本章把一元微分推广到多元函数：核心是偏导数、全微分、复合函数与隐函数求导，以及多元极值、条件极值（拉格朗日乘数法）。数一还要求方向导数与梯度，以及微分法的几何应用（空间曲线的切线/法平面、曲面的切平面/法线，几乎每年必考）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

前置知识：第1章「函数、极限、连续」、第2章「一元函数微分学」（求导法则、链式法则、极值判别）。

一、多元函数的基本概念

1.1 多元函数与区域

  • 是什么/定义：设 \(D\) 是平面上的点集，若对 \(D\) 中每一点 \((x,y)\) 都有唯一实数 \(z\) 与之对应，则称 \(z=f(x,y)\) 为二元函数，\(D\) 为其定义域。
  • 性质/公式（区域相关概念）：
  • 邻域、内点、边界点、开集、闭集、连通集、（开）区域、闭区域；
  • 有界区域：能包含在某个圆盘内的区域；
  • 几何意义（数一常考）：二元函数 \(z=f(x,y)\) 在空间中表示一张曲面，其定义域是该曲面在 \(xOy\) 平面上的投影区域——这是后面「曲面的切平面、法线」的直观基础。
  • 怎么考：①求二元函数定义域（列多个限制条件取交集）；②识别 \(z=f(x,y)\) 的曲面几何意义；③判断区域的开闭、有界性。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(z=\ln(1-x^2-y^2)\) 的定义域。
    • 解：要求 \(1-x^2-y^2>0\)，即 \(x^2+y^2<1\)，为开单位圆盘内部，定义域为 \(\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(z=\sqrt{x^2+y^2-1}+\ln(4-x^2-y^2)\) 的定义域。
    • 解：根号要求 \(x^2+y^2-1\ge 0\) 即 \(x^2+y^2\ge 1\)；对数要求 \(4-x^2-y^2>0\) 即 \(x^2+y^2<4\)。取交集得 \(\boxed{1\le x^2+y^2<4}\)（含内边界、不含外边界的圆环区域）。
  • 易错坑点：多元函数定义域是平面点集，要列全所有限制条件再取交集；「对数真数 \(>0\)」是严格大于，不能写成 \(\ge\)。
  • 配套练习：求 \(z=\arcsin(x^2+y^2-1)\) 的定义域。（答案：\(0\le x^2+y^2\le 2\)）

1.2 二重极限

  • 是什么/定义：点 \((x,y)\) 以任意方式趋近 \((x_0,y_0)\) 时，\(f(x,y)\) 都趋近同一常数 \(A\)，则 \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\)。
  • 性质/公式：二重极限存在 ⇔ 沿任意路径趋近都得到同一值。
  • 怎么考：①证明极限不存在（找两条路径极限不同）；②求二重极限（夹逼、换元、极坐标代换）；③辨析二重极限与累次极限。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\) 是否存在。
    • 解：沿 \(y=kx\) 趋近，\(f=\dfrac{kx^2}{x^2(1+k^2)}=\dfrac{k}{1+k^2}\)，随 \(k\) 变化取不同值，故极限不存在。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)。
    • 解：\(\left|\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le |y|\to 0\)，由夹逼得原式 \(\boxed{0}\)。
  • 易错坑点：沿一条路径极限存在 ≠ 二重极限存在；二重极限与「先 \(x\) 后 \(y\)」「先 \(y\) 后 \(x\)」两个累次极限是不同概念，不能混为一谈。
  • 配套练习：判断 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{x-y}\) 是否存在。（答案：不存在，沿 \(y=kx\) 得 \(\frac{1+k}{1-k}\) 随 \(k\) 变化）

1.3 多元函数的连续性

  • 是什么/定义：\(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续 ⇔ \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\)。
  • 性质/公式：连续函数在有界闭区域上有界、能取到最值、有介值性。
  • 怎么考：①判断分段函数在原点的连续性；②辨析「连续、偏导存在、可微」三者关系（选择常考）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，判断 \(f\) 在原点是否连续。
    • 解：沿 \(y=kx\)，极限为 \(\dfrac{k}{1+k^2}\)，当 \(k\ne0\) 时不等于 \(f(0,0)=0\)，故极限不存在，\(f\) 在原点不连续。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，讨论其在原点的连续性与偏导存在性。
    • 解：\(\sqrt{x^2+y^2}\to 0=f(0,0)\)，故在原点连续；但 \(f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}\) 不存在，故偏导不存在。说明「连续 ⇏ 偏导存在」。
  • 易错坑点：多元函数「偏导存在」与「连续」没有必然的相互蕴含（偏导存在不一定连续，连续也不一定偏导存在）。
  • 配套练习：设 \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，判断在原点是否连续。（答案：不连续，沿 \(x=0\) 得 0、沿 \(y=0\) 得 1）

