本章把「数」与「形」连接起来：用向量刻画空间中的方向与位置，用方程刻画平面、直线、曲面、曲线。它是第6章「多元函数积分学」（三重积分、曲线/曲面积分）的必要前置。
前置知识：第 1–3 章的代数运算与坐标思想，不依赖微积分。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、向量及其运算

1.1 向量的概念与坐标表示

  • 是什么/定义：
  • 向量：既有大小又有方向的量，记 \(\vec a\) 或 \(\vec{AB}\)（起点 A，终点 B）。
  • 模：向量的大小 \(|\vec a|\)。
  • 坐标表示：\(\vec a = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec i + a_y\vec j + a_z\vec k\)，其中 \(\vec i, \vec j, \vec k\) 是沿三坐标轴正向的单位向量。
  • 单位向量：模为 1 的向量；与 \(\vec a\) 同向的单位向量是 \(\dfrac{\vec a}{|\vec a|}\)。
  • 性质/公式：
  • 模的坐标式：\(|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)。
  • 方向余弦：\(\cos\alpha = \dfrac{a_x}{|\vec a|}\)、\(\cos\beta = \dfrac{a_y}{|\vec a|}\)、\(\cos\gamma = \dfrac{a_z}{|\vec a|}\)，满足 \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)。
  • 方向数：与方向余弦成比例的一组数，即任意取非零比例 \(\vec a = \lambda(m, n, p)\) 中的 \((m,n,p)\) 就是一组方向数。方向向量 \((a_x,a_y,a_z)\) 的三个分量本身就是一组方向数。
  • 方向数与方向余弦的关系：方向余弦 = 方向数 ÷（方向数的模），即
    \[ \cos\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}},\quad \cos\beta=\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}},\quad \cos\gamma=\frac{p}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}. \]
  • 要点：方向数不唯一（可相差一个非零倍数），方向余弦唯一（对应单位向量）；方向余弦的三分量就是单位向量的三个分量。
  • 怎么考：①给向量求模、方向余弦、方向角；②由方向余弦反求方向数或向量坐标；③已知两个方向角求第三个（用平方和=1）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求向量 \(\vec a=(1,2,2)\) 的模与方向余弦。
    • 解：模 \(|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\)；方向余弦 \(\cos\alpha=\dfrac13,\ \cos\beta=\dfrac23,\ \cos\gamma=\dfrac23\)。方向数可取 \((1,2,2)\)，方向余弦就是把方向数除以它的模 3。
  • 【例2·真题风格·自编题】已知向量 \(\vec a\) 与 x 轴、y 轴正向的夹角均为 \(\dfrac{\pi}{3}\)，求 \(\vec a\) 与 z 轴正向的夹角 \(\gamma\)。
    • 解：\(\cos\alpha=\cos\beta=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\)。由 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\) 得 \(\dfrac14+\dfrac14+\cos^2\gamma=1\)，故 \(\cos^2\gamma=\dfrac12\)，\(\cos\gamma=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\)。所以 \(\gamma=\dfrac{\pi}{4}\) 或 \(\dfrac{3\pi}{4}\)（与 z 轴正向夹角应取 \(0\le\gamma\le\pi\)，两者都可能）。
  • 易错坑点：方向余弦必须用「分量 ÷ 模」，先求模再除；\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\) 是恒等式，常用来由两个方向角推第三个；方向数乘以非零常数仍是一组方向数，但方向余弦是唯一的。
  • 配套练习：求向量 \(\vec a=(2,-1,2)\) 的方向余弦。（答案：\(\cos\alpha=\dfrac23,\ \cos\beta=-\dfrac13,\ \cos\gamma=\dfrac23\)）

1.2 向量的线性运算

  • 是什么/定义：
  • 加法：对应分量相加；几何上满足三角形/平行四边形法则。
  • 数乘：\(k\vec a\) 各分量乘 k，\(k>0\) 方向不变、\(k<0\) 方向相反、\(k=0\) 得零向量。
  • 性质/公式：
  • 平行条件：\(\vec a \parallel \vec b \iff \vec a = \lambda \vec b \iff\) 对应分量成比例（比例系数可正可负）。
  • 共线判定：三点 \(A,B,C\) 共线 ⇔ \(\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{AC}\)（对应分量成比例）。
  • 怎么考：①向量的加减、数乘坐标运算；②判断两向量平行/三点共线；③求单位向量、分点坐标。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(\vec a=(1,2,0),\ \vec b=(-1,1,1)\)，求 \(2\vec a-\vec b\) 及其模。
    • 解：\(2\vec a-\vec b=(2,4,0)-(-1,1,1)=(3,3,-1)\)；模 \(|2\vec a-\vec b|=\sqrt{3^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{19}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】判断三点 \(A(1,2,3),\ B(2,4,6),\ C(3,6,9)\) 是否共线。
    • 解：\(\overrightarrow{AB}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(2,4,6)=2\overrightarrow{AB}\)，两向量平行且共起点 A，故 \(A,B,C\) 共线。
  • 易错坑点：平行条件里「对应分量成比例」要求三对分量的比值完全一致；比例系数为负表示反向平行，仍是平行。
  • 配套练习：求与 \(\vec a=(1,1,1)\) 同向的单位向量。（答案：\(\left(\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\)）

