第3章「一元函数积分学」讲义

积分是微分的逆运算，也是数一计算量最大的章节之一：不定积分求「原函数」，定积分求「和式极限」并服务于几何、物理应用。
前置知识：第1章「函数、极限、连续」、第2章「导数与微分」（求导公式、链式法则、微分中值定理）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、不定积分

1.1 原函数与不定积分

是什么/定义：若在区间 \(I\) 上有 \(F'(x)=f(x)\)，则称 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的一个原函数；\(f(x)\) 的全部原函数的集合称为 \(f(x)\) 的不定积分，记 \(\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C\)（\(C\) 为任意常数）。
性质/公式：
线性：\(\displaystyle\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx\)；\(\displaystyle\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx\)（\(k\ne 0\)）。
积分与求导互逆：\(\displaystyle\Big[\int f(x)\,dx\Big]'=f(x)\)；\(\displaystyle\int F'(x)\,dx=F(x)+C\)。
原函数存在定理：区间上连续的函数必有原函数。
怎么考：①已知导数（或微分方程）反求原函数；②由「积分结果求导回验」判断不定积分选项；③判断某函数在某区间是否有原函数（连续 ⇒ 有）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int(3x^2+2x+e^x)\,dx\)。
- 解：逐项求原函数再相加，得 \(\displaystyle\int(3x^2+2x+e^x)\,dx=x^3+x^2+e^x+C\)。（检验：求导后恰好回到被积函数。）
【例2·真题】2004年·数一·填空(4分)·第(2)题：已知 \(f'(e^x)=x e^{-x}\)，且 \(f(1)=0\)，则 \(f(x)=\)____。
- 解：令 \(t=e^x\)，则 \(x=\ln t\)，于是 \(f'(t)=\dfrac{\ln t}{t}\)，即 \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)。积分得 \(\displaystyle f(x)=\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\int\ln x\,d(\ln x)=\frac12(\ln x)^2+C\)。由 \(f(1)=0\) 得 \(C=0\)，故 \(\boxed{f(x)=\dfrac12(\ln x)^2}\)。
易错坑点：不定积分结果必须加常数 \(C\)，丢 \(C\) 在填空/解答中直接扣分；含「跳跃间断点」的函数在包含该点的区间上可能没有原函数，不能想当然套公式。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\Big(\frac1x+\sec^2 x\Big)dx\)。（答案：\(\ln|x|+\tan x+C\)）

1.2 基本积分公式（必背，由求导公式反向记忆）

是什么/定义：由基本求导公式逐一「倒过来」得到的基本积分公式，是不定积分的“弹药库”。记忆方法：每一个积分公式对应一个求导公式，背不清时立刻用求导反推。
性质/公式（按函数类型分组）：
幂函数：\(\displaystyle\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\ne -1)\)；\(\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C\)（注意绝对值）。
指数函数：\(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C\)；\(\displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\)。
三角函数：
- \(\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C\)；\(\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C\)；
- \(\displaystyle\int\sec^2 x\,dx=\tan x+C\)；\(\displaystyle\int\csc^2 x\,dx=-\cot x+C\)；
- \(\displaystyle\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\)；\(\displaystyle\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C\)；
- \(\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C\)；\(\displaystyle\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C\)；
- \(\displaystyle\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C\)；\(\displaystyle\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C\)。
反三角函数（含根式）：
- \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C\)；\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\)；
- \(\displaystyle\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac{x}{a}+C\)；\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C\ (a>0)\)；
- \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\)；\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\)。
怎么考：①直接套公式求积分；②公式变形（如把 \(\dfrac1{x^2}\) 写成 \(x^{-2}\)、把 \(\dfrac1{\cos^2 x}\) 写成 \(\sec^2 x\)）；③与凑微分结合，作为其他方法的“出口”。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int x\sqrt{x}\,dx\)。
- 解：化为幂函数 \(x\sqrt{x}=x^{3/2}\)，故 \(\displaystyle\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\boxed{\frac25 x^{5/2}+C}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int\Big(2^x+\frac{1}{1+x^2}\Big)dx\)。
- 解：分组套公式得 \(\displaystyle\int 2^x\,dx+\int\frac{dx}{1+x^2}=\boxed{\frac{2^x}{\ln 2}+\arctan x+C}\)。
易错坑点：\(\displaystyle\int\frac1x\,dx\) 是 \(\ln|x|\)（带绝对值），不能漏；\(\displaystyle\int x^{-1}\,dx\) 不能用幂函数公式（\(a=-1\) 除外），必须单独用 \(\ln|x|\)。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\Big(3^x+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Big)dx\)。（答案：\(\dfrac{3^x}{\ln 3}+\arcsin x+C\)）