二、偏导数与全微分

2.1 偏导数

  • 是什么/定义：固定其他变量，只对其中一个变量求导。
    \[f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},\qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}\]
  • 性质/公式：
  • 记号：\(\partial z/\partial x\)、\(f_x\)、\(z_x\)；
  • 求法：对 \(x\) 求偏导时把 \(y\) 当常数；对 \(y\) 求偏导时把 \(x\) 当常数；
  • 高阶偏导数：\(\partial^2 z/\partial x^2\)、\(\partial^2 z/\partial y^2\)、混合偏导 \(\partial^2 z/\partial x\partial y\)；
  • 定理（混合偏导相等条件）：若 \(\partial^2 z/\partial x\partial y\) 与 \(\partial^2 z/\partial y\partial x\) 在某点都连续，则二者相等。
  • 怎么考：①求一、二阶偏导；②分段函数在分段点用定义求偏导；③验证混合偏导相等；④已知偏导反求原函数或参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(z=x^2y+y^3\)，求 \(\partial z/\partial x\)、\(\partial z/\partial y\)、\(\partial^2 z/\partial x\partial y\)。
    • 解：\(\partial z/\partial x=2xy\)；\(\partial z/\partial y=x^2+3y^2\)；\(\partial^2 z/\partial x\partial y=\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(f(x,y)=x^y\ (x>0)\)，求 \(f_x\)、\(f_y\)。
    • 解：对 \(x\) 视 \(y\) 为常数，\(f_x=y\,x^{y-1}\)；对 \(y\) 视 \(x\) 为常数，\(f_y=x^y\ln x\)。
  • 易错坑点：分段函数在分段点处的偏导要用定义求；对 \(x\) 求导时别把含 \(y\) 的项也当要求导；混合偏导相等需「都连续」这一前提。
  • 配套练习：设 \(z=e^{xy}\)，求 \(\partial^2 z/\partial x^2\) 和 \(\partial^2 z/\partial x\partial y\)。（答案：\(\partial^2 z/\partial x^2=y^2e^{xy}\)，\(\partial^2 z/\partial x\partial y=e^{xy}(1+xy)\)）

2.2 全微分

  • 是什么/定义：若 \(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to 0\)），则 \(f\) 在该点可微，且
    \[dz=A\,dx+B\,dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\]
  • 性质/公式：
  • 可微的必要条件：可微 ⇒ 偏导存在，且 \(A=f_x\)、\(B=f_y\)；
  • 可微的充分条件：偏导存在且连续 ⇒ 可微；
  • 重要关系链（必背）：偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续；可微 ⇒ 偏导数存在；偏导存在 ⇏ 连续，连续 ⇏ 偏导存在；
  • 应用：近似计算 \(f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x\Delta x+f_y\Delta y\)。
  • 怎么考：①求全微分；②判断可微性（用定义验证 \(\Delta z-(f_x\Delta x+f_y\Delta y)\) 是否为 \(o(\rho)\)）；③用全微分近似计算；④辨析关系链（选择）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(z=x^2+y^2\)，求 \(dz\)。
    • 解：\(z_x=2x\)，\(z_y=2y\)，故 \(dz=\boxed{2x\,dx+2y\,dy}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】讨论 \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 在原点是否可微。
    • 解：由 1.3 例2，\(f\) 在原点偏导不存在；而可微必偏导存在，故 \(f\) 在原点不可微。
  • 易错坑点：偏导存在不一定可微；判断可微要看 \(\Delta z-(f_x\Delta x+f_y\Delta y)\) 是否为 \(o(\rho)\)，不能只看偏导存在。
  • 配套练习：设 \(z=\ln(x^2+y^2)\)，求 \(dz\)。（答案：\(dz=\dfrac{2x\,dx+2y\,dy}{x^2+y^2}\)）

2.3 全微分形式不变性（一阶）

  • 是什么/定义：无论 \(x,y\) 是自变量还是中间变量（如 \(x=x(s,t),y=y(s,t)\)），都有 \(dz=f_x\,dx+f_y\,dy\) 形式不变。
  • 性质/公式：把 \(dx,dy\) 再写成中间变量的全微分，即可直接读出复合函数的偏导。
  • 怎么考：①用形式不变性快速求复合函数的全微分或偏导；②与链式法则互相印证。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(z=f(x,y)\)，\(x=s+t\)，\(y=s-t\)，用全微分求 \(\partial z/\partial s\)。
    • 解：\(dz=f_x\,dx+f_y\,dy=f_x(ds+dt)+f_y(ds-dt)=(f_x+f_y)ds+(f_x-f_y)dt\)，故 \(\partial z/\partial s=\boxed{f_x+f_y}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(z=f(u,v)\)，\(u=x+y\)，\(v=x-y\)，\(f\) 可微，求 \(\partial z/\partial x+\partial z/\partial y\)。
    • 解：\(\partial z/\partial x=f_u\cdot1+f_v\cdot1=f_u+f_v\)；\(\partial z/\partial y=f_u\cdot1+f_v\cdot(-1)=f_u-f_v\)；相加得 \(\boxed{2f_u}\)。
  • 易错坑点：\(dz\) 中的 \(dx,dy\) 要写成中间变量的全微分（如 \(dx=ds+dt\)），别漏掉交叉项。
  • 配套练习：设 \(z=f(x^2-y^2)\)（\(f\) 可微），求 \(\partial z/\partial x\)、\(\partial z/\partial y\)。（答案：\(\partial z/\partial x=2x\,f'(x^2-y^2)\)，\(\partial z/\partial y=-2y\,f'(x^2-y^2)\)）

