第2章「一元函数微分学」讲义

本章是数一的核心重头戏：导数与微分是后面积分、微分方程、多元微分的共同基础，中值定理与泰勒公式更是证明题和级数展开的命脉。
前置知识：第1章「函数、极限、连续」（极限运算、连续概念、等价无穷小）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、导数与微分

1.1 导数的定义

是什么/定义：函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数，是函数增量与自变量增量之比的极限
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
导函数：\(f'(x)\) 是每个点 \(x\) 处导数值构成的函数。
左/右导数：上式极限取左极限/右极限即左导数 \(f'_-(x_0)\)、右导数 \(f'_+(x_0)\)。
性质/公式：
可导 ⇔ 左右导数都存在且相等。
几何意义：\(f'(x_0)\) 是曲线在 \((x_0,f(x_0))\) 处切线的斜率；切线方程 \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)，法线方程（\(f'(x_0)\ne 0\)）\(y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)。
物理意义：路程对时间的导数 = 瞬时速度。
怎么考：①用定义求某点导数（分段函数在分段点必须用定义）；②已知极限反求 \(f'(x_0)\)（把极限凑成定义式）；③求切线、法线方程；④判断某点可导性（左右导数是否相等）。
典型例题：
【例1·基础】用定义求 \(f(x)=x^2\) 在 \(x=1\) 处的导数。
- 解：\(f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 可导，求 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}\)。
- 解：\(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\)，两项分别趋于 \(f'(x_0)\) 与 \(f'(x_0)\)，故原式 \(\boxed{2f'(x_0)}\)。
易错坑点：分段函数在分段点处必须用定义判断可导性，不能直接代公式；定义中分子分母的「趋近方式」要一致。
配套练习：用定义判断 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处的可导性。（答案：不可导，左导数 \(-1\)、右导数 \(1\)）

1.2 可导与连续的关系

是什么/定义：可导 ⇒ 连续；连续不一定可导。
性质/公式：典型反例 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 连续但不可导（左导数 \(-1\ne\) 右导数 \(1\)）。
怎么考：①判断「可导」与「连续」的逻辑关系（选择）；②用「不连续 ⇒ 不可导」快速排除；③已知可导反推连续（用于求极限/定参数）。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(f(x)=x^{2/3}\) 在 \(x=0\) 处的连续性与可导性。
- 解：\(f(0)=0\) 且 \(\lim_{x\to 0}x^{2/3}=0\)，故连续；但 \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^{2/3}}{h}=h^{-1/3}\to\infty\)（不趋于有限值），故 \(x=0\) 处不可导。
【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 可导，求 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) 与 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}f(x_0+h)\)。
- 解：前者即定义 \(=f'(x_0)\)；由「可导 ⇒ 连续」得后者 \(=f(x_0)\)。
易错坑点：「连续 ⇒ 可导」是错的；「可导必连续」常用于：若函数在 \(x_0\) 不连续，则可直接断言不可导。
配套练习：判断 \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\) 处的连续性与可导性。（答案：连续但不可导，切线铅直）

1.3 基本求导公式（必须熟背）

是什么/定义：直接用导数定义推出的基本初等函数导数表。
性质/公式：
\((C)'=0\)；
\((x^a)'=a x^{a-1}\)（特别 \((\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}\)，\(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}\)）；
\((a^x)'=a^x\ln a\)；\((e^x)'=e^x\)；
\((\log_a x)'=\dfrac1{x\ln a}\)；\((\ln x)'=\dfrac1x\)；
\((\sin x)'=\cos x\)；\((\cos x)'=-\sin x\)；
\((\tan x)'=\sec^2 x\)；\((\cot x)'=-\csc^2 x\)；
\((\sec x)'=\sec x\tan x\)；\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)；
\((\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)；\((\arccos x)'=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)；
\((\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}\)；\((\operatorname{arccot} x)'=-\dfrac1{1+x^2}\)。
怎么考：①直接求导（填空/选择）；②背熟反三角与对数导数（高频小题）；③作为复合、隐函数求导的「积木」。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x^e+e^x+\ln x\) 的导数。
- 解：\(y'=e x^{e-1}+e^x+\dfrac1x\)（注意 \(x^e\) 是幂函数、\(e^x\) 是指数函数，公式不同）。
易错坑点：\((x^a)'=a x^{a-1}\) 与 \((a^x)'=a^x\ln a\) 极易混；底数是变量、指数是常数 ⇒ 幂函数；底数是常数、指数是变量 ⇒ 指数函数。
配套练习：求 \(y=\arcsin x+\arccos x\) 的导数。（答案：\(0\)，因为 \(\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2\)）

