这是数一的第一个分支，也是整个高等数学的地基：后面微分、积分全都建立在「极限」之上。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、函数

1.1 函数的概念

  • 是什么/定义：对于集合 D 中每个数 x，按某个规则 f，都有唯一一个数 y 与之对应，就称 y 是 x 的函数，记 \(y=f(x)\)。
  • 性质/公式（三要素）：
  • 定义域：x 的取值范围；
  • 值域：y 的取值范围；
  • 对应法则：f 本身。
  • 定义域求法（常考）：
  • 分母 ≠ 0；
  • 偶次根号内 ≥ 0；
  • 对数真数 > 0；
  • 反正弦/反余弦内 ∈ [−1, 1]。
  • 怎么考：①给表达式求定义域；②判断两个函数是否相同（定义域+对应法则都相同）；③结合分段函数写出分段定义域。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}+\ln(x+3)\) 的定义域。
    • 解：\(\sqrt{x-1}\) 要求 \(x-1\ge 0\)，即 \(x\ge 1\)；分母 \(x-2\ne 0\)，即 \(x\ne 2\)；\(\ln(x+3)\) 要求 \(x+3>0\)，即 \(x>-3\)。三者取交集得定义域 \(\boxed{[1,2)\cup(2,+\infty)}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\ln x}\) 的定义域。
    • 解：\(4-x^2\ge 0\Rightarrow -2\le x\le 2\)；\(x>0\)；\(\ln x\ne 0\Rightarrow x\ne 1\)。取交集得 \(\boxed{(0,1)\cup(1,2]}\)。
  • 易错坑点：求定义域要「找全所有限制条件」，逐条列不等式再取交集；漏掉「分母≠0」或「对数≠0」是最常见丢分点。
  • 配套练习：求 \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}+\arcsin\dfrac{x}{2}\) 的定义域。（答案：\([-2,-1)\cup(1,2]\)）

1.2 函数的性质

  • 是什么/定义：
  • 单调性：x 增大时 y 也增大 → 单调增；x 增大时 y 减小 → 单调减。
  • 奇偶性：偶函数 \(f(-x)=f(x)\)（图像关于 y 轴对称）；奇函数 \(f(-x)=-f(x)\)（图像关于原点对称）。
  • 周期性：存在 \(T>0\)，使 \(f(x+T)=f(x)\)。
  • 有界性：存在 \(M>0\)，使 \(|f(x)|\le M\) 恒成立。
  • 性质/公式：
  • 奇函数在 \(x=0\) 有定义时，必有 \(f(0)=0\)（因为 \(f(0)=-f(0)\Rightarrow f(0)=0\)）。
  • 两个奇函数相乘得偶函数；奇×偶得奇函数。
  • 怎么考：①判断奇偶性（代入 \(-x\) 变形比较）；②用单调性比较大小；③判断有界性（常与「有界×无穷小」联考）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】判断 \(f(x)=\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)\) 的奇偶性。
    • 解：\(f(-x)=\ln\big(-x+\sqrt{1+x^2}\big)=\ln\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big)=-f(x)\)，故 \(f\) 为奇函数。
  • 【例2·真题风格·自编题】判断 \(f(x)=x^2\sin x\) 与 \(g(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\) 的奇偶性。
    • 解：\(x^2\) 偶、\(\sin x\) 奇 ⇒ 偶×奇=奇；\(g(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-g(x)\) ⇒ \(g\) 为奇函数。
  • 易错坑点：奇函数「\(f(0)=0\)」只有当 \(x=0\) 在定义域内才成立（如 \(f(x)=\dfrac1x\) 是奇函数但 \(f(0)\) 无定义）。
  • 配套练习：判断 \(f(x)=x\cos x\) 与 \(h(x)=\dfrac{x^3}{1+x^2}\) 的奇偶性。（答案：前者奇、后者奇）