1.3 数量积（点积）

  • 是什么/定义：\(\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta\)（θ 为两向量夹角，\(0\le\theta\le\pi\)）。
  • 性质/公式：
  • 坐标式：\(\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)。
  • 垂直条件：\(\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0\)。
  • 夹角公式：\(\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}\)。
  • 运算律：交换律、分配律；\(|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a\)。
  • 怎么考：①求点积、夹角；②判断两向量垂直（最常用）；③用「点积为 0」反解参数；④投影（\(\vec a\) 在 \(\vec b\) 方向上的投影为 \(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(|\vec a|=2,\ |\vec b|=3\)，夹角 \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)，求 \(\vec a\cdot\vec b\) 与 \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)\)。
    • 解：\(\vec a\cdot\vec b=2\cdot 3\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}=3\)；\((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=4-9=-5\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】已知 \(\vec a=(1,1,0),\ \vec b=(0,1,1)\)，求两向量的夹角。
    • 解：\(\vec a\cdot\vec b=1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1=1\)，\(|\vec a|=|\vec b|=\sqrt2\)，故 \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12\)，夹角 \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)（\(60^\circ\)）。
  • 易错坑点：点积结果是数（标量），不是向量；「垂直 ⇔ 点积为 0」是最常用判定，务必刻进肌肉记忆；夹角公式里 \(\theta\in[0,\pi]\)，余弦可能为负。
  • 配套练习：求 \(\vec a=(2,1,-2)\) 与 \(\vec b=(1,0,1)\) 的夹角余弦。（答案：\(\vec a\cdot\vec b=0\)，即 \(\cos\theta=0\)，两向量垂直）

1.4 向量积（叉积）

  • 是什么/定义：\(\vec a \times \vec b\) 是一个向量，方向垂直于 \(\vec a\)、\(\vec b\) 所在平面（右手法则），模 \(|\vec a \times \vec b| = |\vec a||\vec b|\sin\theta\)。
  • 性质/公式：
  • 几何意义：\(|\vec a \times \vec b|\) 等于以 \(\vec a, \vec b\) 为邻边的平行四边形面积（三角形面积为其一半）。
  • 坐标式（行列式展开）：
    \[ \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \]
  • 平行条件：\(\vec a \parallel \vec b \iff \vec a \times \vec b = \vec 0\)。
  • 怎么考：①求叉积坐标；②求平行四边形/三角形面积；③求与两已知向量都垂直的向量（常用于求平面法向量、直线方向向量）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(\vec a=(1,2,3),\ \vec b=(2,-1,1)\)，求 \(\vec a\times\vec b\) 及以二者为邻边的平行四边形面积。
    • 解：按第一行展开
      \[\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&2&3\\2&-1&1\end{vmatrix}=(2\cdot1-3\cdot(-1))\,\vec i-(1\cdot1-3\cdot2)\,\vec j+(1\cdot(-1)-2\cdot2)\,\vec k=5\vec i+5\vec j-5\vec k=(5,5,-5).\]
      面积 \(=|\vec a\times\vec b|=\sqrt{5^2+5^2+(-5)^2}=5\sqrt3\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求同时垂直于 \(\vec a=(1,0,0)\) 与 \(\vec b=(0,1,0)\) 的单位向量。
    • 解：\(\vec a\times\vec b=(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)\)，单位化得 \(\pm(0,0,1)\)，即 z 轴正、负两个方向。
  • 易错坑点：向量积是向量，且反交换律 \(\vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)\)（换顺序要变号）；\(\vec a\times\vec a=\vec 0\)；模等于面积，别和点积混淆。
  • 配套练习：求 \(\vec a=(1,1,1)\) 与 \(\vec b=(1,-1,1)\) 的叉积。（答案：\(\vec a\times\vec b=(2,0,-2)\)）