三、多元复合函数求导（链式法则）

3.1 链式法则的基本形式

  • 是什么/定义：把中间变量到自变量之间的所有「路径」逐项相乘后相加。
  • 性质/公式：
  • 情况一：\(z=f(u,v)\)，\(u=u(x,y)\)，\(v=v(x,y)\)，则
    \[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\]
  • 情况二：\(z=f(u,v)\)，\(u=u(t)\)，\(v=v(t)\)（全导数）：\(\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{du}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}\)。
  • 怎么考：①给具体复合关系求一阶偏导/全导数；②含抽象函数 \(f(u,v)\) 的复合求导；③用树形图防漏项。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(z=e^{u}\sin v\)，\(u=xy\)，\(v=x+y\)，求 \(\partial z/\partial x\)。
    • 解：\(\partial z/\partial x=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=e^u\sin v\cdot y+e^u\cos v\cdot 1=\boxed{e^{xy}\big(y\sin(x+y)+\cos(x+y)\big)}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(z=f(x+y,xy)\)，\(f\) 可微，求 \(\partial z/\partial x\)、\(\partial z/\partial y\)。
    • 解：令 \(u=x+y\)，\(v=xy\)，则 \(\partial z/\partial x=f_u\cdot1+f_v\cdot y=\boxed{f_u+yf_v}\)；\(\partial z/\partial y=f_u\cdot1+f_v\cdot x=\boxed{f_u+xf_v}\)。
  • 易错坑点：有几条通往该变量的路径就加几项，别漏项；中间变量与自变量、全导数 \(d/dt\) 与偏导 \(\partial/\partial x\) 的记号要分清。
  • 配套练习：设 \(w=f(x,y)\)，\(x=t^2\)，\(y=\sin t\)，求 \(\dfrac{dw}{dt}\)。（答案：\(2t\,f_x+\cos t\,f_y\)）

3.2 二阶偏导数的复合求导

  • 是什么/定义：一阶偏导（如 \(f_u,f_v\)）仍含中间变量 \(u,v\)，再对 \(x,y\) 求偏导时必须再次用链式法则。
  • 性质/公式：先求一阶，再对每个一阶项逐项链式；混合偏导相等（连续时）可合并 \(f_{uv}=f_{vu}\)。
  • 怎么考：求抽象复合函数的二阶偏导（数一高频大题）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(z=f(x+y,xy)\)，\(f\) 二阶连续可微，求 \(\partial^2 z/\partial x^2\)。
    • 解：令 \(u=x+y\)，\(v=xy\)。由 3.1 例2，\(z_x=f_u+yf_v\)。于是
      \[z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_u)+y\frac{\partial}{\partial x}(f_v)=\big(f_{uu}\cdot1+f_{uv}\cdot y\big)+y\big(f_{vu}\cdot1+f_{vv}\cdot y\big)=\boxed{f_{uu}+2y f_{uv}+y^2 f_{vv}}.\]
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(z=f(u,v)\)，\(u=x\)，\(v=x+y\)，\(f\) 二阶连续可微，求 \(\partial^2 z/\partial x^2\)。
    • 解：\(z_x=f_u\cdot1+f_v\cdot1=f_u+f_v\)，故 \(z_{xx}=(f_{uu}+f_{uv})+(f_{vu}+f_{vv})=\boxed{f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}}\)。
  • 易错坑点：二阶时 \(f_u,f_v\) 仍然含 \(u,v\)，对 \(x\) 求导必须再链式一遍；混合项 \(f_{uv}\) 常被漏掉或系数记错，是最易丢分处。
  • 配套练习：设 \(z=f(xy)\)，\(f\) 二阶可微，求 \(\partial^2 z/\partial x\partial y\)。（答案：\(f'(xy)+xy\,f''(xy)\)）

四、隐函数求导

4.1 一元隐函数（由二元方程确定）

  • 是什么/定义：由方程 \(F(x,y)=0\) 确定的函数 \(y=y(x)\)。
  • 性质/公式（隐函数存在定理）：若在点 \((x_0,y_0)\) 处 \(F\) 连续、\(F_y(x_0,y_0)\ne0\)，则方程在该点附近确定唯一隐函数 \(y=y(x)\)，且
    \[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\]
  • 怎么考：①由 \(F(x,y)=0\) 求 \(dy/dx\)；②求隐函数在某点的导数值；③判断隐函数存在性（看 \(F_y\ne0\)）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(x^2+y^2=1\) 确定 \(y=y(x)\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。
    • 解：令 \(F=x^2+y^2-1\)，\(F_x=2x\)，\(F_y=2y\)，故 \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}=\boxed{-\dfrac{x}{y}}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(e^y+xy-e=0\) 确定 \(y=y(x)\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=0}\)。
    • 解：令 \(F=e^y+xy-e\)，\(F_x=y\)，\(F_y=e^y+x\)。当 \(x=0\) 时 \(e^y-e=0\) 得 \(y=1\)。故 \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{e^y+x}\)，在 \((0,1)\) 处 \(=\boxed{-\dfrac1e}\)。
  • 易错坑点：公式里是负号，且分子分母别写反（对 \(x\) 求导放分子、对 \(y\) 求导放分母）。
  • 配套练习：设 \(y^2-xy+1=0\) 确定 \(y=y(x)\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。（答案：\(\dfrac{y}{2y-x}\)）