1.3 初等函数

  • 是什么/定义：
  • 基本初等函数（6 类）：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
  • 复合函数：\(y=f(u),\ u=g(x)\) 复合为 \(y=f(g(x))\)，即「函数套函数」。
  • 反函数：把 \(y=f(x)\) 解出 \(x=g(y)\)，则 \(g\) 与 \(f\) 互为反函数；图像关于 \(y=x\) 对称。
  • 性质/公式：由基本初等函数经有限次四则运算和复合得到的函数统称初等函数。
  • 怎么考：①写复合函数 \(f(g(x))\) 并求定义域；②求反函数；③识别某函数由哪些基本初等函数复合而成（为第2章链式法则打基础）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x)=\sqrt{1-x}\)，\(g(x)=\ln x\)，求 \(f(g(x))\) 及其定义域。
    • 解：\(f(g(x))=\sqrt{1-\ln x}\)。要求 \(1-\ln x\ge 0\Rightarrow \ln x\le 1\Rightarrow x\le e\)，且 \(x>0\)，故定义域为 \(\boxed{(0,e]}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(y=\ln(x+1)\) 的反函数。
    • 解：由 \(y=\ln(x+1)\) 得 \(e^y=x+1\)，即 \(x=e^y-1\)。交换变量得反函数 \(\boxed{f^{-1}(x)=e^x-1}\)。
  • 易错坑点：复合要满足内层函数值域与外层函数定义域的交集非空（不必要求外层定义域完全包含内层值域）。
  • 配套练习：求 \(y=2^x\) 的反函数。（答案：\(f^{-1}(x)=\log_2 x\)）

1.4 分段函数与隐函数

  • 是什么/定义：
  • 分段函数：定义域被分成若干段，各段用不同表达式表示的函数，如 \(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\ x+1,&x\ge 0\end{cases}\)。
  • 隐函数：由方程 \(F(x,y)=0\) 确定的函数关系（y 未必写成 \(y=f(x)\) 的显式），如 \(x^2+y^2=1\)。
  • 性质/公式：分段函数是一个函数而非多个函数；求值、求定义域、求极限都要「先判断 x 落在哪一段」。
  • 怎么考：①分段函数求值、求定义域；②分段函数在分段点处的极限与连续性（第2、3章核心考法）；③由隐函数方程理解 \(y\) 与 \(x\) 的对应关系。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\ x+1,&x\ge 0\end{cases}\)，求 \(f(-1),\ f(0),\ f(2)\)。
    • 解：\(-1<0\Rightarrow f(-1)=(-1)^2=1\)；\(0\ge 0\Rightarrow f(0)=0+1=1\)；\(2\ge 0\Rightarrow f(2)=3\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】方程 \(x^2+y^2=1\) 是否在每个点都唯一确定 \(y\) 关于 \(x\) 的函数？
    • 解：不唯一。对同一 \(x\in(-1,1)\)，\(y=\pm\sqrt{1-x^2}\) 有两个值，故整个圆不能写成一个 \(y=f(x)\)；但分成上半圆 \(y=\sqrt{1-x^2}\)、下半圆 \(y=-\sqrt{1-x^2}\) 后各是函数。
  • 易错坑点：分段函数求 \(f(f(x))\) 或求极限时，必须先判段，不能拿错表达式。
  • 配套练习：设 \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x\le 1\\ x^2,&x>1\end{cases}\)，求 \(f(f(0))\)。（答案：\(f(0)=2,\ f(2)=4\)，故 \(f(f(0))=4\)）

二、极限

2.1 极限的概念

  • 是什么/定义：
  • 数列极限：当 \(n\) 无限增大时，数列 \(x_n\) 无限趋近于常数 \(A\)，记 \(\lim_{n\to\infty}x_n=A\)。
  • 函数极限：当 \(x\to x_0\)（或 \(x\to\infty\)）时，\(f(x)\) 无限趋近于常数 \(A\)，记 \(\lim f(x)=A\)。
  • 左/右极限：\(x\to x_0^-\)（从左边）、\(x\to x_0^+\)（从右边）。
  • 性质/公式：极限存在 ⇔ 左右极限都存在且相等。
  • 怎么考：①求左右极限判断极限是否存在；②含 \(|x|\)、\(e^{1/x}\) 等左右不同表达式的极限；③分段函数分段点极限。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\)。
    • 解：左极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1\)；右极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1\)。左右极限不相等，故极限不存在。
  • 【例2·真题】2000年·数一·计算(5分)：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)\)。
    • 解：当 \(x\to 0^+\) 时 \(e^{1/x},e^{4/x}\to+\infty\)，故 \(\dfrac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}\approx\dfrac{e^{1/x}}{e^{4/x}}=e^{-3/x}\to 0\)，且 \(\dfrac{\sin x}{|x|}=\dfrac{\sin x}{x}\to 1\)，右极限 \(=1\)；当 \(x\to 0^-\) 时 \(e^{1/x},e^{4/x}\to 0\)，故第一项 \(\to 2\)，第二项 \(\dfrac{\sin x}{|x|}=\dfrac{\sin x}{-x}\to -1\)，左极限 \(=2-1=1\)。左右极限相等，故原极限 \(\boxed{1}\)。
  • 易错坑点：\(|x|\)、\(e^{1/x}\) 在 \(x=0\) 左右表达式不同，必须分左右分别求，不能直接代入 \(x=0\)。
  • 配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}e^{1/x}\)。（答案：不存在，左右极限分别为 0 与 \(+\infty\)）