1.4 求导法则

是什么/定义：由已知函数导数求组合函数导数的规则。
性质/公式：
四则运算：\((u\pm v)'=u'\pm v'\)；\((uv)'=u'v+uv'\)；\(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)（\(v\ne 0\)）。
复合函数（链式法则）：\(y=f(u),\ u=g(x)\Rightarrow y'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)，从外到内逐层相乘。
反函数求导：若 \(y=f(x)\) 与 \(x=g(y)\) 互为反函数，则 \(g'(y)=\dfrac1{f'(x)}\)（\(f'(x)\ne 0\)）。
隐函数求导：对 \(F(x,y)=0\) 两边同时对 \(x\) 求导（把 \(y\) 看成 \(x\) 的函数），再解出 \(y'\)。
参数方程求导：\(x=\varphi(t),\ y=\psi(t)\)，则
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)\Big/\frac{dx}{dt}\]
对数求导法（幂指函数或连乘除的复杂函数）：先取 \(\ln\) 再求导。例 \(y=u(x)^{v(x)}\)：\(\ln y=v\ln u\)。
分段函数求导：各段内用公式，分段点用定义。
怎么考：①复合函数逐层求导（最易漏内层）；②隐函数求导（对含 \(y\) 的项求导后必须乘 \(y'\)）；③参数方程一阶/二阶导；④对数求导法求幂指函数；⑤反函数求导。
典型例题：
【例1·基础】设 \(e^y+xy=0\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。
- 解：两边对 \(x\) 求导：\(e^y y'+y+xy'=0\)，即 \((e^y+x)y'=-y\)，故 \(y'=\boxed{-\dfrac{y}{e^y+x}}\)。
【例2·真题】2002年·数一·填空第2题(3分)：已知函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(e^y+6xy+x^2-1=0\) 确定，求 \(y''(0)\)。
- 解：当 \(x=0\) 时 \(e^y-1=0\Rightarrow y(0)=0\)。两边对 \(x\) 求导：\(e^y y'+6y+6xy'+2x=0\)。代入 \(x=0,\ y=0\) 得 \(y'(0)=0\)。再求导：
  \[e^y(y')^2+e^y y''+6y'+6y'+6xy''+2=0.\]
  代入 \(x=0,\ y=0,\ y'=0\) 得 \(y''(0)+2=0\)，故 \(\boxed{y''(0)=-2}\)。
易错坑点：复合函数要「从外到内逐层求导、逐层相乘」；隐函数对含 \(y\) 的项求导后必须乘 \(y'\)；参数方程二阶导是对 \(t\) 再求导后除以 \(x'(t)\)，不是直接对一阶导再对 \(t\) 求导完事。
配套练习：
1. 求 \(y=\sin(x^2)\) 的导数。（答案：\(2x\cos(x^2)\)）
2. 求 \(y=x^{\sin x}\) 的导数（对数求导）。（答案：\(y'=x^{\sin x}\big(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\big)\)）
3. （2010年·数一·填空第9题）设 \(x=e^{-t},\ y=\int_0^t\ln(1+u^2)\,du\)，求 \(\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=0}\)。（答案：\(0\)）

1.5 高阶导数

是什么/定义：导数的导数，\(f^{(n)}(x)=\big(f^{(n-1)}(x)\big)'\)。
性质/公式（常见 \(n\) 阶导）：
\((x^a)^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)x^{a-n}\)；
\((e^x)^{(n)}=e^x\)；\((a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n\)；
\((\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\)；\((\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\)；
\(\left(\dfrac1x\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\)。
莱布尼茨公式（乘积的 \(n\) 阶导）：\((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}\)。
怎么考：①求给定函数的 \(n\) 阶导（先求前几阶找规律）；②莱布尼茨求乘积的高阶导；③求高阶导数在某点的值（常与泰勒系数对比）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x e^x\) 的 \(n\) 阶导数。
- 解：由莱布尼茨，取 \(u=x,\ v=e^x\)，只有 \(k=0,1\) 两项非零：
  \[(xe^x)^{(n)}=C_n^0 x(e^x)^{(n)}+C_n^1\cdot 1\cdot(e^x)^{(n-1)}=xe^x+n e^x=\boxed{(x+n)e^x}.\]
【例2·真题风格·自编题】求 \(y=\dfrac1{1-x}\) 的 \(n\) 阶导数。
- 解：\(y=(1-x)^{-1}\)，\(y^{(n)}=(-1)^n(-1)^n n!(1-x)^{-(n+1)}=\boxed{\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}}\)。
易错坑点：莱布尼茨公式中 \(C_n^k\) 与「\(u\) 求 \(n-k\) 次、\(v\) 求 \(k\) 次」的对应别写反；\(\sin/\cos\) 的 \(n\) 阶导要加 \(n\pi/2\) 的相位。
配套练习：求 \(y=\sin x\) 的 \(2024\) 阶导数。（答案：\(\sin(x+1012\pi)=\sin x\)）

