第6章「多元函数积分学」讲义

本章把定积分推广到「重积分」（二重、三重）与「线面积分」（曲线、曲面积分），并以格林、高斯、斯托克斯三大公式为枢纽串联各类积分。这是数一独有的难点与高频考点。
前置知识：第3章「一元函数积分学」（定积分计算）、第4章「向量代数与空间解析几何」（曲面与空间曲线方程）、第5章「多元函数微分学」（偏导数、链式法则、方向导数）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

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一、二重积分

1.1 二重积分的概念与性质

• 是什么/定义：∬_D f(x,y)dσ = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ，是曲面 z=f(x,y) 下「曲顶柱体」体积的极限。
• 性质/公式：
• 几何意义：f(x,y)≥0 时表示以 D 为底、z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体体积；
• 线性：∬(k₁f+k₂g)=k₁∬f+k₂∬g；区域可加：D=D₁∪D₂（不相交）⇒ ∬D=∬；}+∬_{D₂
• 保号性、估值不等式；
• 中值定理：f 在闭区域 D 连续 ⇒ 存在 (ξ,η)∈D，使 ∬_D f dσ = f(ξ,η)·σ(D)；
• 对称性（常考，能大幅简化）：D 关于 y 轴对称且 f 关于 x 为奇函数 ⇒ 积分为 0，偶函数 ⇒ 2 倍半侧积分；D 关于 x 轴对称同理；轮换对称：D 关于 y=x 对称 ⇒ ∬f(x,y)dσ=∬f(y,x)dσ。
• 怎么考：①比较两个二重积分的大小、判断符号；②用对称性把复杂积分「约掉一半」或直接得 0；③用中值定理估值。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(D:x^2+y^2\le 1\)，求 \(\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma\)。
  • 解：D 关于 x 轴、y 轴都对称，而被积函数 \(xy\) 关于 \(x\)（也关于 \(y\)）都是奇函数，故由对称性 \(\iint_D xy\,d\sigma=\boxed{0}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】设 \(D:x^2+y^2\le 1\)，比较 \(I_1=\iint_D(x^2+y^2)d\sigma\) 与 \(I_2=\iint_D(x^2+y^2)^2d\sigma\) 的大小。
  • 解：在 D 上 \(0\le x^2+y^2\le 1\)，故 \(x^2+y^2\ge(x^2+y^2)^2\)，由保号性得 \(I_1\ge I_2\)（等号仅在圆周 \(x^2+y^2=1\) 上取到，故严格大于）。
• 易错坑点：对称性只有当「区域关于该轴对称」且「被积函数关于该变量为奇/偶」两条同时成立时才可用；不画草图、误判对称性是常见丢分点。
• 配套练习：设 D 关于 y 轴对称，f 关于 x 为偶函数，写出 ∬D f dσ 与 ∬ f dσ 的关系。（答案：前者 = 2×后者）

1.2 二重积分的计算——直角坐标

• 是什么/定义：把二重积分化为两次定积分（累次积分）。
• 性质/公式：
• X 型（先 y 后 x）：D: a≤x≤b, φ₁(x)≤y≤φ₂(x)
  \[\iint_D f\,d\sigma=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\]
• Y 型（先 x 后 y）：D: c≤y≤d, ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)
  \[\iint_D f\,d\sigma=\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx\]
• 怎么考：①给区域和被积函数选积分次序并计算；②交换积分次序（先画图再换限）；③被积函数含 |·|、max、分段时拆区域分别积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(D:0\le x\le 1,\ 0\le y\le x\)，求 \(\displaystyle\iint_D x\,d\sigma\)。
  • 解：\(\iint_D x\,d\sigma=\int_0^1 dx\int_0^x x\,dy=\int_0^1 x\cdot x\,dx=\int_0^1 x^2 dx=\boxed{\dfrac13}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】交换积分次序 \(\displaystyle\int_0^1 dy\int_y^1 f(x,y)\,dx\)。
  • 解：区域为 \(0\le y\le 1,\ y\le x\le 1\)，画图得 \(0\le x\le 1,\ 0\le y\le x\)，故化为 \(\displaystyle\int_0^1 dx\int_0^x f(x,y)\,dy\)。
• 易错坑点：内层积分限是外层变量的函数、外层积分限是常数；交换次序必须先画区域草图再重新定限。
• 配套练习：设 \(D:0\le y\le 1,\ y\le x\le 1\)，求 \(\displaystyle\iint_D (x+y)\,d\sigma\)。（答案：\(\dfrac12\)）