4.2 多元隐函数（由三元方程确定）

  • 是什么/定义：由 \(F(x,y,z)=0\) 确定的函数 \(z=z(x,y)\)。
  • 性质/公式：若 \(F_z\ne0\)，则确定 \(z=z(x,y)\)，且
    \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}\]
  • 怎么考：①求隐函数偏导或全微分；②隐函数与极值结合（数一经典大题）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(x^2+y^2+z^2=1\) 确定 \(z=z(x,y)\)，求 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\)。
    • 解：令 \(F=x^2+y^2+z^2-1\)，\(F_x=2x\)，\(F_z=2z\)，故 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{2x}{2z}=\boxed{-\dfrac{x}{z}}\)。
  • 【例2·真题】2004年·数一·第19题(12分)：设 \(z=z(x,y)\) 是由 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 确定的函数，求 \(z=z(x,y)\) 的极值点和极值。
    • 解：令 \(F=x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18\)，\(F_x=2x-6y\)，\(F_y=-6x+20y-2z\)，\(F_z=-2y-2z\)。
      \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{x-3y}{y+z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{10y-3x-z}{y+z}.\]
      令两偏导为 \(0\)：\(x-3y=0\)，\(10y-3x-z=0\)，得 \(x=3y\)、\(z=y\)。代入原方程：
      \[9y^2-18y^2+10y^2-2y^2-y^2+18=0\Rightarrow -2y^2+18=0\Rightarrow y=\pm3.\]
      得候选点 \((9,3,3)\) 与 \((-9,-3,-3)\)，对应 \(z\) 值分别为 \(3\) 与 \(-3\)。
      再求二阶偏导（在候选点处）：记 \(A=z_{xx},B=z_{xy},C=z_{yy}\)。
    • 在 \((9,3,3)\)：\(A=\dfrac1{y+z}=\dfrac16\)，\(B=-\dfrac3{y+z}=-\dfrac12\)，\(C=\dfrac5{3}\)，\(\Delta=AC-B^2=\dfrac16\cdot\dfrac53-\dfrac14=\dfrac1{36}>0\)，且 \(A>0\)，故为极小值点，极小值 \(z(9,3)=3\)；
    • 在 \((-9,-3,-3)\)：\(A=-\dfrac16\)，\(B=\dfrac12\)，\(C=-\dfrac53\)，\(\Delta=AC-B^2=\dfrac1{36}>0\)，且 \(A<0\)，故为极大值点，极大值 \(z(-9,-3)=-3\)。
  • 易错坑点：隐函数求偏导时分母是 \(F_z\)；求极值时先把隐函数偏导算出来再令其为零，不能只对 \(F\) 求极值。
  • 配套练习：设 \(xyz=1\) 确定 \(z=z(x,y)\)，求 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\)。（答案：\(-\dfrac{z}{x}\)）

4.3 方程组确定的隐函数

  • 是什么/定义：方程组 \(F(x,y,u,v)=0,\ G(x,y,u,v)=0\) 确定 \(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\)。
  • 性质/公式：对每个方程两边对 \(x\)（或 \(y\)）求偏导（把 \(u,v\) 看作函数），联立解出 \(\partial u/\partial x,\partial v/\partial x\)；等价于用雅可比行列式。
  • 怎么考：①对方程组两边求偏导解线性方程组；②求 \(\partial u/\partial x,\partial v/\partial x,\partial u/\partial y,\partial v/\partial y\)。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(\begin{cases}u+v=x+y\\ 2u+v=2x+y\end{cases}\) 确定 \(u=u(x,y),v=v(x,y)\)，求 \(\partial u/\partial x\)、\(\partial v/\partial x\)。
    • 解：两边对 \(x\) 求偏导得 \(u_x+v_x=1\)、\(2u_x+v_x=2\)，相减得 \(u_x=1\)，回代得 \(v_x=0\)。故 \(\partial u/\partial x=\boxed{1}\)，\(\partial v/\partial x=\boxed{0}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】由极坐标 \(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\) 反求 \(\partial r/\partial x\)、\(\partial\theta/\partial x\)。
    • 解：由 \(x^2+y^2=r^2\) 对 \(x\) 求偏导得 \(2x=2r\,r_x\)，故 \(\partial r/\partial x=\dfrac{x}{r}=\boxed{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)；由 \(\tan\theta=\dfrac yx\) 对 \(x\) 求偏导得 \(\sec^2\theta\cdot\theta_x=-\dfrac y{x^2}\)，而 \(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\)，故 \(\partial\theta/\partial x=-\dfrac{y\cos^2\theta}{x^2}=\boxed{-\dfrac{y}{x^2+y^2}}\)。
  • 易错坑点：对 \(x\) 求偏导时 \(u,v\) 都是 \(x,y\) 的函数，必须保留 \(u_x,v_x\) 项；解线性方程组时别丢常数项。
  • 配套练习：设 \(\begin{cases}u+v=x\\ u-v=y\end{cases}\)，求 \(\partial u/\partial x\)、\(\partial v/\partial y\)。（答案：\(\partial u/\partial x=\dfrac12\)，\(\partial v/\partial y=-\dfrac12\)）