1.6 微分

是什么/定义：\(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微，微分 \(dy=f'(x_0)\Delta x\)，记 \(dx=\Delta x\)，则 \(dy=f'(x_0)dx\)。
性质/公式：
一元函数可微 ⇔ 可导，且 \(dy=f'(x)dx\)；
增量关系：\(\Delta y=dy+o(\Delta x)\)，即 \(dy\) 是 \(\Delta y\) 的线性主部；
一阶微分形式不变性：无论 \(x\) 是自变量还是中间变量，都有 \(dy=f'(x)dx\)；
几何意义：\(dy\) 是切线上纵坐标的增量；
近似计算：\(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\)（\(|\Delta x|\) 很小时）。
怎么考：①求 \(dy\)；②比较 \(dy\) 与 \(\Delta y\) 的大小（结合凹凸性，小题高频）；③用微分作近似计算。
典型例题：
【例1·基础】设 \(y=x^2\)，求 \(x=1,\ \Delta x=0.01\) 时的 \(dy\) 与 \(\Delta y\)。
- 解：\(dy=2x\Delta x=2\times 0.01=0.02\)；\(\Delta y=(1.01)^2-1=0.0201\)。可见 \(\Delta y\approx dy\)。
【例2·真题】2006年·数一·选择第7题(4分)：设 \(y=f(x)\) 具有二阶导数，且 \(f'(x)>0,\ f''(x)>0\)，\(\Delta x\) 为自变量在 \(x_0\) 处的增量，\(\Delta y\) 与 \(dy\) 分别为对应增量与微分，若 \(\Delta x>0\)，则（　）。
- 解：\(dy=f'(x_0)\Delta x>0\)（因 \(f'>0,\ \Delta x>0\)）。由泰勒展开 \(\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\dfrac{f''(\xi)}2(\Delta x)^2>dy\)（因 \(f''>0\)）。故 \(0<dy<\Delta y\)，选 (A)。
易错坑点：\(dy\) 是「切线」增量、\(\Delta y\) 是「曲线」增量，两者差 \(o(\Delta x)\)；比较大小时方向由 \(f''\) 的符号决定（\(f''>0\) 凹 ⇒ \(\Delta y>dy\)）。
配套练习：求 \(d(\arctan x)\)。（答案：\(\dfrac1{1+x^2}dx\)）

二、微分中值定理

2.1 罗尔定理（Rolle）

是什么/定义：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)。
性质/公式：几何意义——两端点函数值相等时，\((a,b)\) 内至少有一条水平切线（\(f'(\xi)=0\)）。
怎么考：
① 证明存在 \(\xi\) 使 \(f'(\xi)=0\)：构造辅助函数 \(F(x)\)，找出 \(F\) 的两个等值点，对 \(F\) 用罗尔。
② 证明 \(f^{(n)}(\xi)=0\)：找出 \(f\)（或 \(F\)）的 \(n+1\) 个等值点，多次用罗尔。
③ 与零点定理结合证「方程 \(f(x)=0\) 有根」再证「\(f'(x)=0\) 有根」。
辅助函数构造口诀：要证 \(f'(\xi)+g'(\xi)f(\xi)=0\) 型，取 \(F(x)=e^{g(x)}f(x)\)；要证 \(f'(\xi)=k\) 型，取 \(F(x)=f(x)-kx\)。
典型例题：
【例1·基础】设 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)。
- 解：\(f\) 满足罗尔三条件，直接由罗尔定理得存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)。
【例2·真题】2017年·数一·第18题(10分)：设 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上具有二阶导数，\(f(1)>0\)，\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}x<0\)。证明：
(Ⅰ) 方程 \(f(x)=0\) 在 \((0,1)\) 内至少存在一个实根；
(Ⅱ) 方程 \(f(x)f''(x)+\big(f'(x)\big)^2=0\) 在 \((0,1)\) 内至少存在两个不同实根。
- 解：
  (Ⅰ) 由 \(\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x<0\)，在 \(0\) 的右邻域取 \(x_1\in(0,1)\) 使 \(f(x_1)<0\)；又 \(f(1)>0\)。\(f\) 连续，由零点定理存在 \(x_0\in(x_1,1)\subset(0,1)\) 使 \(f(x_0)=0\)。
  (Ⅱ) 由 \(f\) 连续及 \(\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x<0\) 得 \(f(0)=0\)。又 \(f(x_0)=0\)，对 \(f\) 在 \([0,x_0]\) 上用罗尔，存在 \(\eta\in(0,x_0)\) 使 \(f'(\eta)=0\)。令 \(F(x)=f(x)f'(x)\)，则 \(F'(x)=f(x)f''(x)+\big(f'(x)\big)^2\)。因 \(f(0)=0,\ f'(\eta)=0,\ f(x_0)=0\)，故 \(F(0)=F(\eta)=F(x_0)=0\)。对 \(F\) 在 \([0,\eta]\)、\([\eta,x_0]\) 上分别用罗尔，得 \(\eta_1\in(0,\eta),\ \eta_2\in(\eta,x_0)\) 使 \(F'(\eta_1)=F'(\eta_2)=0\)，即原方程在 \((0,1)\) 内至少有两个不同实根。
易错坑点：三个条件缺一不可；结论只说「至少存在一个」，不能断言唯一；用罗尔前要先验证连续性 + 可导性 + 端点值相等。
配套练习：设 \(f\) 在 \([0,1]\) 连续、\((0,1)\) 可导，且 \(f(0)=f(1)=0\)，证明存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(f(\xi)+\xi f'(\xi)=0\)。（提示：取 \(F(x)=x f(x)\)，\(F(0)=F(1)=0\)，罗尔得 \(f(\xi)+\xi f'(\xi)=0\)）