1.3 换元积分法

是什么/定义：通过变量替换把“不会积”的被积函数变成“会积”的形式，分两类：第一类换元（凑微分）、第二类换元（整体变量代换）。
性质/公式：
第一类（凑微分）：若 \(\displaystyle\int f(u)\,du=F(u)+C\)，则 \(\displaystyle\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx=\int f[\varphi(x)]\,d\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C\)。
第二类（变量代换）：令 \(x=\psi(t)\)，则 \(\displaystyle\int f(x)\,dx=\int f[\psi(t)]\psi'(t)\,dt\)，最后回代 \(t=\psi^{-1}(x)\)。
常见凑微分：\(dx=d(x+a)\)；\(x\,dx=\dfrac12 d(x^2)\)；\(e^x dx=d(e^x)\)；\(\dfrac1x dx=d(\ln x)\)；\(\cos x\,dx=d(\sin x)\)；\(\sec^2 x\,dx=d(\tan x)\)。
常见第二类代换：含 \(\sqrt{a^2-x^2}\) 令 \(x=a\sin t\)；含 \(\sqrt{a^2+x^2}\) 令 \(x=a\tan t\)；含 \(\sqrt{x^2-a^2}\) 令 \(x=a\sec t\)。
怎么考：①识别「谁的导数是谁」完成凑微分；②根式换元（三角代换、整体换根号）去根号；③定积分换元必须同步换上下限。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int x e^{x^2}\,dx\)。
- 解：凑微分 \(x\,dx=\dfrac12 d(x^2)\)，得 \(\displaystyle\int e^{x^2}\cdot x\,dx=\frac12\int e^{x^2}d(x^2)=\boxed{\frac12 e^{x^2}+C}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)。
- 解：含 \(\sqrt{1-x^2}\)，令 \(x=\sin t\)，则 \(dx=\cos t\,dt\)，\(\sqrt{1-x^2}=\cos t\)，于是原式 \(=\displaystyle\int\sin^2 t\,dt=\int\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=\frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4}+C\)。回代 \(t=\arcsin x\)、\(\sin 2t=2\sin t\cos t=2x\sqrt{1-x^2}\)，得 \(\boxed{\dfrac12\arcsin x-\dfrac12 x\sqrt{1-x^2}+C}\)。
易错坑点：第二类换元后必须回代成 \(x\) 的函数；定积分换元必须同步换限，否则上下限对不上导致答案错误。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x}\)。（答案：\(\ln|\ln x|+C\)）

1.4 分部积分法

是什么/定义：由乘积求导公式 \((uv)'=u'v+uv'\) 反推得到的积分法：\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\)。
性质/公式：\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\)。
选 \(u\) 原则（口诀“反对幂指三”，优先级从高到低选作 \(u\)）：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数。
怎么考：①\(\displaystyle\int x^n e^x dx\)、\(\displaystyle\int x^n\sin x\,dx\)（幂作 \(u\)）；②\(\displaystyle\int x^n\ln x\,dx\)、\(\displaystyle\int x^n\arctan x\,dx\)（对数/反三角作 \(u\)）；③循环型 \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\)（设 \(I\) 解方程）；④与换元混合的综合题。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)。
- 解：令 \(u=x,\ dv=\cos x\,dx\)，则 \(du=dx,\ v=\sin x\)，故 \(\displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=\boxed{x\sin x+\cos x+C}\)。
【例2·真题】2018年·数一·解答(10分)·第15题：求不定积分 \(\displaystyle\int e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}\,dx\)。
- 解：令 \(t=\sqrt{e^x-1}\)，则 \(e^x=1+t^2\)，且 \(e^x\,dx=2t\,dt\)，故 \(e^{2x}\,dx=e^x\cdot e^x\,dx=(1+t^2)\cdot 2t\,dt\)。于是
  \[ \int e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}\,dx=2\int(t+t^3)\arctan t\,dt. \]
  分部积分（取 \(u=\arctan t,\ dv=(t+t^3)\,dt\)，则 \(v=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^4}{4}\)）：
  \[ 2\int(t+t^3)\arctan t\,dt=2\Big(\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}\Big)\arctan t-2\int\frac{\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}}{1+t^2}\,dt. \]
  其中 \(\dfrac{\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}}{1+t^2}=\dfrac14\cdot\dfrac{2t^2+t^4}{1+t^2}=\dfrac14\Big(t^2+1-\dfrac1{1+t^2}\Big)\)，故
  \[ 2\int\frac{\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}}{1+t^2}\,dt=\frac12\int\Big(t^2+1-\frac1{1+t^2}\Big)dt=\frac{t^3}{6}+\frac t2-\frac12\arctan t. \]
  于是原积分 \(=\Big(t^2+\dfrac{t^4}{2}\Big)\arctan t-\dfrac{t^3}{6}-\dfrac t2+\dfrac12\arctan t+C=\dfrac{(1+t^2)^2}{2}\arctan t-\dfrac{t^3}{6}-\dfrac t2+C\)。回代 \(1+t^2=e^x\)、\(t=\sqrt{e^x-1}\)，得
  \[ \frac12 e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}-\frac{t^3+3t}{6}+C=\boxed{\frac12 e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}-\frac{(e^x+2)\sqrt{e^x-1}}{6}+C}. \]
易错坑点：\(u,dv\) 选反会“越积越复杂”（如 \(\int x e^x dx\) 若选 \(u=e^x\) 会变回原样）；循环积分（\(\int e^x\sin x\,dx\)）要设 \(I\) 后解方程，不能只算一半。
配套练习：求 \(\displaystyle\int x^2 e^x\,dx\)。（答案：\(e^x(x^2-2x+2)+C\)）