五、方向导数与梯度（数一要求）

5.1 方向导数

  • 是什么/定义：函数 \(f\) 在点沿方向 \(l\)（单位向量 \((\cos\alpha,\cos\beta)\)）的变化率。
  • 性质/公式（可微时）：
    \[\frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta\]
    三元情形：\(\dfrac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma\)。
  • 怎么考：①求沿指定方向的方向导数；②方向向量先单位化；③结合梯度求最大方向导数（数一经典）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(z=x^2+y^2\) 在点 \((1,1)\) 沿方向 \(l=(1,1)\) 的方向导数。
    • 解：\(z_x=2x=2\)，\(z_y=2y=2\)；\(|l|=\sqrt2\)，单位向量 \(\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)\)。故 \(\dfrac{\partial z}{\partial l}=2\cdot\dfrac1{\sqrt2}+2\cdot\dfrac1{\sqrt2}=\boxed{2\sqrt2}\)。
  • 【例2·真题】2015年·数一·第17题(10分)：已知 \(f(x,y)=x+y+xy\)，曲线 \(C:x^2+y^2+xy=3\)，求 \(f(x,y)\) 在曲线 \(C\) 上的最大方向导数。
    • 解：\(\nabla f=(1+y,1+x)\)，故点 \((x,y)\) 处最大方向导数为 \(|\nabla f|=\sqrt{(1+x)^2+(1+y)^2}\)。问题化为在约束 \(x^2+y^2+xy=3\) 下求 \(g(x,y)=(1+x)^2+(1+y)^2\) 的最大值。
      令 \(L=(1+x)^2+(1+y)^2+\lambda(x^2+y^2+xy-3)\)：
      \[L_x=2(1+x)+\lambda(2x+y)=0,\quad L_y=2(1+y)+\lambda(x+2y)=0.\]
      两式相减得 \((x-y)(2+\lambda)=0\)。
    • 若 \(x=y\)：代入约束 \(3x^2=3\) 得 \((1,1)\)、\((-1,-1)\)，对应 \(|\nabla f|=2\sqrt2\) 或 \(0\)；
    • 若 \(\lambda=-2\)：由 \(L_x=0\) 得 \(x+y=1\)，结合约束 \(x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy=3\) 得 \(xy=-2\)，解得 \((2,-1)\)、\((-1,2)\)，对应 \(|\nabla f|=\sqrt{(3)^2+0^2}=3\)。
      比较得最大方向导数 \(\boxed{3}\)。
  • 易错坑点：方向向量必须先单位化（除以模长）再代入 \(\cos\alpha,\cos\beta\)；最大方向导数等于 \(|\nabla f|\)，不是某个偏导。
  • 配套练习：求 \(z=\ln(x^2+y^2)\) 在点 \((1,1)\) 沿 \(l=(3,4)\) 的方向导数。（答案：\(\dfrac75\)）

5.2 梯度

  • 是什么/定义：梯度 \(\operatorname{grad}f=\nabla f=(f_x,f_y)\)（三元为 \((f_x,f_y,f_z)\)）。
  • 性质/公式：
  • 梯度方向是函数值增长最快的方向，其模 \(|\nabla f|\) 是最大方向导数；
  • 方向导数 = 梯度与方向单位向量的点积：\(\dfrac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\vec{l}\)。
  • 怎么考：①求梯度；②求增长最快方向与最大变化率；③沿指定方向的变化率。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(u=x^2+y^2+z^2\) 在 \((1,1,1)\) 的梯度及最大方向导数。
    • 解：\(\nabla u=(2x,2y,2z)=(2,2,2)\)；最大方向导数 \(=|\nabla u|=\sqrt{4+4+4}=\boxed{2\sqrt3}\)，增长最快方向为 \(\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt3}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 在点 \((1,2)\) 沿梯度方向的方向导数。
    • 解：\(\nabla f=(2,4)\)，沿梯度方向单位向量 \(\dfrac{(1,2)}{\sqrt5}\)，方向导数 \(=\nabla f\cdot\dfrac{(1,2)}{\sqrt5}=\dfrac{2\cdot1+4\cdot2}{\sqrt5}=\boxed{2\sqrt5}\)（即 \(|\nabla f|=\sqrt{20}\)）。
  • 易错坑点：梯度方向是增长最快方向（负梯度才是下降最快）；方向导数必须用单位方向向量点积。
  • 配套练习：求 \(f(x,y)=x^2y\) 在 \((1,1)\) 的梯度及最大方向导数。（答案：\(\nabla f=(2,1)\)，最大方向导数 \(\sqrt5\)）