2.2 拉格朗日中值定理（Lagrange）

是什么/定义：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使
\[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad\text{即}\quad f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\]
性质/公式：
变形：\(f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)\)（\(\xi\) 在 \(x\) 与 \(x_0\) 之间）。
推论：区间内 \(f'(x)\equiv 0\Rightarrow f(x)\) 为常数；\(f'(x)\equiv g'(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+C\)。
拉格朗日可看作罗尔的推广（去掉 \(f(a)=f(b)\) 的条件）。
怎么考：
① 证明不等式：对 \(f\) 用拉格朗日得 \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)，再估计 \(|f'(\xi)|\) 的上下界。
② 证明存在性/恒等式（如证「存在 \(\xi\) 使 \(f'(\xi)=\) 某值」）。
③ 用推论证 \(f\) 为常数、\(f=g+C\)。
④ 已知导数极限反推函数在某点的导数（如右导数 \(f'_+(0)\)）。
典型例题：
【例1·基础】证明 \(|\arctan b-\arctan a|\le |b-a|\)。
- 解：\(f(x)=\arctan x\) 在 \([a,b]\)（或 \([b,a]\)）上连续可导，\(f'(x)=\dfrac1{1+x^2}\le 1\)。由拉格朗日，存在 \(\xi\) 使
  \[|\arctan b-\arctan a|=|f'(\xi)|\,|b-a|=\frac{|b-a|}{1+\xi^2}\le |b-a|.\]
【例2·真题】2004年·数一·第15题(12分)：设 \(e<a<b<e^2\)，证明 \(\ln^2 b-\ln^2 a>\dfrac{4}{e^2}(b-a)\)。
- 解：令 \(f(x)=\ln^2 x\)，\(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，由拉格朗日存在 \(\xi\in(a,b)\) 使
  \[\ln^2 b-\ln^2 a=f'(\xi)(b-a)=\frac{2\ln\xi}{\xi}(b-a).\]
  令 \(g(t)=\dfrac{2\ln t}{t}\)，则 \(g'(t)=\dfrac{2(1-\ln t)}{t^2}<0\)（\(t>e\)），故 \(g\) 在 \((e,+\infty)\) 上单调减。因 \(e<a<\xi<b<e^2\)，有 \(g(\xi)>g(e^2)=\dfrac{2\cdot 2}{e^2}=\dfrac4{e^2}\)。于是
  \[\ln^2 b-\ln^2 a=g(\xi)(b-a)>\frac4{e^2}(b-a).\]
易错坑点：拉格朗日只保证 \(\xi\) 存在，其位置未知，所以不等式的关键是「把 \(f'(\xi)\) 换成与 \(\xi\) 无关的上/下界」。
配套练习：
1. 用拉格朗日证明 \(x>0\) 时 \(\sin x<x\)。（提示：\(\sin x-\sin 0=\cos\xi\cdot x\le x\)，且等号不恒成立。答案：\(\sin x<x\)）
2. （2009年·数一·第18题）(Ⅰ) 证明拉格朗日中值定理；(Ⅱ) 若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续，在 \((0,\delta)\) 内可导，且 \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f'(x)=A\)，证明 \(f'_+(0)\) 存在且等于 \(A\)。
（答案要点：(Ⅰ) 构造 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)，\(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)，罗尔得 \(\varphi'(\xi)=0\) 即结论；(Ⅱ) 对 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x\) 用拉格朗日得 \(f'(\xi_x)\)，令 \(x\to0^+\) 得 \(f'_+(0)=A\)）

2.3 柯西中值定理（Cauchy）

是什么/定义：\(f,g\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，且 \(g'(x)\ne 0\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]
性质/公式：柯西是拉格朗日的推广（取 \(g(x)=x\) 即得拉格朗日）；分母要求 \(g(b)\ne g(a)\)（由 \(g'\ne 0\) 可保证）。
怎么考：
① 证比值形式的中值等式：把结论凑成 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)，选合适的 \(g\)（如 \(g=e^x,\ g=x^2,\ g=\ln x\)）。
② 证双中值型（存在两个不同点 \(\xi,\eta\)）：分别在不同区间、或用不同函数各取一次中值，再联立。
③ 与罗尔、拉格朗日配合证更高阶的存在性。
典型例题：
【例1·基础】设 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，证明存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(2\xi\big[f(b)-f(a)\big]=(b^2-a^2)f'(\xi)\)。
- 解：取 \(g(x)=x^2\)，由柯西得 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\dfrac{f'(\xi)}{2\xi}\)，交叉相乘即 \(\boxed{2\xi[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(\xi)}\)。
【例2·真题】2005年·数一·第18题(12分)：设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0,\ f(1)=1\)。证明：
(Ⅰ) 存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(f(\xi)=1-\xi\)；
(Ⅱ) 存在两个不同的点 \(\eta,\zeta\in(0,1)\)，使 \(f'(\eta)f'(\zeta)=1\)。
- 解：
  (Ⅰ) 令 \(F(x)=f(x)-(1-x)\)，\(F(0)=-1<0,\ F(1)=1>0\)，由零点定理存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(F(\xi)=0\)，即 \(f(\xi)=1-\xi\)。
  (Ⅱ) 在 \([0,\xi]\) 上对 \(f\) 用拉格朗日：存在 \(\eta\in(0,\xi)\)，\(f'(\eta)=\dfrac{f(\xi)-f(0)}{\xi}=\dfrac{1-\xi}{\xi}\)；在 \([\xi,1]\) 上对 \(f\) 用拉格朗日：存在 \(\zeta\in(\xi,1)\)，\(f'(\zeta)=\dfrac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\dfrac{\xi}{1-\xi}\)。于是
  \[f'(\eta)f'(\zeta)=\frac{1-\xi}{\xi}\cdot\frac{\xi}{1-\xi}=1,\]
  且 \(\eta<\xi<\zeta\) 为两个不同点。（本题是典型「双中值」型，用两次拉格朗日；柯西型双中值的套路相同，仅把某一处的拉格朗日换成柯西）
易错坑点：柯西要求 \(g'(x)\ne 0\) 且 \(g(b)\ne g(a)\)；双中值问题要明确每个中值落在哪个区间、由哪个定理得到，两个中值通常不同。
配套练习：设 \(a>0\)，\(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，证明存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\dfrac ba\)。（提示：取 \(g(x)=\ln x\) 用柯西）