2.2 极限的性质

  • 是什么/定义：极限若存在，则具有唯一性、局部有界性、保号性等。
  • 性质/公式：
  • 唯一性：极限若存在则唯一。
  • 局部有界性：极限存在 ⇒ 在 \(x_0\) 附近 \(f(x)\) 有界。
  • 保号性：若 \(\lim f(x)=A>0\)，则在 \(x_0\) 附近 \(f(x)>0\)。
  • 怎么考：①用保号性由极限符号推函数符号；②辨析「数列收敛」与「通项大小」之间的关系（常出选择）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】若 \(f(x)>0\) 且 \(\lim f(x)=A\) 存在，能否推出 \(A>0\)？
    • 解：不能，只能推出 \(A\ge 0\)。反例 \(f(x)=x^2>0\)（\(x\ne 0\)），但 \(\lim_{x\to 0}x^2=0\)。
  • 【例2·真题】2003年·数一·选择(4分)：设 \(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\) 均为非负数列，且 \(\lim a_n=0,\ \lim b_n=1,\ \lim c_n=\infty\)，则必有（　）。
    • 解：\(b_n\to 1>0\) 且 \(c_n\to\infty\)，故 \(b_nc_n\to\infty\)，即 \(\lim b_nc_n\) 不存在，选 (D)。(A)(B) 的「对任意 n 成立」与极限无关，(C) 中 \(a_nc_n\) 是 \(0\cdot\infty\) 型，极限可存在可不存在，不能断言。
  • 易错坑点：极限的性质只反映「无限接近」的趋势，不能由极限关系反推每一项都满足某个不等式。
  • 配套练习：若 \(\lim_{n\to\infty}a_n=A>0\)，能否推出存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时 \(a_n>0\)？（答案：能，保号性）

2.3 极限运算法则

  • 是什么/定义：极限的四则运算与复合运算规则。
  • 性质/公式：
  • \(\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g\)；\(\lim(f\cdot g)=\lim f\cdot\lim g\)；\(\lim(f/g)=\lim f/\lim g\)（分母极限 \(\ne 0\)）。
  • 前提是各部分极限都存在。
  • 怎么考：①直接代入；②因式分解约分消除 \(0/0\)；③有理化处理根式差。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。
    • 解：直接代入得 \(0/0\)，先约分：\(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\to 2\)，故原式 \(\boxed{2}\)。
  • 【例2·真题】1998年·数一·填空(3分)：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}\)。
    • 解：分子有理化：
      \[\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)+(\sqrt{1-x}-1)}{x^2}.\]
      其中 \(\sqrt{1+x}-1=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}+1}\)，\(\sqrt{1-x}-1=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x}+1}\)，故分子 \(=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}+1}-\dfrac{x}{\sqrt{1-x}+1}=\dfrac{x(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}\)，再对 \(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\) 有理化得 \(-\dfrac{2x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}\)，整理后分子 \(=\dfrac{-2x^2}{(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}\)，当 \(x\to 0\) 时分母 \(\to 2\cdot 2\cdot 2=8\)，故原式 \(=\dfrac{-2}{8}=\boxed{-\dfrac14}\)。
  • 易错坑点：四则运算要求各部分极限都存在；「\(\infty-\infty\)」「\(0/0\)」「\(\infty/\infty\)」等未定式不能直接算，必须先变形（约分、通分、有理化）。
  • 配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{2x^2+1}\)。（答案：\(\dfrac32\)）