1.5 有理函数的积分

是什么/定义：被积函数是多项式之比 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)。基本思想是把它分解为部分分式之和再逐项积分。
性质/公式：
真分式（分子次数低于分母）才能直接分解；假分式先做多项式除法化为「多项式 + 真分式」。
分解形式：\(\dfrac1{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\)（待定系数法求 \(A,B\)）；
分母含二次不可约因式 \(x^2+px+q\) 时配成 \(\Big(x+\dfrac p2\Big)^2+\Big(\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}\Big)^2\)，再用 \(\arctan\) 或 \(\ln\)。
怎么考：①简单部分分式分解求积分；②分母二次因式配平方后换元；③假分式先除再积分。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)}\)。
- 解：设 \(\dfrac1{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\)，通分得 \(A(x+2)+B(x-1)=1\)。令 \(x=1\) 得 \(3A=1\Rightarrow A=\frac13\)；令 \(x=-2\) 得 \(-3B=1\Rightarrow B=-\frac13\)。故原式 \(=\dfrac13\ln|x-1|-\dfrac13\ln|x+2|+C=\boxed{\dfrac13\ln\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|+C}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^2+1)}\)。
- 解：设 \(\dfrac1{x(x^2+1)}=\dfrac Ax+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\)，通分得 \(A(x^2+1)+x(Bx+C)=1\)，比较系数得 \(A=1,\ B=-1,\ C=0\)。故原式 \(=\displaystyle\int\Big(\frac1x-\frac{x}{x^2+1}\Big)dx=\boxed{\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+C}\)。
易错坑点：分母有重根或二次不可约因式时，部分分式要写全对应项（如 \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}\)）；假分式漏做“先除法”会拆错。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx\)。（答案：\(\dfrac12\ln(x^2+2x+5)+C\)）

1.6 三角有理式的积分

是什么/定义：被积函数是 \(\sin x,\cos x\) 的有理式 \(R(\sin x,\cos x)\)。常用「万能代换」统一化为有理函数，或用「拆奇次幂凑微分」简化。
性质/公式：
万能代换：令 \(t=\tan\dfrac x2\)，则 \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\)，\(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)，\(dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}\)。
只含 \(\sin^2 x,\cos^2 x\) 的有理式可令 \(t=\tan x\)；
\(\sin\)（或 \(\cos\)）的奇次幂：拆一个 \(\sin x\)（或 \(\cos x\)）凑成 \(d(\cos x)\)（或 \(d(\sin x)\)）。
怎么考：①降幂后用基本公式；②奇次幂凑微分；③万能代换（一般最后才用，因计算量较大）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int\sin^3 x\,dx\)。
- 解：拆出 \(\sin x\) 凑微分：\(\displaystyle\int\sin^3 x\,dx=\int\sin x(1-\cos^2 x)\,dx=-\int(1-\cos^2 x)\,d(\cos x)=-\cos x+\frac13\cos^3 x+C\)，即 \(\boxed{\dfrac13\cos^3 x-\cos x+C}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x}\)。
- 解：分子分母同乘 \(1-\sin x\)：\(\displaystyle\int\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\,dx=\int\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\,dx=\int(\sec^2 x-\sin x\sec^2 x)\,dx=\tan x-\sec x+C\)（其中 \(\int\sin x\sec^2 x\,dx=-\int\dfrac{d(\cos x)}{\cos^2 x}=\sec x\)）。故原式 \(=\boxed{\tan x-\sec x+C}\)。
易错坑点：万能代换要记清 \(dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}\) 且结果要代回 \(x\)；奇次幂凑微分时注意 \(d(\cos x)=-\sin x\,dx\) 的负号。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\sin^2 x\,dx\)。（答案：\(\dfrac{x}{2}-\dfrac14\sin 2x+C\)）

1.7 简单无理函数的积分（含根式的积分）

是什么/定义：被积函数含根式（无理式）时的积分，核心是「去根号」：整体换根号、或配方后三角代换。
性质/公式：
含 \(\sqrt{ax+b}\)：直接令 \(t=\sqrt{ax+b}\)（整体换根号，最通用）；
含 \(\sqrt{a^2-x^2}\)：令 \(x=a\sin t\)；含 \(\sqrt{a^2+x^2}\)：令 \(x=a\tan t\)；含 \(\sqrt{x^2-a^2}\)：令 \(x=a\sec t\)；
含 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)：先配方化为 \(\sqrt{u^2\pm A^2}\) 或 \(\sqrt{A^2-u^2}\)，再三角代换；
形如 \(R\big(x,\sqrt{ax+b}\big)\) 的有理式，一律令 \(t=\sqrt{ax+b}\)。
怎么考：①\(\sqrt{ax+b}\) 整体换元；②\(\sqrt{a^2-x^2}\) 等三角代换；③配方后再代换（含 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) 的综合题）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx\)。
- 解：令 \(t=\sqrt{x+1}\)，则 \(x=t^2-1\)，\(dx=2t\,dt\)，原式 \(=\displaystyle\int(t^2-1)\cdot t\cdot 2t\,dt=2\int(t^4-t^2)\,dt=\frac25 t^5-\frac23 t^3+C\)。回代 \(t=\sqrt{x+1}\) 得 \(\boxed{\dfrac25(x+1)^{5/2}-\dfrac23(x+1)^{3/2}+C}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}\)。
- 解：令 \(t=\sqrt{x}\)，则 \(x=t^2\)，\(dx=2t\,dt\)，原式 \(=\displaystyle\int\frac{2t}{1+t}\,dt=2\int\Big(1-\frac1{1+t}\Big)dt=2t-2\ln(1+t)+C\)。回代得 \(\boxed{2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C}\)。
易错坑点：换根号后别忘了回代；\(\sqrt{a^2-x^2}\) 的三角代换中 \(x=a\sin t\) 要留意 \(t\) 的取值范围（通常取 \(t\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\) 以保证反代唯一）。
配套练习：求 \(\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx\)。（答案：\(\dfrac12\Big(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Big)+C\)）