2.4 泰勒公式

是什么/定义：\(f\) 在 \(x_0\) 邻域有 \(n+1\) 阶导数，则
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),\]
带拉格朗日余项：\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)（\(\xi\) 在 \(x\) 与 \(x_0\) 之间，用于证明/估计）；
带佩亚诺余项：\(R_n(x)=o\big((x-x_0)^n\big)\)（用于求极限/局部估计）。
麦克劳林公式：\(x_0=0\) 的特例。
性质/公式（常用麦克劳林展开，必背）：
\(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\)；
\(\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^n)\)；
\(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+o(x^n)\)；
\(\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots+o(x^n)\)；
\((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+o(x^n)\)；
\(\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)\)。
怎么考：
① 泰勒展开求极限：把各函数展开到同阶，低阶项抵消后取主部（「展开到消不掉为止」）。
② 求 \(n\) 阶导数在某点的值：与泰勒系数对比 \(\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\)。
③ 证明不等式：用带拉格朗日余项的展开估计误差。
④ 求泰勒多项式：直接展开或乘除复合后对比系数。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}\)。
- 解：展开到 \(x^4\)：\(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)\)；\(e^{-x^2/2}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{8}+o(x^4)\)。相减得 \(\cos x-e^{-x^2/2}=\Big(\dfrac1{24}-\dfrac18\Big)x^4+o(x^4)=-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)\)。故原式 \(\boxed{-\dfrac1{12}}\)。
【例2·真题】2021年·数一·选择第3题(5分)：设函数 \(f(x)=\dfrac{\sin x}{1+x^2}\) 在 \(x=0\) 处的 3 次泰勒多项式为 \(ax+bx^2+cx^3\)，则（　）。
- 解：\(\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\)，\(\dfrac1{1+x^2}=1-x^2+o(x^2)\)（由 \(\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots\) 取 \(x\mapsto -x^2\)）。相乘：
  \[\frac{\sin x}{1+x^2}=\Big(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Big)\big(1-x^2+o(x^2)\big)=x-x^3-\frac{x^3}{6}+o(x^3)=x-\frac76 x^3+o(x^3).\]
  故 \(a=1,\ b=0,\ c=-\dfrac76\)，选 (A) \(a=1,\ b=0,\ c=-\dfrac76\)。
易错坑点：佩亚诺余项 \(o(x^n)\) 只能用于极限/局部估计，证明题要用拉格朗日余项；展开阶数必须统一到「消不掉」的那一阶，否则会漏掉关键项。
配套练习：
1. （2013年·数一·第1题）已知 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c\)（\(c\ne 0\) 为常数），求 \(k,c\)。（答案：\(k=3,\ c=\dfrac13\)，由 \(\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\)）
2. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。（答案：\(\dfrac16\)）

三、洛必达法则

3.1 法则内容

是什么/定义：处理 \(\dfrac00\) 型或 \(\dfrac\infty\infty\) 型未定式。
性质/公式：若 \(\lim f(x)=\lim g(x)=0\)（或同为 \(\infty\)），且 \(\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（或为 \(\infty\)），则
\[\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]
可化为 \(\dfrac00\) 或 \(\dfrac\infty\infty\) 的其他未定式：\(0\cdot\infty\)（化为 \(\dfrac{f}{1/g}\)）；\(\infty-\infty\)（通分/有理化）；\(1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0\)（取对数 \(A=e^{\ln A}\)）。
\(1^\infty\) 型速解：\(\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}\)（\(u\to1,\ v\to\infty\) 时）。
怎么考：①判断是否未定式后再用；②多次洛必达；③与等价无穷小替换、泰勒展开结合（不要死磕洛必达）；④先变形 \(0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty\) 再洛。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)。
- 解：\(\dfrac00\) 型，洛必达一次：\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{2x}=\boxed{\dfrac12}\)（\(e^x-1\sim x\)）。
【例2·真题】2013年·数一·第1题(4分)：已知 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c\)，其中 \(k,c\) 为常数且 \(c\ne 0\)，则（　）。
- 解：\(\dfrac00\) 型，洛必达：
  \[\lim_{x\to0}\frac{x-\arctan x}{x^k}=\lim_{x\to0}\frac{1-\dfrac1{1+x^2}}{k x^{k-1}}=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{x^2}{1+x^2}}{k x^{k-1}}=\lim_{x\to0}\frac{x^{3-k}}{k}.\]
  极限为有限非零常数 \(c\)，须 \(3-k=0\) 即 \(k=3\)，此时 \(c=\dfrac13\)。选 (D) \(k=3,\ c=\dfrac13\)。
易错坑点：非 \(\dfrac00\)、\(\dfrac\infty\infty\) 型不能直接用；每次用之前都要先检查是否仍是未定式；洛必达与等价无穷小、泰勒结合更高效。
配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x\)。（答案：\(0\)，先化 \(0\cdot\infty\) 为 \(\dfrac\infty\infty\)：\(\dfrac{\ln x}{1/x}\to\dfrac{1/x}{-1/x^2}\to 0\)）