2.4 两个重要极限

  • 是什么/定义：
  • 第一个：\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，处理 \(0/0\) 型含三角函数的极限。
  • 第二个：\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\)；等价形式 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e\)，处理 \(1^\infty\) 型极限。
  • 性质/公式：\(1^\infty\) 型统一套路：若 \(\lim f=1,\ \lim g=\infty\)，则 \(\lim f^{g}=e^{\lim g(f-1)}\)。
  • 怎么考：①给 \(0/0\) 三角极限配成 \(\frac{\sin\square}{\square}\)；②给 \(1^\infty\) 极限配成 \((1+\frac1{\square})^\square\) 或套 \(e^{\lim g(f-1)}\)；③带参数求值。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}\)。
    • 解：\(\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1=\boxed{3}\)。
  • 【例2·真题】1996年·数一·填空(3分)：设 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)^x=8\)，求 \(a\)。
    • 解：\(\dfrac{x+2a}{x-a}=1+\dfrac{3a}{x-a}\)，原式 \(=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{3a}{x-a}\right)^x=e^{\lim 3a\cdot\frac{x}{x-a}}=e^{3a}=8\)，故 \(3a=\ln 8=3\ln 2\)，得 \(\boxed{a=\ln 2}\)。
  • 易错坑点：第二个重要极限必须是「\(1+\text{无穷小}\)」的「无穷大次方」，底数必须是 \(1+(\cdot)\)，不能漏掉那个 \(1\)。
  • 配套练习：
    1. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{\sin x}}\)。（答案：\(e^6\)，1995年·数一·填空）
    2. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}}\)。（答案：\(e^{-1/2}\)，2003年·数一·填空）

2.5 无穷小与无穷大

  • 是什么/定义：
  • 无穷小：\(x\to\) 某值时 \(f(x)\to 0\) 的量。
  • 无穷大：\(|f(x)|\) 无限增大的量。
  • 性质/公式：
  • 有限个无穷小的和仍是无穷小；
  • 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小；
  • 无穷小与无穷大的关系：同一变化过程中，若 \(f(x)\) 是无穷大，则 \(\dfrac1{f(x)}\) 是无穷小；若 \(f(x)\ne 0\) 是无穷小，则 \(\dfrac1{f(x)}\) 是无穷大。
  • 怎么考：①用「有界×无穷小=0」快速求含振荡因子的极限；②由无穷小/无穷大的倒数关系互推。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x\)。
    • 解：\(x^2\to 0\) 是无穷小，\(\left|\sin\frac1x\right|\le 1\) 有界，故原式 \(=\boxed{0}\)。
  • 【例2·真题】1997年·数一·填空(3分)：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x+x^2\cos\frac1x}{(1+\cos x)\ln(1+x)}\)。
    • 解：分子中 \(3\sin x\sim 3x\)，而 \(x^2\cos\frac1x\) 是「有界×无穷小」，为 \(o(x)\)；分母 \((1+\cos x)\ln(1+x)\sim 2\cdot x=2x\)。故原式 \(=\dfrac{3x}{2x}=\boxed{\dfrac32}\)。
  • 易错坑点：「有界×无穷小」结论里，另一个因子必须是无穷小；两个有界量相乘或「无穷小×无穷大」都不能套此结论。
  • 配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\)。（答案：\(0\)）