二、定积分

2.1 定积分的定义

是什么/定义：\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\)，其中 \([a,b]\) 被分割，\(\lambda\) 为最大子区间长度，\(\xi_i\) 为子区间内任一点。
性质/公式：
几何意义：\(f(x)\ge 0\) 时表示曲边梯形的面积；\(f\) 有正有负时为「代数和」。
可积性：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续 ⇒ 可积；有界且只有有限个间断点也通常可积；可积 ⇒ 必有界（有界是可积的必要条件）。
定积分是数，与积分变量记号无关：\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt\)。
怎么考：①用定义把「\(n\) 项和极限」写成定积分并计算；②用几何意义直接读积分值（半圆、四分之一圆、三角形）；③判断可积性。
典型例题：
【例1·基础】用几何意义求 \(\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx\)。
- 解：\(y=\sqrt{4-x^2}\)（\(0\le x\le 2\)）是半径 \(2\) 的圆在第一象限的部分，面积为 \(\dfrac14\cdot\pi\cdot 2^2=\boxed{\pi}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac kn\Big)^2\)。
- 解：由定积分定义，\(\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac kn\Big)^2\to\int_0^1 x^2\,dx=\frac13 x^3\Big|_0^1=\boxed{\frac13}\)。
易错坑点：定积分是「和的极限」，被积函数里的 \(\xi_i\) 是子区间内任一点（不影响极限）；写 \(n\) 项和时区间必须是 \([0,1]\) 才能配成 \(\dfrac1n\sum f(\frac kn)\) 的标准形，其他区间要换元。
配套练习：用几何意义求 \(\displaystyle\int_0^1 2x\,dx\)。（答案：\(1\)）

2.2 定积分的性质

是什么/定义：定积分作为「和式极限」满足线性、区间可加、保号、估值等性质，并有积分中值定理。
性质/公式：
\(\displaystyle\int_a^a f\,dx=0\)；\(\displaystyle\int_a^b f\,dx=-\int_b^a f\,dx\)；
线性：\(\displaystyle\int_a^b (k_1f+k_2g)\,dx=k_1\int_a^b f\,dx+k_2\int_a^b g\,dx\)；
区间可加：\(\displaystyle\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx\)；
保号性：\(f\ge 0\Rightarrow\int_a^b f\,dx\ge 0\)；\(f\ge g\Rightarrow\int f\ge\int g\)；
绝对值：\(\displaystyle\Big|\int_a^b f\,dx\Big|\le\int_a^b |f|\,dx\)；
积分中值定理：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续，则存在 \(\xi\in[a,b]\) 使 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)\)；
估值：\(m(b-a)\le\displaystyle\int_a^b f\,dx\le M(b-a)\)（\(m,M\) 为 \(f\) 在 \([a,b]\) 的最小、最大值）。
怎么考：①比较两个定积分大小；②用估值性质估计积分范围；③用积分中值定理取极限、证等式。
典型例题：
【例1·基础】比较 \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) 与 \(\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx\) 的大小。
- 解：在 \([0,1]\) 上 \(x^2\ge x^3\)（等号仅在端点），由保号性得 \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx>\int_0^1 x^3\,dx\)。
【例2·真题风格·自编题】估计 \(\displaystyle\int_0^1 e^{x^2}\,dx\) 的范围。
- 解：\(e^{x^2}\) 在 \([0,1]\) 上递增，最小值 \(e^0=1\)，最大值 \(e^1=e\)，由估值性质得 \(\boxed{1\le\int_0^1 e^{x^2}\,dx\le e}\)。
易错坑点：保号性要求被积函数非负（或大小关系）在整个区间成立；估值性质里的 \(m,M\) 是闭区间上的最值，不能用端点值硬套（除非单调）。
配套练习：求 \(\displaystyle\int_{-1}^1 x^3\,dx\)。（答案：\(0\)，奇函数在对称区间积分为 0）

2.3 微积分基本定理（牛顿–莱布尼茨公式）

是什么/定义：变上限积分函数 \(\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) 的导数是 \(f(x)\)，从而把「求定积分」转化为「找原函数」。
性质/公式：
\(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\)；
\(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{\varphi(x)} f(t)\,dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)\)；
\(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)\,dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\psi(x)]\psi'(x)\)；
牛顿–莱布尼茨公式：若 \(F\) 是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的一个原函数，则 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)\Big|_a^b\)。
怎么考：①变上限积分求导（上下限是 \(x\) 的函数）；②与洛必达结合求极限；③被积函数含 \(x\) 时先提出积分号外再求导；④用 N–L 公式计算定积分。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\sin t\,dt\)。
- 解：上限是 \(x^2\)，故导数 \(=\sin(x^2)\cdot(x^2)'=\boxed{2x\sin(x^2)}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\,dt\)。
- 解：\(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2}e^{t^2}\,dt=e^{(x^2)^2}\cdot 2x-e^{x^2}\cdot 1=\boxed{2x\,e^{x^4}-e^{x^2}}\)。
易错坑点：上下限都是函数时两项都不能漏（上限项减下限项）；被积函数含 \(x\) 与积分变量 \(t\) 混在一起时，要先把与 \(t\) 无关的 \(x\) 提到积分号外再求导。
配套练习：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac1x\int_0^x \sin t\,dt\)。（答案：\(0\)）