1.5 混合积

  • 是什么/定义：\([\vec a\ \vec b\ \vec c] = (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c\)，结果是数。
  • 性质/公式：
  • 坐标式（三阶行列式）：
    \[ [\vec a\ \vec b\ \vec c] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \]
  • 几何意义：\(|[\vec a\ \vec b\ \vec c]|\) 等于以三向量为棱的平行六面体体积（四面体体积为其 \(\dfrac16\)）。
  • 共面条件：三向量共面 \(\iff [\vec a\ \vec b\ \vec c] = 0\)。
  • 怎么考：①求混合积/平行六面体（四面体）体积；②判断三向量（或四点）是否共面；③轮换性 \([\vec a\ \vec b\ \vec c]=[\vec b\ \vec c\ \vec a]=[\vec c\ \vec a\ \vec b]\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求以 \(\vec a=(1,0,0),\ \vec b=(0,1,0),\ \vec c=(0,0,1)\) 为棱的平行六面体体积。
    • 解：混合积 \([\vec a\ \vec b\ \vec c]=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\)，故体积 \(=|1|=1\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】判断三向量 \(\vec a=(1,2,3),\ \vec b=(2,3,4),\ \vec c=(1,1,1)\) 是否共面。
    • 解：
      \[[\vec a\ \vec b\ \vec c]=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\1&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(3-4)-2\cdot(2-4)+3\cdot(2-3)=-1+4-3=0,\]
      故三向量共面。
  • 易错坑点：混合积为 0 ⇔ 三向量共面（或其中含零向量/有平行向量）；混合积带绝对值为体积，不带绝对值可能出现负值（取决于三向量构成左手系还是右手系）。
  • 配套练习：求以 \(\vec a=(1,0,0),\ \vec b=(0,2,0),\ \vec c=(0,0,3)\) 为棱的平行六面体体积。（答案：\(6\)）

二、平面方程

2.1 点法式、一般式与截距式

  • 是什么/定义：
  • 法向量：垂直于平面的非零向量 \(\vec n = (A, B, C)\)。
  • 点法式：过点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\)、法向量 \((A, B, C)\) 的平面：
    \[ A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \]
  • 一般式：\(Ax + By + Cz + D = 0\)（\((A,B,C)\) 即法向量）。
  • 截距式：平面在 x、y、z 轴上的截距分别为 \(a,b,c\)（均不为 0）时：
    \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]
  • 性质/公式：
  • 一般式 \(Ax+By+Cz+D=0\) 中，当 \(D\ne 0\) 时，两边同除以 \(-D\) 即化为截距式（截距 \(a=-\dfrac{D}{A},\ b=-\dfrac{D}{B},\ c=-\dfrac{D}{C}\)）。
  • 截距式的适用场景：①已知平面与三坐标轴的交点（截距）直接写方程；②已知过三点（其中三点恰在坐标轴上）；③快速判断平面在坐标轴上的截距。
  • 由三点 \(P_1,P_2,P_3\) 求平面：法向量取 \(\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\)，再套点法式。
  • 怎么考：①给「点 + 法向量」写点法式/一般式；②给「三点」求平面（叉积求法向量）；③给截距写截距式；④给平行/垂直条件反求平面方程。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求过点 \(M_0(1,-1,2)\) 且以 \(\vec n=(3,1,-1)\) 为法向量的平面方程。
    • 解：由点法式 \(3(x-1)+1\cdot(y+1)+(-1)(z-2)=0\)，展开整理得 \(3x+y-z=0\)。
  • 【例2·真题】1996年·数一·填空(2)：设一平面经过原点及点 \((6,-3,2)\)，且与平面 \(4x-y+2z=8\) 垂直，求此平面方程。
    • 解：设所求平面法向量为 \(\vec n\)。它既垂直于平面内的向量 \(\overrightarrow{OP}=(6,-3,2)\)，又垂直于已知平面的法向量 \((4,-1,2)\)，故
      \[\vec n=(6,-3,2)\times(4,-1,2)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\6&-3&2\\4&-1&2\end{vmatrix}=(-4,-4,6),\]
      约去公因子 2 取 \(\vec n=(2,2,-3)\)。因平面过原点，方程为 \(2x+2y-3z=0\)。
    • 验算：\((6,-3,2)\) 代入得 \(12-6-6=0\) ✓；法向量 \((2,2,-3)\) 与 \((4,-1,2)\) 点积 \(=8-2-6=0\) ✓。
  • 【例3·真题风格·自编题】求在三个坐标轴上的截距分别为 \(2,-3,4\) 的平面方程。
    • 解：直接用截距式 \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{4}=1\)，即 \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{4}=1\)，通分得 \(6x-4y+3z=12\)。
  • 易错坑点：一般式中 \(x,y,z\) 的系数就是法向量的三个分量，直接读出；截距式要求三个截距均不为 0（若有截距为 0，平面过原点，不能用截距式）；点法式代入坐标时注意符号（如 \(y-(-1)=y+1\)）。
  • 配套练习：
    1. 求过三点 \((a,0,0),\ (0,b,0),\ (0,0,c)\)（\(abc\ne 0\)）的平面方程。（答案：\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)）
    2. 求过点 \((1,1,1)\) 且法向量为 \((1,1,1)\) 的平面方程。（答案：\(x+y+z=3\)）

