计量及其分布？（答案：\(T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\)）
  3. 检验 \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\)，应选用什么统计量及其分布？（答案：\(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)\)）
  4. 检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)（\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 未知），应选用什么统计量及其分布？（答案：\(T=\dfrac{\bar X-\bar Y}{S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)\)）
  5. 检验 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)，应选用什么统计量及其分布？（答案：\(F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)）
  6. 显著性水平 \(\alpha\) 是犯第几类错误的概率？（答案：第一类错误（弃真））
  7. （2018年·数一·第8题）见 1.2 节【例2】，答案 (D)。

学完本章的检验标准

  1. 能说清原假设、备择假设、显著性水平、两类错误的含义。
  2. 知道 \(\sigma^2\) 已知 / 未知时单个正态总体均值检验分别用 Z 检验 / t 检验，并能做单侧检验。
  3. 会用 \(\chi^2\) 统计量检验单个正态总体的方差。
  4. 会用 Z 检验、pooled t 检验检验两个正态总体的均值差（\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知 / 未知但相等）。
  5. 会用 F 统计量检验两个正态总体的方差比。
  6. 能按「五步」完成一道完整的假设检验题。

全部达到后，数一概率论与数理统计整条知识树已学完，可进入真题综合训练。