2.4 定积分的换元与分部

是什么/定义：把不定积分的换元、分部积分法搬到定积分上，但要同步换限（换元）或代上下限（分部）。
性质/公式：
换元法：令 \(x=\varphi(t)\)，则 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt\)，其中 \(a=\varphi(\alpha),\ b=\varphi(\beta)\)。必须同步换限，换元后不必回代。
分部积分：\(\displaystyle\int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du\)。
对称区间：\(f\) 偶 ⇒ \(\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx=2\int_0^a f\,dx\)；\(f\) 奇 ⇒ \(\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx=0\)。
周期函数：\(f\) 以 \(T\) 为周期 ⇒ \(\displaystyle\int_a^{a+T} f\,dx=\int_0^T f\,dx\)。
华里士（Wallis）公式（\(0\) 到 \(\frac\pi2\) 的 \(\sin/\cos\) 幂积分，必背）：
- \(n\) 为偶数：\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2\)；
- \(n\) 为奇数：\(\displaystyle=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23\cdot 1\)。
怎么考：①换元去根号（同步换限）；②分部积分计算定积分；③用奇偶性/华里士公式快速求值。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx\)。
- 解：分部积分 \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx=x e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\)。
【例2·真题】2000年·数一·填空(3分)·第(一)(1)题：求 \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{2x-x^2}\,dx\)。
- 解：\(\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}\)，令 \(x-1=\sin t\)，则 \(x:0\to 1\) 对应 \(t:-\frac\pi2\to 0\)，\(dx=\cos t\,dt\)，于是
  \[ \int_0^1\sqrt{1-(x-1)^2}\,dx=\int_{-\pi/2}^{0}\cos^2 t\,dt=\Big[\frac t2+\frac{\sin 2t}{4}\Big]_{-\pi/2}^{0}=0-\Big(-\frac\pi4\Big)=\boxed{\frac\pi4}. \]
  （几何上看它是圆心 \((1,0)\)、半径 \(1\) 的上半圆右半部，面积 \(\frac\pi4\)。）
易错坑点：换元后上下限必须同步更换，且下限可能大于上限（正常现象，别慌）；对称区间的奇偶性结论要求区间是 \([-a,a]\) 且被积函数恰为奇/偶函数。
配套练习：求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx\)。（答案：\(\dfrac{3\pi}{16}\)）

三、反常积分（广义积分）

3.1 无穷区间上的反常积分

是什么/定义：积分区间无穷大时用极限定义：\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx\)；\(\displaystyle\int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx\)。极限存在（有限）称收敛，否则发散。
性质/公式：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f\,dx=\int_{-\infty}^c f\,dx+\int_c^{+\infty}f\,dx\)，两部分都收敛才收敛。
怎么考：①先算 \(\int_a^b\) 再取 \(b\to\infty\) 求值；②判断是否收敛（常与 \(p\) 积分、比较判别结合）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}\)。
- 解：\(\displaystyle\int_1^b x^{-2}dx=-\frac1x\Big|_1^b=1-\frac1b\to 1\)，故原式 \(=\boxed{1}\)（收敛）。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx\)。
- 解：\(\displaystyle\int_0^b e^{-2x}dx=-\frac12 e^{-2x}\Big|_0^b=\frac12(1-e^{-2b})\to\frac12\)，故原式 \(=\boxed{\dfrac12}\)。
易错坑点：\(\int_{-\infty}^{+\infty}\) 必须拆成两段分别判断，不能「对称抵消」；计算时先写有限上限 \(b\)、算出结果再取极限，直接写「\(\infty\) 代入」会出错。
配套练习：求 \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x^2}\)。（答案：\(\dfrac12\)）

3.2 无界函数的反常积分（瑕积分）

是什么/定义：\(f\) 在某点（瑕点）附近无界时用极限定义：若 \(b\) 是瑕点，\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\,dx\)。
性质/公式：瑕点可在端点，也可在区间内部；内部有瑕点时必须拆成两段分别判断，都收敛才收敛。
怎么考：①识别瑕点（分母为零、\(\ln\) 的真数为 0、根式分母为 0 等）；②拆段判断收敛；③求瑕积分的值。
典型例题：
【例1·基础】求 \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}\)。
- 解：\(x=0\) 是瑕点，\(\displaystyle\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}dx=2\sqrt{x}\Big|_\varepsilon^1=2-2\sqrt{\varepsilon}\to 2\)，故原式 \(=\boxed{2}\)（收敛）。
【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx\)。
- 解：\(x=0\) 是瑕点。分部积分 \(\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-x\)，且 \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0\)，故 \(\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_0^1=(0-1)-(0-0)=\boxed{-1}\)。
易错坑点：内部瑕点（如 \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}\)，\(x=0\) 是瑕点）必须拆成 \(\int_{-1}^0+\int_0^1\) 分别判断，两段都收敛才收敛——本题两段均发散，故整个积分发散，不能直接套 N–L 公式。
配套练习：判断 \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x}\) 的敛散性。（答案：发散）