2.6 无穷小的比较（高阶/低阶/同阶/等价）

  • 是什么/定义：设 \(\alpha,\beta\) 都是同一过程中的无穷小，考察 \(\lim\dfrac{\alpha}{\beta}\)：
  • \(=0\) ⇒ \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小；
  • \(=\infty\) ⇒ \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小；
  • \(=C\ne 0\) ⇒ 同阶无穷小；\(=1\) ⇒ 等价无穷小，记 \(\alpha\sim\beta\)；
  • 若 \(\lim\dfrac{\beta}{\alpha^k}=C\ne 0\)，称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。
  • 性质/公式（等价无穷小替换，\(x\to 0\) 时）：
  • \(\sin x\sim x\)；\(\tan x\sim x\)；\(\arcsin x\sim x\)；\(\arctan x\sim x\)；
  • \(1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}\)；\(\ln(1+x)\sim x\)；\(e^x-1\sim x\)；\((1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\)；
  • 补充（由泰勒/洛必达可得，先记结论）：\(x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}\)，\(\tan x-x\sim\dfrac{x^3}{3}\)。
  • 怎么考：①判断/求等价无穷小；②等价无穷小替换求极限；③由「两无穷小等价」反解参数；④判断 \(k\) 阶无穷小。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)。
    • 解：\(\tan x-\sin x=\sin x\left(\dfrac1{\cos x}-1\right)=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\)，\(\cos x\to 1\)，且 \(\sin x\sim x\)、\(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\)（均为乘除因子，可替换），故原式 \(=\dfrac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\boxed{\dfrac12}\)。
  • 【例2·真题】2009年·数一·第1题(4分)：当 \(x\to 0\) 时，\(f(x)=x-\sin ax\) 与 \(g(x)=x^2\ln(1-bx)\) 是等价无穷小，则（　）。
    • 解：\(g(x)=x^2\ln(1-bx)\sim x^2\cdot(-bx)=-bx^3\) 是 \(3\) 阶无穷小，故 \(f(x)\) 也须为 \(3\) 阶，先要求一阶项抵消：\(x-\sin ax=(1-a)x+o(x)\)，故 \(a=1\)；此时 \(x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}\)。由等价得 \(\dfrac16=-b\)，即 \(b=-\dfrac16\)。选 (A) \(a=1,\ b=-\dfrac16\)。
  • 易错坑点：等价替换只能用于乘除因子，不能用于加减（如 \(\tan x-\sin x\) 不能直接把 \(\tan x,\sin x\) 都换成 \(x\)，会得错误答案 \(0\)），加减式要先提公因式化为乘除。
  • 配套练习：
    1. （2007年·数一·第1题）当 \(x\to 0^+\) 时，与 \(\sqrt x\) 等价的无穷小量是（　）。(A) \(1-e^{\sqrt x}\) (B) \(\ln\dfrac{1+x}{1-\sqrt x}\) (C) \(\sqrt{1+\sqrt x}-1\) (D) \(1-\cos\sqrt x\)。（答案：B）
    2. （2019年·数一·第1题）当 \(x\to 0\) 时，若 \(x-\tan x\) 与 \(x^k\) 是同阶无穷小，则 \(k=\)（　）。（答案：\(k=3\)）
    3. （2006年·数一·填空）求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{1-\cos x}\)。（答案：\(2\)）

2.7 求极限的方法汇总

  1. 直接代入（先看是不是未定式）；
  2. 因式分解、约分（消除 \(0/0\)）；
  3. 有理化（含根式）；
  4. 两个重要极限（\(0/0\) 三角型、\(1^\infty\) 型）；
  5. 等价无穷小替换（仅乘除）；
  6. 洛必达法则（\(0/0\)、\(\infty/\infty\) 型，依赖导数，学完第2章「一元函数微分学」后再用）；
  7. 夹逼准则、单调有界准则（数列极限）；
  8. 初等函数连续性（定义区间内直接代入，见 3.4）。
  • 综合真题示范：
  • 【2008年·数一·计算(9分)】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^4}\)。
    • 解：\(\sin(\sin x)=\sin x-\dfrac{\sin^3 x}{6}+o(\sin^3 x)\)，故 \(\sin x-\sin(\sin x)\sim\dfrac{\sin^3 x}{6}\sim\dfrac{x^3}{6}\)，再乘 \(\sin x\sim x\)，分子 \(\sim\dfrac{x^4}{6}\)，故原式 \(=\boxed{\dfrac16}\)。
  • 【2011年·数一·计算(10分)】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x-1}}\)。
    • 解：\(1^\infty\) 型。\(\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1-\dfrac{x}{2}+o(x)\)，故 \(\ln\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)\sim -\dfrac{x}{2}\)，指数 \(\dfrac1{e^x-1}\sim\dfrac1x\)，于是 \(\ln L=\lim\left(-\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac1x\right)=-\dfrac12\)，故 \(L=\boxed{e^{-1/2}}\)。
  • 【1999年·数一·填空(3分)】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac1{x^2}-\frac1{x\tan x}\right)\)。
    • 解：通分 \(\dfrac1{x^2}-\dfrac1{x\tan x}=\dfrac{\tan x-x}{x^2\tan x}\)，用 \(\tan x-x\sim\dfrac{x^3}{3}\)、\(x^2\tan x\sim x^3\)，得原式 \(=\boxed{\dfrac13}\)。