2.2 两平面的夹角、平行与垂直

  • 是什么/定义：两平面的夹角（通常取锐角或直角）等于两平面法向量所成的角（或其补角）。
  • 性质/公式：设两平面法向量分别为 \(\vec n_1, \vec n_2\)：
  • 平行：\(\vec n_1 \parallel \vec n_2\)（法向量成比例，且常数项一般不同）；
  • 垂直：\(\vec n_1 \perp \vec n_2 \iff \vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0\)；
  • 夹角：\(\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\)（分子取绝对值，夹角取锐角）。
  • 怎么考：①求两平面夹角；②判断两平面平行/垂直；③由「与已知平面平行/垂直」+「过某点」求平面方程。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求两平面 \(x+y+z-1=0\) 与 \(2x-y+3z+2=0\) 的夹角。
    • 解：法向量 \(\vec n_1=(1,1,1)\)，\(\vec n_2=(2,-1,3)\)，\(\cos\theta=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot(-1)+1\cdot3|}{\sqrt3\cdot\sqrt{14}}=\dfrac{4}{\sqrt{42}}\)，故夹角 \(\theta=\arccos\dfrac{4}{\sqrt{42}}\)（锐角）。
  • 【例2·真题风格·自编题】求过点 \((1,0,0)\) 且与平面 \(x+y+z=0\) 平行的平面方程。
    • 解：与已知平面平行 ⇒ 法向量相同 \((1,1,1)\)，由点法式 \((x-1)+y+z=0\)，即 \(x+y+z-1=0\)。
  • 易错坑点：面面夹角用 \(\cos\) 且分子取绝对值（保证取锐角）；「平行」要求法向量成比例，但常数项不同（若常数项也成比例则是同一个平面）。
  • 配套练习：判断两平面 \(2x-2y+z-3=0\) 与 \(x-y+\dfrac{z}{2}+1=0\) 是否平行。（答案：平行，因 \((2,-2,1)=2\left(1,-1,\dfrac12\right)\) 法向量成比例）

2.3 点到平面的距离（必背公式）

  • 是什么/定义：点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的距离公式。
  • 性质/公式：
    \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
  • 怎么考：①直接求点到平面距离；②求两平行平面间的距离（取一平面内一点，套点到平面距离）；③点到平面距离与空间几何（球与平面、最值）结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求点 \(P(1,1,1)\) 到平面 \(x+y+z=0\) 的距离。
    • 解：\(d=\dfrac{|1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求两平行平面 \(x+y+z-1=0\) 与 \(x+y+z-3=0\) 之间的距离。
    • 解：在第一个平面上取点 \((1,0,0)\)，它到第二个平面的距离即两平面距离：\(d=\dfrac{|1-3|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\)。
  • 易错坑点：分子是「把点的坐标代入平面方程左边」取绝对值；分母是法向量的模（不是模的平方）；求两平行平面距离时先在其中一个平面上取一个点，再套公式。
  • 配套练习：求点 \((2,1,1)\) 到平面 \(x+y+2z-1=0\) 的距离。（答案：\(\dfrac{4}{\sqrt6}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\)）