1.3 二重积分的计算——极坐标

• 是什么/定义：x=r cosθ, y=r sinθ，面积元 dσ = r dr dθ。
• 性质/公式：
  \[\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\]
• 圆心在原点半径 R 的圆：0≤θ≤2π, 0≤r≤R；偏圆 x²+y²≤2ax：−π/2≤θ≤π/2, 0≤r≤2a cosθ。
• 怎么考：被积函数含 x²+y² 或区域为圆/圆环/扇形/含圆部分时用极坐标；常与对称性联用。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(D:x^2+y^2\le a^2\)，求 \(\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,d\sigma\)。
  • 解：用极坐标 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)，面积元 \(d\sigma=r\,dr\,d\theta\)，区域为 \(0\le\theta\le2\pi,\ 0\le r\le a\)：
    \[\iint_D(x^2+y^2)d\sigma=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a r^2\cdot r\,dr=2\pi\cdot\frac{a^4}{4}=\boxed{\frac{\pi a^4}{2}}.\]
• 【例2·真题风格·自编题】设 D 为 \(x^2+y^2\le 1\) 在第一象限的部分，求 \(\displaystyle\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,d\sigma\)。
  • 解：极坐标 \(0\le\theta\le\pi/2,\ 0\le r\le 1\)，\(\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,d\sigma=\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^1 r\cdot r\,dr=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac13=\boxed{\dfrac{\pi}{6}}\)。
• 易错坑点：极坐标面积元是 \(d\sigma=r\,dr\,d\theta\)，r 最易漏写；偏圆/相切圆的 θ、r 范围要画图确定。
• 配套练习：设 \(D:x^2+y^2\le 2x\)，求 \(\displaystyle\iint_D d\sigma\)。（答案：\(\pi\)）

1.4 二重积分的应用

• 是什么/定义：用二重积分求平面图形的几何量与物理量。
• 性质/公式：
• 面积：σ(D)=∬_D 1 dσ；体积：V=∬_D f(x,y)dσ（曲顶柱体）；
• 曲面面积：曲面 z=f(x,y) 在 D 上面积 \(S=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,d\sigma\)；
• 质心（形心）：\(\bar x=\dfrac1M\iint_D x\rho\,d\sigma\)，\(\bar y=\dfrac1M\iint_D y\rho\,d\sigma\)，\(M=\iint_D\rho\,d\sigma\)（均匀时 ρ=1）；
• 转动惯量：\(I_x=\iint_D y^2\rho\,d\sigma\)，\(I_y=\iint_D x^2\rho\,d\sigma\)，\(I_O=\iint_D(x^2+y^2)\rho\,d\sigma\)。
• 怎么考：①求平面区域面积、曲顶柱体体积；②求曲面面积；③求均匀薄片的质心/转动惯量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求曲面 \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) 与 xOy 面所围半球的体积。
  • 解：\(V=\iint_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,d\sigma\)，极坐标 \(=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a\sqrt{a^2-r^2}\,r\,dr=2\pi\cdot\dfrac{a^3}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi a^3}{3}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求均匀圆盘 \(D:x^2+y^2\le a^2\) 的形心坐标。
  • 解：D 关于原点对称，故形心在原点 \(\boxed{(0,0)}\)。
• 易错坑点：曲面面积公式里 \(\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\) 别漏；质心/转动惯量要除以总质量 M（均匀时 M=面积）。
• 配套练习：求曲面 \(z=x^2+y^2\) 在 \(D:x^2+y^2\le 1\) 上的面积 S。（答案：\(\dfrac{\pi(5\sqrt5-1)}{6}\)）