六、多元函数的极值与最值

6.1 无条件极值

  • 是什么/定义：在点 \((x_0,y_0)\) 某邻域内恒有 \(f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\)（极小）或 \(f(x,y)\le f(x_0,y_0)\)（极大）。
  • 性质/公式：
  • 必要条件：可导函数在极值点处 \(f_x=0\) 且 \(f_y=0\)（驻点）；
  • 充分条件：设 \((x_0,y_0)\) 为驻点，记 \(A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy},\Delta=AC-B^2\)：
    • \(\Delta>0\) 且 \(A>0\) → 极小值；\(\Delta>0\) 且 \(A<0\) → 极大值；\(\Delta<0\) → 不是极值（鞍点）；\(\Delta=0\) → 判别法失效。
  • 怎么考：①求无条件极值；②\(\Delta=0\) 失效情形；③应用题求最值。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-3y\) 的极值。
    • 解：\(f_x=2x+y-3\)，\(f_y=x+2y-3\)，令其为零解 \(\begin{cases}2x+y=3\\ x+2y=3\end{cases}\) 得驻点 \((1,1)\)。二阶偏导 \(A=f_{xx}=2\)，\(B=f_{xy}=1\)，\(C=f_{yy}=2\)，\(\Delta=AC-B^2=3>0\)，\(A>0\)，故 \(f(1,1)=1+1+1-3-3=-3\) 为极小值。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) 的极值。
    • 解：\(f_x=3x^2-3y\)，\(f_y=3y^2-3x\)，令为零得 \(x^2=y,\ y^2=x\)，代入得 \(x^4=x\Rightarrow x=0\) 或 \(1\)，驻点 \((0,0)\)、\((1,1)\)。\(f_{xx}=6x\)，\(f_{xy}=-3\)，\(f_{yy}=6y\)。
    • 在 \((0,0)\)：\(A=0,B=-3,C=0\)，\(\Delta=-9<0\)，不是极值（鞍点）；
    • 在 \((1,1)\)：\(A=6,B=-3,C=6\)，\(\Delta=36-9=27>0\)，\(A>0\)，故 \(f(1,1)=1+1-3=-1\) 为极小值。
  • 易错坑点：\(\Delta=0\) 时判别法失效，需另法判断；驻点只是候选点，必须再用 \(A,B,C,\Delta\) 判别。
  • 配套练习：求 \(f(x,y)=x^2+y^2-2x\) 的极值。（答案：极小值 \(-1\)，在 \((1,0)\) 取得）

6.2 条件极值与拉格朗日乘数法

  • 是什么/定义：在约束 \(\varphi(x,y)=0\)（或 \(\varphi(x,y,z)=0\)）下求 \(f\) 的极值。
  • 性质/公式（拉格朗日乘数法）：构造 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)，令
    \[\frac{\partial L}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial\lambda}=\varphi(x,y)=0\]
    解出驻点即为条件极值候选点；多约束时逐一对每个变量和每个乘子求偏导令其为零。
  • 怎么考：①一个约束下的条件极值；②多约束（数一）；③最值应用题。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】在约束 \(x+y=1\) 下求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 的最小值。
    • 解：令 \(L=x^2+y^2+\lambda(x+y-1)\)。\(L_x=2x+\lambda=0\)，\(L_y=2y+\lambda=0\)，得 \(x=y=-\dfrac\lambda2\)；代入 \(x+y=1\) 得 \(x=y=\dfrac12\)。故 \(f\left(\dfrac12,\dfrac12\right)=\dfrac12\) 为最小值（几何上即原点到直线 \(x+y=1\) 的距离平方）。
  • 【例2·真题】2008年·数一·第17题(12分)：已知曲线 \(C:\begin{cases}x^2+y^2-2z^2=0\\ x+y+3z=5\end{cases}\)，求 \(C\) 上距离 \(xOy\) 面最远的点和最近的点。
    • 解：距离 \(xOy\) 面即 \(|z|\)，等价于在两条约束下求 \(z^2\) 的最值。令
      \[L=z^2+\lambda(x^2+y^2-2z^2)+\mu(x+y+3z-5).\]
      \[\begin{cases}L_x=2\lambda x+\mu=0\\ L_y=2\lambda y+\mu=0\\ L_z=2z-4\lambda z+3\mu=0\end{cases}\]
      由前两式 \(2\lambda(x-y)=0\)，即 \(\lambda=0\) 或 \(x=y\)。
    • 若 \(\lambda=0\)：由 \(L_x=0\) 得 \(\mu=0\)，再由 \(L_z=0\) 得 \(z=0\)，代入两约束得 \(x^2+y^2=0\) 与 \(x+y=5\)，矛盾，舍去；
    • 若 \(x=y\)：代入 \(x^2+y^2-2z^2=0\) 得 \(x^2=z^2\)，即 \(x=\pm z\)；再代入 \(x+y+3z=5\)：当 \(x=z\) 时 \(2z+3z=5\Rightarrow z=1\)，得点 \((1,1,1)\)；当 \(x=-z\) 时 \(-2z+3z=5\Rightarrow z=5\)，得点 \((-5,-5,5)\)。
      故最远点 \(\boxed{(-5,-5,5)}\)、最近点 \(\boxed{(1,1,1)}\)。
  • 易错坑点：约束方程本身（\(\partial L/\partial\lambda=0\)）就是约束条件，别忘了；求最值时候选点要逐点代入比较函数值，不能只看是不是极值。
  • 配套练习：在约束 \(x^2+y^2=1\) 下求 \(f(x,y)=x+y\) 的最大值与最小值。（答案：最大值 \(\sqrt2\)，最小值 \(-\sqrt2\)）