三、直线方程

3.1 三种形式（一般式、点向式、参数式）

  • 是什么/定义：
  • 一般式（两平面交线）：\(\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}\)，方向向量 \(\vec s=\vec n_1\times\vec n_2\)（两法向量叉积）。
  • 点向式（对称式）：过点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)、方向向量 \((m,n,p)\)：
    \[ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} \]
  • 参数式：\(\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}\)。
  • 性质/公式：
  • 由对称式读方向向量：三个分母 \((m,n,p)\) 就是方向向量（这是一组方向数）；由对称式读直线上一点：\((x_0,y_0,z_0)\)。
  • 由一般式求方向向量：两平面法向量叉积 \(\vec s=\vec n_1\times\vec n_2\)。
  • 怎么考：①由两平面交线写对称式/参数式；②由点+方向向量写对称式/参数式；③由对称式读方向向量、读点（求平面、求夹角的前置步骤）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求直线 \(\begin{cases} x+y+z-1=0 \\ x-y+z+1=0 \end{cases}\) 的对称式方程。
    • 解：方向向量 \(\vec s=(1,1,1)\times(1,-1,1)=(2,0,-2)\parallel(1,0,-1)\)。令 \(z=0\)，由 \(\begin{cases}x+y=1\\x-y=-1\end{cases}\) 得 \(x=0,\ y=1\)，取点 \((0,1,0)\)。故对称式为 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{0}=\dfrac{z}{-1}\)（即 \(x=-z,\ y=1\)）。
  • 【例2·真题】1991年·数一·填空(3)：已知两直线 \(L_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{0}=\dfrac{z-3}{-1}\)，\(L_2:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}\)，求过 \(L_1\) 且平行于 \(L_2\) 的平面方程。
    • 解：\(L_1\) 过点 \((1,2,3)\)、方向向量 \(\vec s_1=(1,0,-1)\)；\(L_2\) 方向向量 \(\vec s_2=(2,1,1)\)。所求平面的法向量同时垂直于 \(\vec s_1,\vec s_2\)，故
      \[\vec n=\vec s_1\times\vec s_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&0&-1\\2&1&1\end{vmatrix}=(1,-3,1).\]
      平面过点 \((1,2,3)\)，方程为 \((x-1)-3(y-2)+(z-3)=0\)，即 \(x-3y+z+2=0\)。
  • 易错坑点：方向向量是直线「平行」的方向，不是法向量；对称式中某分量为 0 时照写（如 \(m=0\) 表示 \(x=x_0\)），不能把分母 0 理解为除以 0，它只是比例式的写法；由一般式求方向向量要叉积两个法向量。
  • 配套练习：求过点 \((1,1,1)\) 且方向向量为 \((1,2,3)\) 的直线的参数方程。（答案：\(\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+3t\end{cases}\)）

3.2 两直线的夹角、线面关系

  • 是什么/定义：两直线夹角、直线与平面夹角的定义与判定。
  • 性质/公式：
  • 两直线方向向量 \(\vec s_1, \vec s_2\) 夹角：\(\cos\theta = \dfrac{|\vec s_1 \cdot \vec s_2|}{|\vec s_1||\vec s_2|}\)（取锐角）。
  • 直线与平面（直线方向向量 \(\vec s\)，平面法向量 \(\vec n\)）：
    • 直线 \(\perp\) 平面 ⇔ \(\vec s \parallel \vec n\)；
    • 直线 \(\parallel\) 平面 ⇔ \(\vec s \perp \vec n\)（\(\vec s \cdot \vec n = 0\)）；
    • 线面夹角 \(\sin\theta = \dfrac{|\vec s \cdot \vec n|}{|\vec s||\vec n|}\)（注意是 sin，与面面夹角的 cos 不同）。
  • 怎么考：①求两直线夹角；②判断直线与平面平行/垂直/斜交；③求线面夹角。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求两直线 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{0}\) 与 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{0}\) 的夹角。
    • 解：方向向量 \(\vec s_1=(1,1,0)\)，\(\vec s_2=(1,-1,0)\)，\(\cos\theta=\dfrac{|1-1|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=0\)，故夹角为 \(\dfrac{\pi}{2}\)（\(90^\circ\)）。
  • 【例2·真题】1995年·数一·选择(1)：设有直线 \(L:\begin{cases} x+3y+2z+1=0 \\ 2x-y-10z+3=0 \end{cases}\) 及平面 \(\pi:4x-2y+z-2=0\)，则直线 \(L\)（　）。(A) 平行于 \(\pi\) (B) 在 \(\pi\) 上 (C) 垂直于 \(\pi\) (D) 与 \(\pi\) 斜交
    • 解：\(L\) 的方向向量
      \[\vec s=(1,3,2)\times(2,-1,-10)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&3&2\\2&-1&-10\end{vmatrix}=(-28,14,-7)=-7(4,-2,1).\]
      \(\vec s\) 与平面 \(\pi\) 的法向量 \((4,-2,1)\) 平行，故直线 \(L\) 垂直于平面 \(\pi\)，选 (C)。
  • 易错坑点：线面夹角用的是 sin（方向向量与法向量夹角的正弦），别和面面夹角（cos）混；判断「直线∥平面」看 \(\vec s\cdot\vec n=0\)，判断「直线⊥平面」看 \(\vec s\parallel\vec n\)，两者方向相反。
  • 配套练习：求直线 \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{1}\) 与平面 \(x-2y+z=0\) 的夹角。（答案：\(\sin\theta=\dfrac16\)，即 \(\theta=\arcsin\dfrac16\)）