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二、三重积分

2.1 概念与性质

• 是什么/定义：∭_Ω f(x,y,z)dv，f=1 时即区域 Ω 的体积。
• 性质/公式：线性、区域可加；对称性（关于坐标面、坐标轴、轮换对称，与二重类似）。
• 怎么考：①用对称性化简或直接得 0；②f=1 求体积；③比较/估值。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le 1\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega z\,dv\)。
  • 解：Ω 关于 xOy 面对称，被积函数 z 关于 z 为奇函数，故 \(\iiint_\Omega z\,dv=\boxed{0}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】设 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le 1\)，利用轮换对称性求 \(\displaystyle\iiint_\Omega x^2\,dv\)。
  • 解：由轮换对称性 \(\iiint x^2dv=\iiint y^2dv=\iiint z^2dv=\dfrac13\iiint(x^2+y^2+z^2)dv=\dfrac13\cdot\dfrac{4\pi}{5}=\boxed{\dfrac{4\pi}{15}}\)。
• 易错坑点：对称性结论只在「区域对称 + 被积函数奇偶匹配」时成立。
• 配套练习：设 Ω 关于 xOy 面对称，f 关于 z 为奇函数，求 ∭_Ω f dv。（答案：0）

2.2 直角坐标计算（投影法/截面法）

• 是什么/定义：投影法（先 z 后 xy）与截面法（先 xy 后 z）把三重积分化为累次积分。
• 性质/公式：
• 投影法（先 z 后 xy）：Ω 在 xOy 面投影为 D，z 从 z₁(x,y) 到 z₂(x,y)
  \[\iiint_\Omega f\,dv=\iint_D dx\,dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f\,dz\]
• 截面法（先 xy 后 z）：用平行于 xOy 的平面截 Ω 得截面 D_z
  \[\iiint_\Omega f\,dv=\int_{z_1}^{z_2} dz\iint_{D_z} f\,dx\,dy\]
• 怎么考：①给积分区域选投影法或截面法计算；②交换累次积分次序；③被积函数只依赖 z 时用截面法。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\Omega:0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le xy\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega z\,dv\)。
  • 解：\(\iiint_\Omega z\,dv=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^{xy} z\,dz=\int_0^1 dx\int_0^1 \dfrac{x^2y^2}{2}\,dy=\int_0^1 \dfrac{x^2}{6}\,dx=\boxed{\dfrac{1}{18}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】设 Ω 由平面 x+y+z=1 与三个坐标面围成，求 Ω 的体积。
  • 解：投影 D: \(x\ge0,y\ge0,x+y\le1\)，\(V=\iint_D(1-x-y)d\sigma=\int_0^1 dx\int_0^{1-x}(1-x-y)dy=\int_0^1\dfrac{(1-x)^2}{2}dx=\boxed{\dfrac16}\)。
• 易错坑点：投影法先找 Ω 在坐标面的投影区域，再定 z 的上下曲面；积分限写反是最大丢分点。
• 配套练习：设 Ω: 0≤z≤1，截面 D_z 为 \(x^2+y^2\le z\)，用截面法求 Ω 的体积。（答案：\(\dfrac{\pi}{2}\)）