6.3 有界闭区域上的最值

  • 是什么/定义：在平面有界闭区域 \(D\) 上求 \(f\) 的最大值、最小值。
  • 性质/公式（步骤）：①求 \(D\) 内部的驻点并算函数值；②在边界上求条件极值（用乘数法或把边界参数化化为一元问题）；③比较所有候选值取最大/最小。
  • 怎么考：①有界闭区域最值应用题；②内部驻点 + 边界条件极值联合求最值。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 在圆盘 \(x^2+y^2\le1\) 上的最值。
    • 解：内部驻点：\(f_x=2x=0,f_y=2y=0\) 得 \((0,0)\)，\(f=0\)；边界 \(x^2+y^2=1\) 上 \(f=1\)（常数）。故最小值 \(\boxed{0}\)、最大值 \(\boxed{1}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(f(x,y)=x^2-y^2\) 在圆盘 \(x^2+y^2\le1\) 上的最值。
    • 解：内部驻点 \((0,0)\)，\(f=0\)；边界 \(x^2+y^2=1\) 上 \(f=x^2-y^2=2x^2-1\)，其中 \(x^2\in[0,1]\)，故边界上最大 \(2\cdot1-1=1\)（\(x=\pm1,y=0\)）、最小 \(2\cdot0-1=-1\)（\(x=0,y=\pm1\)）。综上最大值 \(\boxed{1}\)、最小值 \(\boxed{-1}\)。
  • 易错坑点：最值要同时看内部驻点与边界，只算驻点会漏掉边界上的最值。
  • 配套练习：求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 在正方形 \([0,1]\times[0,1]\) 上的最值。（答案：最小值 \(0\) 在 \((0,0)\)，最大值 \(2\) 在 \((1,1)\)）

七、微分法的几何应用（数一重点，几乎每年必考）

7.1 空间曲线的切线与法平面

  • 是什么/定义：空间曲线 \(\Gamma\) 在点 \(M_0\) 处的切线方向向量称为切向量；过 \(M_0\) 且垂直于切线的平面称为法平面。
  • 性质/公式：
  • 参数式 \(\Gamma:x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)：切向量 \(T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\)。
    • 切线方程：\(\dfrac{x-x_0}{x'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{y'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{z'(t_0)}\)；
    • 法平面方程：\(x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0\)。
  • 一般式 \(\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}\)（两曲面交线）：切向量 \(T=\nabla F\times\nabla G\)（两个曲面法向量的叉积）。
  • 怎么考：①参数式曲线求切线、法平面；②一般式（两曲面交线）求切向量（数一常考）；③给切线方向反求参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求曲线 \(x=t,\ y=t^2,\ z=t^3\) 在 \(t=1\)（即点 \((1,1,1)\)）处的切线与法平面方程。
    • 解：\(x'=1,\ y'=2t,\ z'=3t^2\)，在 \(t=1\) 处切向量 \(T=(1,2,3)\)。切线：\(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}\)；法平面：\((x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0\)，即 \(x+2y+3z-6=0\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】求曲线 \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6\\ x+y+z=0\end{cases}\) 在点 \((1,1,-2)\) 处的切线与法平面方程。
    • 解：令 \(F=x^2+y^2+z^2-6,\ G=x+y+z\)。\(\nabla F=(2x,2y,2z)=(2,2,-4)\)，\(\nabla G=(1,1,1)\)。切向量
      \[T=\nabla F\times\nabla G=\big(2\cdot1-(-4)\cdot1,\ (-4)\cdot1-2\cdot1,\ 2\cdot1-2\cdot1\big)=(6,-6,0)\parallel(1,-1,0).\]
      切线（方向 \((1,-1,0)\)，注意 \(z\) 分量为 \(0\)，故 \(z=-2\) 固定）：\(\begin{cases}x+y=2\\ z=-2\end{cases}\)；法平面：\((x-1)-(y-1)=0\)，即 \(x=y\)。
  • 易错坑点：一般式曲线的切向量是两个曲面法向量的叉积 \(\nabla F\times\nabla G\)，不是单个 \(\nabla F\)；切线方程中某分量为 \(0\) 时，该坐标固定（如 \(z=-2\)），不能写成「除以 0」。
  • 配套练习：求曲线 \(x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=t\) 在 \(t=\dfrac\pi2\)（点 \((0,1,\frac\pi2)\)）处的切向量。（答案：\(T=(-1,0,1)\)）