2.8.1 极限存在准则（一）：夹逼准则

  • 是什么/定义：
  • 数列版：若从某项起 \(y_n\le x_n\le z_n\)，且 \(\lim y_n=\lim z_n=A\)，则 \(\lim x_n=A\)。
  • 函数版：在 \(x_0\) 附近 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，且 \(\lim g=\lim h=A\)，则 \(\lim f=A\)。
  • 性质/公式：核心思路是「放大、缩小」：把难以直接求的 \(x_n\)（或 \(f(x)\)）夹在两个容易求且极限相同的量之间。
  • 怎么考：①对 \(n\) 项和/连乘式放缩求和；②含取整、含 \(\max/\min\) 的极限；③与定积分定义结合（后续积分学）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)\)。
    • 解：共有 \(n\) 项，每项介于 \(\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}\) 与 \(\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}\) 之间，故
      \[\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.\]
      两端极限均为 \(1\)（分子分母同除以 \(n\)），由夹逼准则 \(S_n\to \boxed{1}\)。
  • 【例2·真题】1998年·数一·计算(6分)：求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac12}+\cdots+\frac{\sin\pi}{n+\frac1n}\right)\)。
    • 解：第 \(k\) 项分母 \(n+\dfrac1k\) 满足 \(n\le n+\dfrac1k\le n+1\)，故 \(\dfrac1{n+1}\le\dfrac1{n+\frac1k}\le\dfrac1n\)，于是
      \[\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\le S_n\le\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}.\]
      由定积分定义 \(\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\sin\dfrac{k\pi}{n}\to\int_0^1\sin(\pi x)\,dx=\dfrac2\pi\)（定积分在积分学中学习，此处先记结论），且 \(\dfrac{1}{n+1}\sum=\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac1n\sum\to\dfrac2\pi\)。由夹逼准则 \(S_n\to\boxed{\dfrac2\pi}\)。
  • 易错坑点：放大、缩小后两端极限必须相等；若两端极限不同，夹逼失效，需换放缩尺度。
  • 配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\)。（提示：\(0<\dfrac{n!}{n^n}\le\dfrac1n\)。答案：\(0\)）

2.8.2 极限存在准则（二）：单调有界准则

  • 是什么/定义：单调递增且有上界（或单调递减且有下界）的数列必收敛。
  • 性质/公式：先证单调、再证有界，即得极限存在；设极限为 \(A\)，对递推式两边取极限解出 \(A\)。
  • 怎么考：①给递推数列 \(x_{n+1}=f(x_n)\)，证明收敛并求极限；②判断「单调有界」与数列收敛的逻辑关系（选择）；③与不等式证明结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(x_1=1,\ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\)，证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限。
    • 解：先用数学归纳法证 \(0<x_n<2\)（\(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt{2+2}=2\)）。再证单调增：\(x_{n+1}^2-x_n^2=(2+x_n)-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)>0\)，故 \(x_{n+1}>x_n\)。于是 \(\{x_n\}\) 单调增有上界，收敛。设 \(\lim x_n=A\)，对 \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\) 取极限得 \(A=\sqrt{2+A}\)，即 \(A^2-A-2=0\)，解得 \(A=2\)（舍负），故 \(\boxed{\lim x_n=2}\)。
  • 【例2·真题】1996年·数一·计算(5分)：设 \(x_1=10,\ x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}\ (n=1,2,\cdots)\)，证明 \(\{x_n\}\) 极限存在并求之。
    • 解：先证 \(x_n>3\)：\(x_1=10>3\)，若 \(x_n>3\) 则 \(x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}>\sqrt{6+3}=3\)。再证单调减：\(x_{n+1}-x_n=\sqrt{6+x_n}-x_n=\dfrac{6+x_n-x_n^2}{\sqrt{6+x_n}+x_n}=\dfrac{(3-x_n)(2+x_n)}{\sqrt{6+x_n}+x_n}<0\)（因 \(x_n>3\)）。故 \(\{x_n\}\) 单调减且有下界 \(3\)，收敛。设 \(\lim x_n=A\)，则 \(A=\sqrt{6+A}\)，即 \(A^2-A-6=0\)，解得 \(A=3\)（舍负），故 \(\boxed{\lim x_n=3}\)。
  • 易错坑点：单调性方向与有界方向要匹配（单调增配上界、单调减配下界）；对递推式取极限时要先确认极限存在。
  • 配套练习：
    1. （2008年·数一·选择）设 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内单调有界，\(\{x_n\}\) 为数列，下列命题正确的是（　）。(A) 若 \(\{x_n\}\) 收敛则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛 (B) 若 \(\{x_n\}\) 单调则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛 (C) 若 \(\{f(x_n)\}\) 收敛则 \(\{x_n\}\) 收敛 (D) 若 \(\{f(x_n)\}\) 单调则 \(\{x_n\}\) 收敛。（答案：B）
    2. （2011年·数一·证明(10分)）证明：对任意正整数 \(n\)，\(\dfrac1{n+1}<\ln\left(1+\dfrac1n\right)<\dfrac1n\)，并由此证明 \(a_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n-\ln n\) 收敛。（答案：由 \(\ln(1+x)<x\) 与 \(\ln(1+x)>\dfrac{x}{1+x}\)（取 \(x=\frac1n\)）得不等式；再证 \(a_n\) 单调减（\(a_n-a_{n+1}=\ln(1+\frac1n)-\frac1{n+1}>0\)，用左不等式）且有下界（由右不等式 \(\ln(1+\frac1k)<\frac1k\) 累加得 \(\ln n<H_n\)，即 \(a_n>0\)），故收敛）