2.3 柱面坐标

• 是什么/定义：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，体积元 dv = r dr dθ dz。
• 性质/公式：适用于区域或被积函数关于 x²+y² 呈旋转对称（圆柱体、圆锥、旋转抛物面）。
• 怎么考：①圆柱/圆锥/旋转抛物面区域的三重积分；②与直角坐标互化；③求体积、质心。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\Omega:x^2+y^2\le 1,\ 0\le z\le 2\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2)\,dv\)。
  • 解：柱坐标 \(\iiint(x^2+y^2)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dr\int_0^2 r^2\cdot r\,dz=2\pi\cdot\dfrac14\cdot 2=\boxed{\pi}\)。
• 【例2·真题】2010年·数一·填空第12题(4分)：设 \(\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 1\}\)，则 Ω 的形心竖坐标 \(\bar z=\) ______。
  • 解：\(\bar z=\dfrac{\iiint_\Omega z\,dv}{\iiint_\Omega dv}\)。柱坐标下 \(0\le\theta\le2\pi,\ 0\le r\le1,\ r^2\le z\le1\)：
    \[\iiint_\Omega dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dr\int_{r^2}^1 r\,dz=2\pi\int_0^1 r(1-r^2)dr=2\pi\Big(\frac12-\frac14\Big)=\frac{\pi}{2},\]
    \[\iiint_\Omega z\,dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dr\int_{r^2}^1 z\,r\,dz=2\pi\int_0^1 r\cdot\frac{1-r^4}{2}dr=\pi\Big(\frac12-\frac16\Big)=\frac{\pi}{3}.\]
    故 \(\bar z=\dfrac{\pi/3}{\pi/2}=\boxed{\dfrac23}\)。
• 易错坑点：柱坐标体积元 dv=r dr dθ dz，r 别漏；z 的上下限常是 r 的函数（如抛物面 z=r²）。
• 配套练习：设 Ω 为圆柱体 \(x^2+y^2\le a^2,\ 0\le z\le h\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega dv\)。（答案：\(\pi a^2h\)）

2.4 球面坐标

• 是什么/定义：x=r sinφ cosθ, y=r sinφ sinθ, z=r cosφ，体积元 dv = r² sinφ dr dφ dθ。
• 性质/公式：r≥0（到原点距离），0≤φ≤π（与 z 轴正方向夹角），0≤θ≤2π；适用于球、球壳、含 x²+y²+z² 的项。
• 怎么考：①球/球壳区域的三重积分；②含 x²+y²+z² 的被积函数；③与轮换对称联用。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le R^2\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega dv\)（球体积）。
  • 解：\(V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^R r^2\sin\varphi\,dr=2\pi\cdot 2\cdot\dfrac{R^3}{3}=\boxed{\dfrac{4\pi R^3}{3}}\)。
• 【例2·真题】2009年·数一·填空第12题(4分)：设 \(\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}\)，则 \(\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,dx\,dy\,dz=\) ______。
  • 解：\(\iiint_\Omega z^2 dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^1 (r\cos\varphi)^2\cdot r^2\sin\varphi\,dr=2\pi\int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi\cdot\int_0^1 r^4\,dr\)。其中 \(\int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\Big[-\dfrac{\cos^3\varphi}{3}\Big]_0^\pi=\dfrac23\)，\(\int_0^1 r^4dr=\dfrac15\)，故原式 \(=2\pi\cdot\dfrac23\cdot\dfrac15=\boxed{\dfrac{4\pi}{15}}\)。
• 易错坑点：体积元是 r² sinφ（r² 与 sinφ 都别漏）；φ∈[0,π]、θ∈[0,2π] 别写反。
• 配套练习：设 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le R^2\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)dv\)。（答案：\(\dfrac{4\pi R^5}{5}\)）