四、单调性、极值与最值

4.1 单调性判别

是什么/定义：\(f\) 在 \((a,b)\) 可导，则 \(f'(x)>0\Rightarrow f\) 单调递增；\(f'(x)<0\Rightarrow f\) 单调递减（反之仅当导数不变号）。
性质/公式（求单调区间步骤）：求定义域 → 求 \(f'(x)\) → 令 \(f'(x)=0\) 求驻点并找不可导点 → 分区间判断 \(f'\) 符号。
怎么考：①求单调区间；②用单调性证明不等式（构造 \(F=f-g\)，判 \(F'\) 符号）；③讨论方程实根个数（单调性 + 零点定理）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(f(x)=x^3-3x\) 的单调区间与极值。
- 解：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，驻点 \(x=-1,1\)。\(x<-1\) 时 \(f'>0\) 增；\(-1<x<1\) 时 \(f'<0\) 减；\(x>1\) 时 \(f'>0\) 增。由第一充分条件，极大值 \(f(-1)=2\)，极小值 \(f(1)=-2\)。
【例2·真题风格·自编题】证明 \(x>0\) 时 \(\ln(1+x)<x\)。
- 解：令 \(F(x)=x-\ln(1+x)\)，则 \(F'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac{x}{1+x}>0\)（\(x>0\)），故 \(F\) 在 \([0,+\infty)\) 单调增，\(F(x)>F(0)=0\)，即 \(x>\ln(1+x)\)。
易错坑点：分段点除了驻点 \(f'(x)=0\) 还有不可导点；单调性结论要写「区间」，端点归属要结合定义域。
配套练习：求 \(y=x+\dfrac1x\) 的单调区间。（答案：增 \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)，减 \((-1,0)\cup(0,1)\)）

4.2 极值

是什么/定义：\(x_0\) 附近恒有 \(f(x)\ge f(x_0)\)（或 \(\le\)），称 \(f(x_0)\) 为极小（大）值；极值是局部概念。
性质/公式：
可导函数的极值点必是驻点（\(f'(x_0)=0\)），但驻点不一定是极值点。
第一充分条件：\(f'\) 在 \(x_0\) 两侧左正右负 ⇒ 极大；左负右正 ⇒ 极小；不变号 ⇒ 不是极值。
第二充分条件：\(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0)\ne 0\)：\(f''(x_0)<0\) ⇒ 极大，\(f''(x_0)>0\) ⇒ 极小；\(f''(x_0)=0\) 时失效，回到第一充分条件。
怎么考：①求极值（驻点 + 不可导点，逐点判别）；②已知极值/极值点反求参数；③含参数函数极值讨论。
典型例题：
【例1·基础】求 \(f(x)=x^3-3x^2\) 的极值。
- 解：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，驻点 \(x=0,2\)。\(f''(x)=6x-6\)：\(f''(0)=-6<0\) ⇒ 极大值 \(f(0)=0\)；\(f''(2)=6>0\) ⇒ 极小值 \(f(2)=-4\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) 在 \(x=1\) 处取极值 \(-2\)，求 \(a,b\)。
- 解：由 \(f(1)=-2\) 得 \(1+a+b=-2\)，即 \(a+b=-3\)；由 \(f'(1)=0\) 得 \(3+2a+b=0\)。两式联立解得 \(\boxed{a=0,\ b=-3}\)（此时 \(f=x^3-3x\)，\(f''(1)=6>0\) 确为极小值）。
易错坑点：极值点可能是不可导点（如 \(y=|x|\) 在 \(x=0\)）；驻点只是候选点，\(f''(x_0)=0\) 时第二充分条件失效，必须用第一充分条件。
配套练习：求 \(y=x^4\) 的极值。（答案：极小值 \(0\)，在 \(x=0\) 处取得；注意 \(f''(0)=0\)，须用第一充分条件判断）

4.3 最值

是什么/定义：区间上函数的最大值、最小值（全局概念）。
性质/公式（闭区间 \([a,b]\) 上求最值步骤）：求驻点与不可导点 → 算这些点及端点 \(a,b\) 的函数值 → 比较大小取最大/最小。开区间或实际问题：若区间内唯一驻点且可判为极值，则该极值通常即最值。
怎么考：①闭区间求最值；②实际问题最值（唯一驻点即最值点）；③含参数最值讨论。
典型例题：
【例1·基础】求 \(f(x)=x^3-3x\) 在 \([-2,2]\) 上的最值。
- 解：驻点 \(x=\pm1\)。\(f(-2)=-2,\ f(-1)=2,\ f(1)=-2,\ f(2)=2\)，故最大值 \(2\)，最小值 \(-2\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(y=x+\dfrac1x\) 在 \(\left[\dfrac12,2\right]\) 上的最值。
- 解：\(y'=1-\dfrac1{x^2}=0\Rightarrow x=1\)（驻点）。\(y\!\left(\dfrac12\right)=\dfrac52,\ y(1)=2,\ y(2)=\dfrac52\)，故最大值 \(\dfrac52\)，最小值 \(2\)。
易错坑点：闭区间最值不要漏算端点；极值是最值的候选之一但不是全部。
配套练习：求 \(y=x^2-2x\) 在 \([0,3]\) 上的最值。（答案：最大值 \(3\)（\(x=3\)），最小值 \(-1\)（\(x=1\)））