三、连续

3.1 连续的定义

  • 是什么/定义：\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续 ⇔ \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)。
  • 性质/公式（三条件）：
    1. \(f(x_0)\) 有定义；
    2. 极限 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在；
    3. 极限值 = 函数值。
  • 怎么考：①判断分段函数在分段点是否连续；②已知连续反解参数（令左右极限 = 函数值）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne 0\\ 0,&x=0\end{cases}\)，判断 \(f\) 在 \(x=0\) 是否连续。
    • 解：\(|x^2\sin\frac1x|\le x^2\to 0\)，故 \(\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\)，三个条件全满足，\(f\) 在 \(x=0\) 连续。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x^2},&x\ne 0\\ a,&x=0\end{cases}\)，若 \(f\) 在 \(x=0\) 连续，求 \(a\)。
    • 解：\(\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\)，故需 \(a=f(0)=\dfrac12\)，即 \(\boxed{a=\dfrac12}\)。
  • 易错坑点：连续 = 「极限值」等于「函数值」，两者缺一不可；有定义但极限不存在、或极限存在但 \(\ne f(x_0)\) 都不连续。
  • 配套练习：判断 \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\) 是否连续。（答案：不连续，\(x=0\) 处无定义，为可去间断点）

3.2 间断点及其分类

  • 是什么/定义：不连续的点 \(x_0\) 称为间断点，按左右极限分类：
  • 第一类（左右极限都存在）：可去（左右极限相等但不等于函数值或无定义）、跳跃（左右极限都存在但不相等）；
  • 第二类（左右极限至少一个不存在）：无穷间断点、振荡间断点等。
  • 怎么考：①给分段/分式函数，判断在某点是否连续、是哪种间断点；②已知间断点类型反求参数；③数第一类/第二类间断点个数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】分别指出下列函数在指定点处间断点的类型：
    1. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\)：\(\lim f=1\) 但 \(f(0)\) 无定义 → 可去间断点；
    2. \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\) 在 \(x=0\)：左右极限 \(-1,1\) 不相等 → 跳跃间断点；
    3. \(f(x)=\dfrac1x\) 在 \(x=0\)：\(f\to\pm\infty\) → 无穷间断点；
    4. \(f(x)=\sin\dfrac1x\) 在 \(x=0\)：极限在 \([-1,1]\) 间振荡不存在 → 振荡间断点。
  • 【例2·真题风格·自编题】讨论 \(f(x)=\dfrac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\) 在 \(x=0\) 处的间断类型。
    • 解：\(x\to 0^+\) 时 \(e^{1/x}\to+\infty\)，\(f\to 1\)；\(x\to 0^-\) 时 \(e^{1/x}\to 0\)，\(f\to 0\)。左右极限都存在但不相等，故 \(x=0\) 为跳跃间断点（第一类）。
  • 易错坑点：可去间断点的特征是「左右极限相等但与函数值不一致（或无定义）」，只需补定义即可连续；跳跃间断点左右极限不相等。
  • 配套练习：判断 \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 的间断类型，并说明如何使其连续。（答案：可去间断点，补充定义 \(f(1)=2\)）