3.3 重要的反常积分结论（\(p\) 积分，必背）

是什么/定义：以 \(\dfrac1{x^p}\) 为标准的两个“标尺”积分，其敛散性结论是判断其他反常积分的基准。
性质/公式：
\(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\)：\(p>1\) 收敛，\(p\le 1\) 发散；
\(\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{x^p}\)：\(p<1\) 收敛，\(p\ge 1\) 发散；
\(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-px}dx=\frac1p\ (p>0)\)；
\(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2}\)（高斯积分，数一常用结论）。
怎么考：①直接判断 \(p\) 积分敛散；②把其他反常积分与被积函数在瑕点/无穷远处的“阶”对应到 \(p\) 积分。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}\) 的敛散性。
- 解：\(p=\frac32>1\)，故收敛。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^{1/2}}\) 的敛散性。
- 解：\(p=\frac12<1\)，故收敛。
易错坑点：两个 \(p\) 积分的结论方向相反（无穷区间看“大 \(p\) 收敛”，瑕积分看“小 \(p\) 收敛”），千万别记混；瑕积分里 \(p\ge1\) 才发散，\(p=1\) 时 \(\int_0^1\frac{dx}{x}\) 发散。
配套练习：判断 \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\) 的敛散性。（答案：发散）

3.4 反常积分的审敛法

是什么/定义：不能直接求出原函数时，用比较、极限比较、绝对收敛等方法判断反常积分是否收敛。
性质/公式：
比较判别法：\(0\le f\le g\)，若 \(\int g\) 收敛则 \(\int f\) 收敛；若 \(\int f\) 发散则 \(\int g\) 发散；
极限形式：\(f,g\ge 0\)，\(\lim\dfrac fg=L\)（\(0<L<+\infty\)），则 \(\int f\) 与 \(\int g\) 同敛散；
绝对收敛：\(\int|f|\) 收敛 ⇒ \(\int f\) 收敛（绝对收敛必收敛）。
怎么考：①与 \(p\) 积分比较判断敛散；②判断「条件收敛/绝对收敛」；③选择题（收敛与参数关系）。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\) 的敛散性。
- 解：\(0<\dfrac1{1+x^2}<\dfrac1{x^2}\)，而 \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\) 收敛，由比较判别法知原积分收敛（其实直接算得 \(\frac\pi4\)）。
【例2·真题】2016年·数一·选择(4分)·第1题：若反常积分 \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^a(1+x)^b}\) 收敛，则（　）。
- (A) \(a<1\) 且 \(b>1\)；(B) \(a>1\) 且 \(b>1\)；(C) \(a<1\) 且 \(a+b>1\)；(D) \(a>1\) 且 \(a+b>1\)。
- 解：分两段看。\(x\to 0^+\) 时被积函数 \(\sim\dfrac1{x^a}\)，收敛要求 \(a<1\)；\(x\to+\infty\) 时被积函数 \(\sim\dfrac1{x^{a+b}}\)，收敛要求 \(a+b>1\)。两处都收敛才收敛，故选 \(\boxed{\text{(C)}\ a<1\ 且\ a+b>1}\)。
【例3·真题】2010年·数一·选择(4分)·第3题：设 \(m,n\) 是正整数，则反常积分 \(\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\,dx\) 的收敛性（　）。
- (A) 仅与 \(m\) 有关；(B) 仅与 \(n\) 有关；(C) 与 \(m,n\) 都有关；(D) 与 \(m,n\) 都无关。
- 解：\(x\to 0^+\) 时 \(\ln(1-x)\sim -x\)，故分子 \(\sim x^{2/m}\)，被积函数 \(\sim x^{2/m-1/n}\)，收敛要求 \(\dfrac2m-\dfrac1n>-1\)，即 \(\dfrac1n<1+\dfrac2m\)，因 \(\dfrac1n\le 1<1+\dfrac2m\) 恒成立，故该端恒收敛；\(x\to 1^-\) 时被积函数 \(\sim|\ln(1-x)|^{2/m}\)，而 \(\displaystyle\int_0^1(-\ln t)^p dt\) 对 \(p=\frac2m>0\) 恒收敛。两端都与 \(m,n\) 无关地收敛，故选 \(\boxed{\text{(D)}}\)。
易错坑点：比较判别法要求被比较的函数非负；判断 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\) 或内部瑕点时要分段分别在每处套审敛法；「绝对收敛必收敛」反过来不成立（条件收敛存在）。
配套练习：判断 \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}\,dx\) 的敛散性。（答案：收敛，因 \(\Big|\frac{\sin x}{x^2}\Big|\le\frac1{x^2}\) 且 \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\) 收敛，故绝对收敛）