2.5 三重积分的应用

• 是什么/定义：用三重积分求空间体的体积、质量、质心、转动惯量。
• 性质/公式：体积 V=∭_Ω 1 dv；质量 M=∭_Ω ρ dv；质心 \(\bar x=\dfrac1M\iiint_\Omega x\rho\,dv\)（y、z 同理）；转动惯量 \(I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho\,dv\) 等。
• 怎么考：①求体积；②均匀体的质心；③对坐标轴的转动惯量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求球体 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le R^2\) 关于 z 轴的转动惯量 \(I_z\)（密度 ρ=1）。
  • 解：\(I_z=\iiint(x^2+y^2)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^R(r\sin\varphi)^2\cdot r^2\sin\varphi\,dr=2\pi\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi\cdot\int_0^R r^4dr=2\pi\cdot\dfrac43\cdot\dfrac{R^5}{5}=\boxed{\dfrac{8\pi R^5}{15}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求均匀球体 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le R^2\) 的质心。
  • 解：Ω 关于原点对称，故质心在球心 \(\boxed{(0,0,0)}\)。
• 易错坑点：质心要除以总质量 M；转动惯量注意对哪根轴（\(I_z\) 用 x²+y²，\(I_x\) 用 y²+z²）。
• 配套练习：求球体 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le R^2\) 的质量（密度 ρ=1）。（答案：\(\dfrac{4\pi R^3}{3}\)）

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三、曲线积分

3.1 第一类曲线积分（对弧长）

• 是什么/定义：∫_L f(x,y)ds，ds 为弧长微元，与曲线方向无关（无方向性）。
• 性质/公式：
• 参数方程 x=φ(t), y=ψ(t)：\(ds=\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\,dt\)，\(\int_L f\,ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\,dt\)；
• y=y(x)：\(ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx\)；极坐标 ρ=ρ(θ)：\(ds=\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,d\theta\)；
• 空间曲线 x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t)：\(ds=\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2+\omega'^2}\,dt\)。
• 怎么考：①化定积分求对弧长积分；②求曲线形构件的质量/重心；③空间曲线的对弧长积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 L 为圆周 \(x^2+y^2=R^2\) 的上半部分，求 \(\displaystyle\int_L(x^2+y^2)\,ds\)。
  • 解：在 L 上 \(x^2+y^2=R^2\) 为常数，故 \(\int_L(x^2+y^2)ds=R^2\int_L ds=R^2\cdot(\text{半圆周长})=R^2\cdot\pi R=\boxed{\pi R^3}\)。
• 【例2·真题】2018年·数一·填空第12题(4分)：设 L 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 与平面 \(x+y+z=0\) 的交线，则 \(\displaystyle\int_L xy\,ds=\) ______。
  • 解：在 L 上 \(x+y+z=0\)，平方得 \(x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=0\)，代入 \(x^2+y^2+z^2=1\) 得 \(xy+xz+yz=-\dfrac12\)。L 关于 x、y、z 轮换对称，故 \(\int_L xy\,ds=\int_L xz\,ds=\int_L yz\,ds\)，三者之和 \(=\int_L(xy+xz+yz)ds=\int_L\Big(-\dfrac12\Big)ds=-\dfrac12\cdot 2\pi=-\pi\)（L 是单位球上的大圆，周长 \(2\pi\)），故 \(\int_L xy\,ds=\boxed{-\dfrac{\pi}{3}}\)。
• 易错坑点：第一类积分没有方向，下限恒小于上限（按参数递增方向）；空间曲线 ds 别漏 z 的导数项。
• 配套练习：设 L 为抛物线 \(y=\dfrac{x^2}{2}\) 上 \(0\le x\le 1\) 的一段，求 \(\displaystyle\int_L x\,ds\)。（答案：\(\dfrac{2\sqrt2-1}{3}\)）