3.3 点到直线的距离

  • 是什么/定义：空间一点到一条直线的距离公式。
  • 性质/公式：点 P 到过点 \(M_0\)、方向向量 \(\vec s\) 的直线的距离：
    \[ d = \frac{|\vec s \times \overrightarrow{M_0P}|}{|\vec s|} \]
  • 怎么考：①直接求点到直线距离；②求点到直线距离的几何意义（三角形面积 \(=\dfrac12|\vec s|\,d\)）；③与平面/曲面结合的综合题的一步。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求点 \(P(1,2,0)\) 到直线 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{0}\)（即 \(x=y,\ z=0\)）的距离。
    • 解：直线上点 \(M_0=(0,0,0)\)，方向向量 \(\vec s=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{M_0P}=(1,2,0)\)。\(\vec s\times\overrightarrow{M_0P}=(1,1,0)\times(1,2,0)=(0,0,1)\)，故 \(d=\dfrac{|(0,0,1)|}{|(1,1,0)|}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求点 \(P(1,-1,2)\) 到直线 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{2}\) 的距离。
    • 解：直线上点 \(M_0=(0,-1,1)\)，方向向量 \(\vec s=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow{M_0P}=(1,0,1)\)。\(\vec s\times\overrightarrow{M_0P}=(1,2,2)\times(1,0,1)=(2,1,-2)\)，其模 \(=\sqrt{4+1+4}=3\)，\(|\vec s|=\sqrt{1+4+4}=3\)，故 \(d=\dfrac33=1\)。
  • 易错坑点：分子是「方向向量 叉乘 连接向量」的模，分母是方向向量的模；若结果为 0，说明点在直线上；叉乘顺序别写反（\(\vec s\times\overrightarrow{M_0P}\)）。
  • 配套练习：求点 \(P(0,0,1)\) 到直线 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}\) 的距离。（答案：\(\dfrac{\sqrt6}{3}\)）

四、曲面与空间曲线

4.1 曲面方程与旋转曲面

  • 是什么/定义：
  • 曲面方程：\(F(x, y, z) = 0\)，是空间坐标满足的关系式。
  • 旋转曲面：平面曲线绕同平面内的一条直线（通常为坐标轴）旋转一周所得曲面。
  • 性质/公式（绕坐标轴旋转的换元规律）：
  • 曲线 \(f(y, z) = 0\)（在 yOz 面内）绕 z 轴旋转，得 \(f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0\)；
  • 规律：绕哪个轴转，那个轴的变量不变，另一个变量换成 \(\pm\sqrt{另两变量平方和}\)。
  • 例：绕 x 轴 → x 不变，y 换成 \(\pm\sqrt{y^2+z^2}\)；绕 y 轴 → y 不变，x 换成 \(\pm\sqrt{x^2+z^2}\)。
  • 怎么考：①由平面曲线绕轴旋转写旋转曲面方程；②已知旋转曲面方程反推「由哪条曲线绕哪轴旋转得到」；③识别旋转曲面类型（椭球、抛物面、锥面等）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 yOz 面内的抛物线 \(z=y^2\) 绕 z 轴旋转所得曲面方程。
    • 解：绕 z 轴，z 不变，y 换成 \(\pm\sqrt{x^2+y^2}\)，得 \(z=(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2=x^2+y^2\)，即旋转抛物面 \(z=x^2+y^2\)。
  • 【例2·真题】2009年·数一·计算(17)（第(I)问）：椭球面 \(S_1\) 是椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)（在 xOy 面内）绕 x 轴旋转而成，求 \(S_1\) 的方程。
    • 解：绕 x 轴，x 不变，y 换成 \(\pm\sqrt{y^2+z^2}\)，得
      \[\frac{x^2}{4}+\frac{(\pm\sqrt{y^2+z^2})^2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2+z^2}{3}=1.\]
      （注：原题第(II)问求 \(S_1\) 与相切圆锥面 \(S_2\) 之间的立体体积，属积分学内容，此处只取旋转曲面方程这一步。）
  • 易错坑点：绕 z 轴旋转，z 不变，y（或 x）换成 \(\pm\sqrt{x^2+y^2}\)；平方后 \(\pm\) 号消失，故旋转曲面方程里往往出现「两变量平方和」；换错轴是最常见丢分点。
  • 配套练习：求 yOz 面内直线 \(z=y\) 绕 z 轴旋转所得曲面方程。（答案：\(z^2=x^2+y^2\)，即圆锥面）