四、定积分的应用

4.1 几何应用——平面图形的面积

是什么/定义：用定积分累加「面积微元」求平面图形面积。
性质/公式：
直角坐标（曲边梯形）：\(A=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx\)；
两曲线间：\(A=\displaystyle\int_a^b\big[f(x)-g(x)\big]\,dx\)（上曲线减下曲线）；
极坐标（扇形）：\(A=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\rho^2(\theta)\,d\theta\)。
怎么考：①求两曲线围成面积（先求交点定上下限）；②极坐标面积；③结合切线、参数方程。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x^2\) 与 \(y=x\) 围成的面积。
- 解：交点由 \(x^2=x\) 得 \(x=0,1\)；在 \([0,1]\) 上 \(x\ge x^2\)，故 \(A=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=\frac12-\frac13=\boxed{\frac16}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(y=\sqrt{x}\) 与 \(y=x^2\) 围成的面积。
- 解：交点由 \(\sqrt{x}=x^2\) 得 \(x=0,1\)；在 \([0,1]\) 上 \(\sqrt{x}\ge x^2\)，故 \(A=\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx=\Big[\frac23 x^{3/2}-\frac13 x^3\Big]_0^1=\frac23-\frac13=\boxed{\frac13}\)。
易错坑点：两曲线间面积是「上减下」的带符号差，若两曲线在区间内有交叉，必须分段（或统一写成 \(\int|f-g|\,dx\)）；极坐标面积别忘了系数 \(\frac12\)。
配套练习：求 \(y=\dfrac1x\)、\(x\) 轴及 \(x=1,\ x=e\) 围成的面积。（答案：\(1\)）

4.2 几何应用——体积

是什么/定义：旋转体体积（圆盘法、壳法）与已知截面面积求体积。
性质/公式：
绕 \(x\) 轴（圆盘法）：\(V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx\)；
绕 \(y\) 轴（壳法/柱壳法）：\(V=2\pi\displaystyle\int_a^b x f(x)\,dx\)（区域在 \(x\) 轴上方、\(a\ge 0\)）；
已知平行截面面积：\(V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx\)。
怎么考：①绕 \(x\) 轴、绕 \(y\) 轴旋转体积；②选对「切片方向」与「壳法/圆盘法」；③已知截面面积函数求体积。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(x\) 轴旋转所得体积。
- 解：\(V=\pi\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\pi\cdot\frac13=\boxed{\frac\pi3}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(y=\sqrt{x}\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(x\) 轴旋转所得体积。
- 解：\(V=\pi\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^1 x\,dx=\pi\cdot\frac12=\boxed{\frac\pi2}\)。
易错坑点：绕 \(y\) 轴时，若用「圆盘法」要对 \(y\) 积分、若用「壳法」对 \(x\) 积分，别混用积分变量；被积函数为负或区域不在坐标轴同侧时要先取正/分段。
配套练习：求 \(y=x^2\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(x\) 轴旋转所得体积。（答案：\(\dfrac\pi5\)）

4.3 几何应用——弧长

是什么/定义：用「弧微元」\(ds\) 累加求曲线弧长。
性质/公式：
直角坐标：\(s=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx\)；
参数方程 \(x=\varphi(t),\ y=\psi(t)\)：\(s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\,dt\)；
极坐标 \(\rho=\rho(\theta)\)：\(s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,d\theta\)。
怎么考：①直角坐标弧长（先求 \(y'\)，配成 \(\sqrt{1+y'^2}\) 积分）；②参数方程、极坐标弧长；③与面积、体积综合。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x\)（\(0\le x\le 1\)）的弧长。
- 解：\(y'=1\)，\(s=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+1}\,dx=\boxed{\sqrt2}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(y=\dfrac23 x^{3/2}\)（\(0\le x\le 1\)）的弧长。
- 解：\(y'=\sqrt{x}\)，\(s=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx=\frac23(1+x)^{3/2}\Big|_0^1=\frac23(2\sqrt2-1)\)，故 \(s=\boxed{\dfrac23(2\sqrt2-1)}\)。
易错坑点：弧长公式里的被积函数是 \(\sqrt{1+y'^2}\)，不是 \(\sqrt{1+y^2}\)，两者别混；参数方程要用 \(\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\)，极坐标是 \(\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\)。
配套练习：求 \(y=\ln\cos x\)（\(0\le x\le\dfrac\pi4\)）的弧长。（答案：\(\ln(\sqrt2+1)\)）

4.4 几何应用——旋转体的侧面积

是什么/定义：曲线弧绕坐标轴旋转所得曲面的面积，用「侧面积微元」\(dS=2\pi\cdot(\text{半径})\cdot ds\) 累加。
性质/公式：
绕 \(x\) 轴：\(S=2\pi\displaystyle\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx\)；
绕 \(y\) 轴：\(S=2\pi\displaystyle\int_a^b x\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx\)（相应形式）。
怎么考：①直接套公式求旋转曲面面积；②用参数方程/极坐标形式求侧面积。
典型例题：
【例1·基础】求 \(y=x\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(x\) 轴旋转所得侧面积。
- 解：\(y'=1\)，\(S=2\pi\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{2}\,dx=2\pi\sqrt2\cdot\frac12=\boxed{\sqrt2\,\pi}\)。
【例2·真题风格·自编题】求上半圆 \(y=\sqrt{R^2-x^2}\)（\(-R\le x\le R\)）绕 \(x\) 轴旋转所得球面的面积。
- 解：\(y'=-\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\)，\(\sqrt{1+y'^2}=\dfrac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\)，故 \(S=2\pi\displaystyle\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx=2\pi\int_{-R}^R R\,dx=2\pi\cdot 2R^2=\boxed{4\pi R^2}\)。
易错坑点：侧面积微元的“半径”是到旋转轴的距离，绕 \(x\) 轴用 \(f(x)\)、绕 \(y\) 轴用 \(x\)；\(\sqrt{1+y'^2}\) 要正确算出（\(y\) 为隐函数或参数方程时尤须小心）。
配套练习：求 \(y=\sqrt{x}\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(x\) 轴旋转所得侧面积。（答案：\(\dfrac{\pi(5\sqrt5-1)}{6}\)）