7.2 曲面的切平面与法线

  • 是什么/定义：曲面在点 \(M_0\) 处的法向量 \(\vec n\) 垂直于曲面在该点的切平面；过 \(M_0\) 且以 \(\vec n\) 为方向向量的直线为法线。
  • 性质/公式：
  • 曲面 \(z=f(x,y)\)：法向量 \(\vec n=(-f_x,-f_y,1)\)（或 \((f_x,f_y,-1)\)）。
    • 切平面：\(z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)；
    • 法线：\(\dfrac{x-x_0}{-f_x}=\dfrac{y-y_0}{-f_y}=\dfrac{z-z_0}{1}\)。
  • 曲面 \(F(x,y,z)=0\)：法向量 \(\vec n=\nabla F=(F_x,F_y,F_z)\)。
    • 切平面：\(F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0\)；
    • 法线：\(\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}\)。
  • 怎么考：①求曲面在某点的切平面、法线方程；②求与已知平面平行的切平面（数一经典）；③由法线/切平面反求切点或参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求曲面 \(z=x^2+y^2\) 在点 \((1,2,5)\) 处的切平面与法线方程。
    • 解：\(f_x=2x=2\)，\(f_y=2y=4\)。切平面：\(z-5=2(x-1)+4(y-2)\)，即 \(\boxed{2x+4y-z=5}\)；法线：\(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{-4}=\dfrac{z-5}{1}\)。
  • 【例2·真题】2000年·数一·填空(3分)：曲面 \(x^2+2y^2+3z^2=21\) 在点 \((1,-2,2)\) 的法线方程为____。
    • 解：令 \(F=x^2+2y^2+3z^2-21\)，\(\nabla F=(2x,4y,6z)=(2,-8,12)\parallel(1,-4,6)\)。法线方程 \(\boxed{\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-2}{6}}\)。
  • 【例3·真题】2003年·数一·填空(4分)：曲面 \(z=x^2+y^2\) 与平面 \(2x+4y-z=0\) 平行的切平面方程是____。
    • 解：令 \(F=z-x^2-y^2\)，法向量 \((-2x,-2y,1)\) 应与 \((2,4,-1)\) 成比例，得 \(\dfrac{-2x}{2}=\dfrac{-2y}{4}=\dfrac1{-1}\)，解得 \(x=1,\ y=2\)，切点 \(z_0=1^2+2^2=5\)。切平面：\(2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0\)，即 \(\boxed{2x+4y-z=5}\)。
  • 易错坑点：\(z=f(x,y)\) 与 \(F(x,y,z)=0\) 的法向量公式不同，别混用；法向量可取相反方向（同一直线）；「与已知平面平行」意味着法向量成比例而非相等。
  • 配套练习：求曲面 \(z=xy\) 在点 \((1,1,1)\) 处的切平面方程。（答案：\(x+y-z=1\)）

配套练习（本章综合）

  1. 设 \(z=x^2y+xy^2\)，求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\)。（答案：\(2x+2y\)）
  2. 设 \(x^2+y^2+z^2=1\) 确定 \(z=z(x,y)\)，求 \(dz\)。（答案：\(dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{z}\)）
  3. 求 \(z=x^2+y^2\) 在点 \((1,2)\) 沿方向 \(l=(-1,2)\) 的方向导数。（答案：\(\dfrac6{\sqrt5}\)）
  4. （2003年·数一·填空）曲面 \(z=x^2+y^2\) 与平面 \(2x+4y-z=0\) 平行的切平面方程。（答案：\(2x+4y-z=5\)）
  5. 求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 在约束 \(x+y=1\) 下的最小值。（答案：\(\dfrac12\)）

学完本章的检验标准

  1. 能正确求多元函数的偏导数（含高阶偏导）和全微分，判断可微性。
  2. 能熟练使用链式法则求多元复合函数的一、二阶偏导，不漏项。
  3. 会由隐函数方程 \(F(x,y)=0\)、\(F(x,y,z)=0\) 及方程组求 \(dy/dx\)、\(\partial z/\partial x\)、\(\partial z/\partial y\)、\(\partial u/\partial x\) 等。
  4. 会求方向导数与梯度，并能用单位向量求最大变化率、增长最快方向。
  5. 能用 \(\Delta=AC-B^2\) 判别法求无条件极值，用拉格朗日乘数法求条件极值与最值。
  6. 能理清「偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续」及「可微 ⇒ 偏导存在」的关系链。
  7. 能求空间曲线的切线与法平面（参数式/一般式）、曲面的切平面与法线（\(z=f(x,y)\) 与 \(F(x,y,z)=0\)）。

全部达到后，进入第6章「多元函数积分学」（二重/三重积分、曲线/曲面积分与三大公式）。