3.3 闭区间上连续函数的性质（零点定理、介值定理）

  • 是什么/定义：
  • 有界性与最值定理：闭区间上连续函数一定有界，且能取到最大值、最小值。
  • 零点定理：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续且 \(f(a)\cdot f(b)<0\)，则 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) 使 \(f(\xi)=0\)。
  • 介值定理：连续函数能取到两端点值之间的所有值。
  • 怎么考：①证明方程 \(f(x)=0\) 在区间内有根（构造辅助函数、找两端异号）；②讨论方程实根个数（零点定理 + 单调性）；③证明中值类等式。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】证明方程 \(x^3+x-1=0\) 在 \((0,1)\) 内至少有一个实根。
    • 解：令 \(f(x)=x^3+x-1\)，在 \([0,1]\) 上连续，且 \(f(0)=-1<0,\ f(1)=1>0\)，由零点定理，存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(f(\xi)=0\)。
  • 【例2·真题】2011年·数一·计算(10分)：求方程 \(k\arctan x-x=0\) 不同实根的个数（\(k\) 为参数）。
    • 解：令 \(f(x)=k\arctan x-x\)，\(f(0)=0\)。\(f'(x)=\dfrac{k}{1+x^2}-1=\dfrac{k-1-x^2}{1+x^2}\)（求导见第2章）。
    • 当 \(k\le 1\)：\(f'(x)<0\ (x\ne 0)\)，\(f\) 严格单调递减，\(f(0)=0\)，故恰有 1 个实根；
    • 当 \(k>1\)：\(f'\) 在 \((-\sqrt{k-1},\sqrt{k-1})\) 内为正、外部为负，故 \(f\) 先增后减，\(f(\sqrt{k-1})>f(0)=0\) 且 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)，由零点定理在 \((\sqrt{k-1},+\infty)\) 有一根；由对称性在 \((-\infty,-\sqrt{k-1})\) 也有一根，再加 \(x=0\)，恰有 3 个实根。
    • 综上：\(k\le 1\) 时 1 个；\(k>1\) 时 3 个。
  • 易错坑点：零点定理只能证「至少有一个根」；要证「唯一/个数」必须配合单调性（或导数）。用零点定理前必须验证 \(f\) 在闭区间连续且端点值异号。
  • 配套练习：证明方程 \(x\cdot 2^x=1\) 在 \((0,1)\) 内至少有一个实根。（提示：令 \(f(x)=x\cdot 2^x-1\)，\(f(0)=-1<0,\ f(1)=1>0\)）

3.4 初等函数的连续性

  • 是什么/定义：一切初等函数在其定义区间内都连续。
  • 性质/公式：求初等函数在其定义区间内某点的极限，直接代入即可（\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)）；分段函数只须检查分段点，其余各段（初等函数）自动连续。
  • 怎么考：①快速求初等函数极限（直接代入）；②判断连续区间（去掉无定义的点）；③与分段点连续性问题结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+1}{x-1}\)。
    • 解：该函数在 \(x=2\) 处连续，直接代入得 \(\dfrac{2^2+1}{2-1}=\boxed{5}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x+\ln(1+x)}{\cos x}\)。
    • 解：分子分母均为初等函数且在 \(x=0\) 连续，直接代入得 \(\dfrac{e^0+\ln 1}{\cos 0}=\dfrac{1+0}{1}=\boxed{1}\)。
  • 易错坑点：连续性只在定义区间内成立；对无定义的点（如 \(\ln x\) 在 \(x\le 0\)）不能「直接代入」，要按间断点或极限处理。
  • 配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\ln(x^2+x)\)。（答案：\(\ln 2\)）

配套练习（本章综合）

  1. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}\)。（答案：\(3\)）
  2. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)。（答案：\(\dfrac12\)）
  3. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\)。（答案：\(e\)）
  4. （1994年·数一·填空）求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cot x\left(\frac1{\sin x}-\frac1x\right)\)。（答案：\(\dfrac16\)）
  5. （1994年·数一·选择）设 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{c\ln(1-2x)+d(1-e^{-x^2})}=2\)（\(a^2+c^2\ne 0\)），则必有（　）。(A) \(b=4d\) (B) \(b=-4d\) (C) \(a=4c\) (D) \(a=-4c\)。（答案：D）
  6. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。（答案：\(\dfrac16\)）

学完本章的检验标准

  1. 能熟练求出常见函数（含分段函数）的定义域。
  2. 能判断函数奇偶性、单调性、有界性。
  3. 能用多种方法求极限（代入、约分、有理化、两个重要极限、等价无穷小、夹逼、单调有界）。
  4. 能进行无穷小比较（高阶/低阶/同阶/等价、\(k\) 阶），并正确使用等价无穷小替换。
  5. 能判断分段函数在某点的连续性及间断点类型（可去/跳跃/无穷/振荡）。
  6. 会用零点定理、介值定理证明方程有根，会用单调有界准则证明递推数列收敛。
  7. 知道「一切初等函数在其定义区间内连续」，能对初等函数直接代入求极限。

全部达到后，进入第2章「一元函数微分学」（导数）。