4.5 物理应用——功、压力、引力、质心（数一常考）

是什么/定义：用微元法把连续分布的物理量写成定积分：取典型微元 → 求该微元的量 → 积分累加。
性质/公式：
变力做功：\(W=\displaystyle\int_a^b F(x)\,dx\)；
液体压力：\(P=\displaystyle\int_a^b \rho g\,h(x)\,dA\)（\(\rho\) 为液体密度，\(h(x)\) 为深度，\(dA\) 为面积微元）；
引力：用微元法建立积分（沿某方向分量累加）；
平均值：\(f\) 在 \([a,b]\) 的平均值 \(=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)；
质心/形心（密度均匀时称形心）——平面薄片（区域 \(a\le x\le b,\ g(x)\le y\le f(x)\)，面积 \(A\)）：
- \(\bar x=\dfrac1A\displaystyle\int_a^b x\big[f(x)-g(x)\big]\,dx\)；
- \(\bar y=\dfrac1{2A}\displaystyle\int_a^b\big[f^2(x)-g^2(x)\big]\,dx\)；
曲线弧的形心（弧 \(y=f(x),\ a\le x\le b\)，弧长 \(s\)）：\(\bar x=\dfrac1s\displaystyle\int_a^b x\sqrt{1+f'^2}\,dx\)，\(\bar y=\dfrac1s\displaystyle\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2}\,dx\)。
怎么考：①变力做功（弹簧、提水、抽水）；②液体压力；③求均匀平面图形/曲线弧的形心（质心）坐标——考纲明确要求；④综合微元法列式。
典型例题：
【例1·基础】弹簧弹力 \(F=kx\)，求将弹簧从 \(x=0\) 拉伸到 \(x=L\) 所做的功。
- 解：\(W=\displaystyle\int_0^L kx\,dx=\frac k2 x^2\Big|_0^L=\boxed{\frac{kL^2}{2}}\)。
【例2·真题风格·自编题】求由 \(y=x^2\) 与 \(y=1\) 围成的均匀平面薄片（密度为常数）的形心坐标。
- 解：区域为 \(-1\le x\le 1,\ x^2\le y\le 1\)。由对称性 \(\bar x=0\)。面积 \(A=\displaystyle\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac43\)；对 \(x\) 轴的一阶矩 \(M_x=\dfrac12\displaystyle\int_{-1}^1(1^2-x^4)\,dx=\dfrac12\Big[x-\frac{x^5}{5}\Big]_{-1}^1=\frac45\)。故 \(\bar y=\dfrac{M_x}{A}=\dfrac{4/5}{4/3}=\dfrac35\)。形心为 \(\boxed{\Big(0,\dfrac35\Big)}\)。
易错坑点：质心公式分子是「一阶矩」、分母是「面积（或弧长/质量）」，别忘除以总面积；液体压力中的深度要从液面量起，不是从容器底部量；密度不均匀时 \(\bar x=\dfrac{\int x\rho\,dA}{\int\rho\,dA}\)，只有均匀时 \(\rho\) 才约掉。
配套练习：求半径为 \(R\) 的上半圆弧（均匀线密度）的形心坐标。（答案：\(\Big(0,\dfrac{2R}{\pi}\Big)\)）

配套练习（本章综合）

求 \(\displaystyle\int x e^x\,dx\)。（答案：\((x-1)e^x+C\)）
求 \(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx\)。（答案：\(2\)）
求 \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)。（答案：\(x\sin x+\cos x+C\)）
求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\)。（答案：\(2\ln(1+\sqrt{x})+C\)）
求 \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx\)。（答案：\(\dfrac\pi4\)）
求 \(\displaystyle\int_0^{+\infty}x e^{-x}\,dx\)。（答案：\(1\)）

学完本章的检验标准

能背出全部基本积分公式（按幂/指数/三角/反三角分组），熟练用凑微分、换元、分部积分、有理函数分解、三角有理式、简单无理函数换元求不定积分。
能熟练计算定积分（换元同步换限、分部积分、对称区间奇偶性、华里士公式）。
会求变上限积分函数的导数（含上下限为函数的情况），能用牛顿–莱布尼茨公式计算定积分。
能判断反常积分收敛或发散（\(p\) 积分、比较判别法、极限形式、绝对收敛），会求收敛反常积分的值。
能用定积分求面积、旋转体体积、弧长、侧面积等几何量。
能用微元法求解变力做功、液体压力、引力，并能求均匀平面图形/曲线弧的质心（形心）坐标。

全部达到后，进入第4章「向量代数与空间解析几何」（向量运算、平面与直线方程、二次曲面）。