五、凹凸性、拐点与渐近线

5.1 凹凸性

是什么/定义（本讲义统一口径）：设 \(f\) 在区间内二阶可导，
\(f''(x)>0\) ⇒ 曲线凹（下凸，开口向上）；
\(f''(x)<0\) ⇒ 曲线凸（上凸，开口向下）。
性质/公式：判别即上两条；几何上「凹」是曲线位于切线（弦）上方、「凸」是位于下方。
怎么考：①求凹凸区间；②用凹凸性比较大小（如 \(dy\) 与 \(\Delta y\)、弦与曲线位置）；③与拐点、极值结合画草图。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x^3\) 的凹凸区间与拐点。
- 解：\(y''=6x\)。\(x>0\) 时 \(y''>0\) 凹（下凸）；\(x<0\) 时 \(y''<0\) 凸（上凸）；\(x=0\) 处 \(y''\) 变号，拐点 \((0,0)\)。
【例2·真题】2006年·数一·选择第7题(4分)：设 \(f'(x)>0,\ f''(x)>0\)，\(\Delta x>0\)，则 \(0<dy<\Delta y\)。（见 1.6 微分）
- 解：\(f''>0\) 即曲线凹（下凸），切线在曲线下方，故增量 \(\Delta y\) 大于切线上增量 \(dy\)，且 \(dy=f'(x_0)\Delta x>0\)，得 \(0<dy<\Delta y\)。
易错坑点：不同教材「凹凸」说法相反（有的书把 \(f''>0\) 叫「凸」），本讲义固定口径为「\(f''>0\) 凹（下凸）、\(f''<0\) 凸（上凸）」；做题一律以 \(f''\) 的符号为准，不要背「凹/凸」字面。
配套练习：判断 \(y=\ln x\) 的凹凸性。（答案：\(y''=-\dfrac1{x^2}<0\)，在 \((0,+\infty)\) 上凸（上凸））

5.2 拐点

是什么/定义：连续曲线上凹与凸的分界点，即凹凸性发生改变的点，记坐标 \((x_0,f(x_0))\)。
性质/公式：
必要条件：可导二阶函数在拐点处 \(f''(x_0)=0\)；拐点也可能出现在 \(f''\) 不存在的点。
判别：\(f''\) 在 \(x_0\) 两侧变号 ⇒ \((x_0,f(x_0))\) 是拐点。
怎么考：①求拐点坐标；②由拐点反求参数；③辨析「\(f''(x_0)=0\) 是否必为拐点」。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x^3-3x^2\) 的拐点。
- 解：\(y''=6x-6=6(x-1)\)，\(x=1\) 两侧 \(y''\) 由负变正，故拐点为 \((1,f(1))=\boxed{(1,-2)}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \((1,3)\) 是曲线 \(y=x^3+ax^2+bx+c\) 的拐点，且曲线在 \(x=1\) 处切线斜率为 \(2\)，求 \(a,b,c\)。
- 解：\(y''=6x+2a\)，拐点处 \(y''(1)=0\Rightarrow 6+2a=0\Rightarrow a=-3\)。过点 \((1,3)\)：\(1+a+b+c=3\)，即 \(b+c=5\)。切线斜率 \(y'(1)=2\)：\(3+2a+b=2\Rightarrow 3-6+b=2\Rightarrow b=5\)，从而 \(c=0\)。故 \(\boxed{a=-3,\ b=5,\ c=0}\)。
易错坑点：\(f''(x_0)=0\) 不一定有拐点（如 \(y=x^4\) 在 \(x=0\)，\(f''=12x^2\ge 0\) 不变号）；拐点必须写坐标 \((x_0,f(x_0))\)，不能只写 \(x_0\)。
配套练习：判断 \(y=x^4\) 有无拐点。（答案：无拐点，\(f''=12x^2\ge 0\) 不变号）

5.3 渐近线

是什么/定义：
水平渐近线：\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)（或 \(x\to-\infty\)）⇒ \(y=A\)；
垂直渐近线：\(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\)（单侧即可）⇒ \(x=x_0\)；
斜渐近线：\(a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x\) 存在且 \(\ne 0\)，\(b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]\) 存在 ⇒ \(y=ax+b\)。
性质/公式：垂直渐近线常出现在分母零点、对数真数为 \(0\) 等无定义处；有水平渐近线（两侧同值）时通常无斜渐近线。
怎么考：①求三类渐近线方程；②判断渐近线条数；③与间断点、极限结合。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=\dfrac1x\) 的渐近线。
- 解：\(\lim_{x\to\infty}\dfrac1x=0\) ⇒ 水平渐近线 \(y=0\)；\(\lim_{x\to0}\dfrac1x=\infty\) ⇒ 垂直渐近线 \(x=0\)。
【例2·真题】2005年·数一·填空第1题(4分)：曲线 \(y=\dfrac{x^2}{2x+1}\) 的斜渐近线方程为（　）。
- 解：\(a=\lim_{x\to\infty}\dfrac yx=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{2x+1}=\dfrac12\)；\(b=\lim_{x\to\infty}\Big[y-\dfrac x2\Big]=\lim_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2}{2x+1}-\dfrac x2\right]=\lim_{x\to\infty}\dfrac{-x}{2(2x+1)}=-\dfrac14\)。故斜渐近线 \(\boxed{y=\dfrac12x-\dfrac14}\)。
易错坑点：垂直渐近线只需单侧极限为无穷；斜渐近线要先算 \(a\) 再算 \(b\)，且 \(a\ne 0\)（\(a=0\) 即水平）。
配套练习：求 \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\) 的斜渐近线。（答案：\(y=x\)）