4.2 柱面

  • 是什么/定义：母线平行于某坐标轴（或某方向）、准线为某平面曲线的曲面。
  • 性质/公式：
  • 方程 \(F(x, y) = 0\)（缺 z）表示母线平行于 z 轴的柱面，准线是 xOy 面内的曲线 \(F(x,y)=0\)。
  • 同理 \(G(y,z)=0\) 缺 x → 母线平行 x 轴；\(H(x,z)=0\) 缺 y → 母线平行 y 轴。
  • 怎么考：①识别柱面（缺哪个变量，母线平行哪个轴）；②由准线方程写柱面方程；③柱面与旋转曲面、投影曲线结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】指出 \(x^2+y^2=4\) 在空间中表示什么曲面。
    • 解：方程缺 z，表示母线平行于 z 轴的圆柱面（以 z 轴为轴、半径 2）；它在 xOy 面上的截痕是圆 \(x^2+y^2=4\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求以 xOy 面内抛物线 \(y=x^2\) 为准线、母线平行于 z 轴的柱面方程。
    • 解：柱面方程与 z 无关，即 \(y=x^2\)（抛物柱面）。
  • 易错坑点：柱面方程「缺哪个变量，母线就平行于哪个坐标轴」；注意「\(x^2+y^2=4\)」在平面内是圆、在空间中是圆柱面，两者含义不同。
  • 配套练习：指出 \(y^2=2x\) 在空间中表示什么曲面。（答案：母线平行于 z 轴的抛物柱面）

4.3 常见二次曲面（会认方程、会画草图）

  • 是什么/定义：二次曲面是由三元二次方程 \(F(x,y,z)=0\)（不含一次项交叉项时）表示的曲面。按图形分五大类。
  • 性质/公式（分类与图形描述）：

① 椭球面（含球面）
- 标准方程：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)（\(a=b=c=R\) 时为球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\)）。
- 图形：封闭曲面，像被「拉长/压扁」的球（橄榄球/鸡蛋形），三个系数 \(a,b,c\) 是三个半轴长。

② 抛物面
- 椭圆抛物面：\(z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)（或 \(x,y\) 互换）。图形：开口朝上（或下）的「碗」；用 \(z=c\ (>0)\) 截得椭圆，随 \(z\) 增大截面扩大。
- 双曲抛物面（马鞍面）：\(z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\)（或变号）。图形：像马鞍——沿 x 方向向上翘、沿 y 方向向下凹，原点附近「一凹一凸」。

③ 双曲面
- 单叶双曲面：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\)（两正一负）。图形：连通的「束腰」管状面，中间细、两头张开；用 \(z=c\) 截得椭圆（\(c=0\) 处是「腰」上的最小椭圆）。
- 双叶双曲面：\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\)（一正两负）。图形：分成不相连的两叶（沿 x 轴正负两个方向各一叶）。

④ 锥面
- 标准方程：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0\)，常见圆锥面 \(z^2=x^2+y^2\)（或 \(x^2+y^2=z^2\)）。图形：过原点、关于原点对称的对顶双锥（上下两个锥尖相对）。

⑤ 柱面
- 标准方程：\(F(x,y)=0\)（缺一个变量），如圆柱面 \(x^2+y^2=R^2\)、抛物柱面 \(y=x^2\)。图形：准线沿母线方向「平移扫出」的曲面。

  • 怎么考：①给方程识别二次曲面类型（选择/填空）；②配方法/正交变换把一般二次型化为标准形再判断；③由截痕（用平面截）判断曲面形状；④画草图、求截痕。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】识别 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{z^2}{1}=1\) 是什么曲面。
    • 解：方程左边两正项、一负项，右端为 1，故为单叶双曲面（z 轴方向是「轴」，腰在 \(z=0\) 处，截痕为椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)）。
  • 【例2·真题】2016年·数一·选择(4分)：设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3\)，则方程 \(f(x_1,x_2,x_3)=2\) 在空间直角坐标下表示的二次曲面是（　）。(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 柱面
    • 解：\(f\) 对应的矩阵为 \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}=2J-I\)（\(J\) 为全 1 矩阵），其特征值为 \(5,-1,-1\)。经正交变换，\(f\) 化为标准形 \(5u^2-v^2-w^2=2\)：一个正平方项、两个负平方项，右端为正，故是双叶双曲面，选 (B)。
  • 易错坑点：抛物面方程是「一次项 = 两平方项」；锥面方程是「两平方项之和 = 一平方项（右端为 0 时的齐次形式）」，即右边为 0；双曲面「单叶」是两正一负、「双叶」是一正两负，别记反。含交叉项（如 \(xy,xz,yz\)）时不能直接判断，要先配方或正交变换化标准形。
  • 配套练习：
    1. 识别 \(z=x^2-y^2\) 是什么曲面。（答案：双曲抛物面（马鞍面））
    2. 识别 \(x^2+y^2-z^2=0\) 是什么曲面。（答案：圆锥面）