5.4 函数作图

是什么/定义：综合利用定义域、奇偶性、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线描绘函数图像。
性质/公式（作图步骤）：定义域 → 奇偶/周期性 → 一阶导求单调区间与极值 → 二阶导求凹凸区间与拐点 → 渐近线 → 关键点描图。
怎么考：①给函数画草图（数一常以选择题考「哪个图像是该函数」）；②由图像反推 \(f',f''\) 符号。
典型例题：
【例1·基础】画出 \(y=x^3-3x\) 的草图。
- 解：\(f'=3(x-1)(x+1)\)：增 \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)，减 \((-1,1)\)；极大 \(f(-1)=2\)，极小 \(f(1)=-2\)。\(f''=6x\)：\(x<0\) 凸（上凸）、\(x>0\) 凹（下凸），拐点 \((0,0)\)。无渐近线。据此画出「先升后降再升、过原点且原点为拐点」的 N 形曲线。
易错坑点：描图要兼顾「极值点坐标」「拐点坐标」「单调/凹凸区间」三要素，不能只画趋势。

六、曲率（数一要求）

6.1 曲率与曲率半径

是什么/定义：曲率 \(K\) 描述曲线弯曲程度，
\[K=\frac{|y''|}{\big(1+(y')^2\big)^{3/2}}.\]
性质/公式：
曲率半径 \(\rho=\dfrac1K\)；
曲率圆：与曲线在该点有相同切线、相同曲率的圆；
参数方程曲率（\(x=\varphi(t),\ y=\psi(t)\)）：\(K=\dfrac{|\varphi'\psi''-\psi'\varphi''|}{\big((\varphi')^2+(\psi')^2\big)^{3/2}}\)。
怎么考：①求曲线在某点的曲率/曲率半径（数一小题）；②参数方程曲率；③曲率圆方程。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=\ln x\) 在 \(x=1\) 处的曲率 \(K\) 与曲率半径 \(\rho\)。
- 解：\(y'=\dfrac1x,\ y''=-\dfrac1{x^2}\)，在 \(x=1\) 处 \(y'=1,\ y''=-1\)。
  \[K=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}=\frac1{(1+1)^{3/2}}=\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4},\qquad \rho=\frac1K=2\sqrt2.\]
【例2·真题风格·自编题】求曲线 \(y=x^3-3x^2+2\) 在点 \((1,0)\) 处的曲率半径。
- 解：\(y'=3x^2-6x,\ y''=6x-6\)，在 \(x=1\) 处 \(y'=-3,\ y''=0\)。故 \(K=\dfrac{|0|}{(1+9)^{3/2}}=0\)，曲率半径 \(\rho=\dfrac1K\to+\infty\)，即该点（拐点）曲率为 0、不存在有限的曲率半径。
易错坑点：拐点处 \(y''=0\) ⇒ 曲率 \(K=0\)，曲率半径无穷大（不是 \(0\)）；参数方程曲率分子是 \(|\varphi'\psi''-\psi'\varphi''|\)，别漏掉交叉项。
配套练习：求 \(y=x^2\) 在点 \((1,1)\) 处的曲率。（答案：\(K=\dfrac2{(1+4)^{3/2}}=\dfrac{2\sqrt5}{25}\)）

配套练习（本章综合）

求 \(y=e^x\sin x\) 的导数 \(y'\)。（答案：\(e^x(\sin x+\cos x)\)）
求曲线 \(y=x^2\) 在点 \((1,1)\) 处的切线方程。（答案：\(y=2x-1\)）
求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。（答案：\(\dfrac16\)）
（2010年·数一·填空第9题）设 \(x=e^{-t},\ y=\int_0^t\ln(1+u^2)\,du\)，求 \(\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=0}\)。（答案：\(0\)）
（2002年·数一·填空第2题）由 \(e^y+6xy+x^2-1=0\) 确定 \(y=y(x)\)，求 \(y''(0)\)。（答案：\(-2\)）
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 连续、\((0,1)\) 可导，\(f(0)=f(1)=0\)，证明存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(f'(\xi)+2f(\xi)=0\)。（提示：取 \(F(x)=e^{2x}f(x)\)）

学完本章的检验标准

能背出全部基本求导公式，并熟练使用四则、复合、隐函数、参数方程、反函数、对数求导法求导。
会用定义求分段函数在分段点的导数，并能判断可导与连续的关系。
能求任意给定函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线，并画出函数草图。
会正确使用洛必达法则（先判断未定式类型），并与等价无穷小、泰勒公式配合求极限。
能写出并记住常见函数的麦克劳林展开式，会用泰勒公式求极限、求高阶导数值、求泰勒多项式。
能识别并应用罗尔、拉格朗日、柯西中值定理证明四类题型：证 \(f'(\xi)=0\)（罗尔）、证不等式（拉格朗日）、证存在性/双中值（柯西）、泰勒展开求极限/证明。
会用曲率公式求曲率与曲率半径（含参数方程），并知道「拐点处曲率为 0」。

全部达到后，进入第3章「一元函数积分学」（不定积分与定积分，本质是「求导的逆运算」）。