4.4 空间曲线及其投影

  • 是什么/定义：
  • 空间曲线：常表为两曲面交线 \(\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}\)，或参数方程 \(x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t)\)。
  • 投影曲线：空间曲线在坐标面（如 xOy 面）上的投影。
  • 性质/公式（求投影曲线三步）：
    1. 从方程组中消去 z，得 \(H(x,y)=0\)（这是母线平行于 z 轴的投影柱面）；
    2. 联立 \(z=0\)，得 \(\begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0 \end{cases}\)，即曲线在 xOy 面上的投影曲线。
  • 同理，消去 x 得在 yOz 面投影，消去 y 得在 xOz 面投影。
  • 怎么考：①由两曲面交线求在坐标面上的投影曲线；②求投影柱面；③投影曲线与重积分、曲线积分结合（求积分区域）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求空间曲线 \(\begin{cases} x^2+y^2+z^2=4 \\ z=1 \end{cases}\) 在 xOy 面上的投影曲线方程。
    • 解：将 \(z=1\) 代入第一个方程，消去 z 得 \(x^2+y^2=3\)（母线平行 z 轴的投影柱面），联立 \(z=0\) 得投影曲线 \(\begin{cases} x^2+y^2=3 \\ z=0 \end{cases}\)（半径为 \(\sqrt3\) 的圆）。
  • 【例2·真题风格·自编题】求曲线 \(\begin{cases} z=\sqrt{x^2+y^2} \\ z=1 \end{cases}\)（圆锥面与平面 \(z=1\) 的交线）在 xOy 面上的投影曲线。
    • 解：由 \(z=1\) 代入得 \(\sqrt{x^2+y^2}=1\)，即 \(x^2+y^2=1\)，故投影曲线为 \(\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ z=0 \end{cases}\)（单位圆）。
  • 易错坑点：投影曲线是「柱面 + 坐标面」的联立方程组，不能只写 \(H(x,y)=0\)（那样是柱面，不是投影曲线）；消去的是哪个变量，投影就在不含该变量的那个坐标面上。
  • 配套练习：求曲线 \(\begin{cases} x^2+y^2=2z \\ z=2 \end{cases}\) 在 xOy 面上的投影曲线。（答案：\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ z=0 \end{cases}\)）

五、典型题型汇总

  1. 向量运算：求数量积、向量积、混合积，判断垂直/平行/共面。
  2. 求平面方程：已知点与法向量（或三点、点与平行平面、三轴截距）写点法式/一般式/截距式。
  3. 求直线方程：已知点与方向向量（或两平面交线）写对称式/参数式。
  4. 求夹角：两平面夹角（cos）、两直线夹角（cos）、线面夹角（sin）。
  5. 求距离：点到平面、点到直线距离。
  6. 旋转曲面/柱面/二次曲面：由曲线绕轴旋转写方程、识别二次曲面类型。
  7. 投影曲线：由两曲面交线求在坐标面上的投影。

配套练习（本章综合）

  1. 求向量 \(\vec a=(1,2,2)\) 的模 \(|\vec a|\)。（答案：\(3\)）
  2. 设 \(\vec a=(1,0,0)\)，\(\vec b=(0,1,0)\)，求 \(\vec a\cdot\vec b\)。（答案：\(0\)，两向量垂直）
  3. 求点 \(P(1,1,1)\) 到平面 \(x+y+z=0\) 的距离。（答案：\(\sqrt3\)）
  4. 求 \(\vec a=(1,1,1)\) 与 \(\vec b=(1,-1,1)\) 的叉积。（答案：\((2,0,-2)\)）
  5. 求 yOz 面内曲线 \(z=y^2\) 绕 z 轴旋转所得曲面方程。（答案：\(z=x^2+y^2\)）
  6. 求曲线 \(\begin{cases} x^2+y^2+z^2=4 \\ z=1 \end{cases}\) 在 xOy 面上的投影曲线。（答案：\(\begin{cases} x^2+y^2=3 \\ z=0 \end{cases}\)）

学完本章的检验标准

  1. 会求向量的数量积、向量积、混合积，并判断垂直、平行、共面；会求模、方向余弦、方向数。
  2. 能由点与法向量/方向向量写出平面、直线方程，会用截距式表示平面。
  3. 会求两平面、两直线、直线与平面的夹角（分清 sin 与 cos）。
  4. 会用公式求点到平面、点到直线的距离。
  5. 会由平面曲线绕坐标轴旋转写出旋转曲面方程。
  6. 能识别常见二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面、锥面、柱面），会求空间曲线在坐标面上的投影。

全部达到后，进入第5章「多元函数微分学」（偏导数、全微分、多元极值）。