3.2 第二类曲线积分（对坐标）

• 是什么/定义：∫_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy，与方向有关（沿曲线指定方向），反向取负。
• 性质/公式：
• 参数方程 x=φ(t), y=ψ(t)，t 从 α（起点）到 β（终点）：
  \[\int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi,\psi)\varphi'(t)+Q(\varphi,\psi)\psi'(t)\right]dt\]
• y=y(x)（x 从 a 到 b）：\(\int_L Pdx+Qdy=\int_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]dx\)。
• 怎么考：①沿指定方向的参数化直接计算；②方向反了要变号；③与格林公式结合。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 L 为抛物线 \(y=x^2\) 上从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的一段，求 \(\displaystyle\int_L x\,dy-y\,dx\)。
  • 解：取 x 为参数，\(y=x^2,\ dy=2x\,dx\)，\(\int_L x\,dy-y\,dx=\int_0^1[x\cdot 2x-x^2]dx=\int_0^1 x^2 dx=\boxed{\dfrac13}\)。
• 【例2·真题】2025年·数一·填空第14题(5分)：已知有向曲线 L 是沿抛物线 \(y=1-x^2\) 从点 \((1,0)\) 到点 \((-1,0)\) 的一段，则 \(\displaystyle\int_L(y+\cos x)dx+(2x+\cos y)dy=\) ______。
  • 解：x 从 1 到 −1，\(y=1-x^2,\ dy=-2x\,dx\)，
    \[I=\int_1^{-1}\big[(1-x^2+\cos x)+(2x+\cos(1-x^2))(-2x)\big]dx=\int_1^{-1}\big[1-5x^2+\cos x-2x\cos(1-x^2)\big]dx.\]
    其中 \(\int_1^{-1}(1-5x^2)dx=\Big[x-\dfrac{5x^3}{3}\Big]_1^{-1}=\dfrac43\)，\(\int_1^{-1}\cos x\,dx=-2\sin 1\)，而 \(\int_1^{-1}2x\cos(1-x^2)dx=0\)（令 \(u=1-x^2\)，上下限都变 0）。故 \(I=\boxed{\dfrac43-2\sin 1}\)。
• 易错坑点：上下限必须对应起点、终点（不是「下限<上限」），方向反了要变号。
• 配套练习：设 L 为从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的直线段 y=x，求 \(\displaystyle\int_L x\,dx+y\,dy\)。（答案：1）

3.3 两类曲线积分的关系

• 是什么/定义：设 L 切向单位向量 \(\vec\tau=(\cos\alpha,\cos\beta)\)（方向与积分方向一致），则
  \[\int_L P\,dx+Q\,dy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,ds\]
• 性质/公式：用于两类积分互化；cosα、cosβ 是切向单位向量的分量（不是法向）。
• 怎么考：①把对坐标积分化为对弧长积分（或反过来）；②由曲线方程求切向单位向量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 L 为正向单位圆周，求 \(\displaystyle\oint_L x\,dy-y\,dx\)。
  • 解：正向单位圆周的切向单位向量 \(\vec\tau=(-\sin\theta,\cos\theta)=(-y,x)\)（在 \(x^2+y^2=1\) 上），故 \(x\,dy-y\,dx=\big[x\cdot x-y\cdot(-y)\big]ds=(x^2+y^2)ds=ds\)，于是 \(\oint_L x\,dy-y\,dx=\oint_L ds=2\pi\)。
• 易错坑点：cosα、cosβ 是切向（不是法向）单位向量分量，且方向要与积分方向对应。
• 配套练习：设 L 为正向单位圆周，求 \(\displaystyle\oint_L y\,dx-x\,dy\)。（答案：\(-2\pi\)）

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四、格林公式与积分与路径无关

4.1 格林公式

• 是什么/定义：设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成（L 取正向，即沿 L 走时 D 在左侧），P、Q 在 D 上有连续一阶偏导，则
  \[\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma\]
• 性质/公式：闭合曲线第二类线积分 ↔ 二重积分；曲线不闭合时补线（补一段使闭合，再减掉补线上的积分）；D 内有奇点时挖洞绕开奇点。
• 怎么考：①闭曲线积分化为二重积分；②补线成闭；③挖洞绕奇点。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 L 为正向圆周 \(x^2+y^2=1\)，求 \(\displaystyle\oint_L(x-y)dx+(x+y)dy\)。
  • 解：\(P=x-y,\ Q=x+y\)，\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2\)，故 \(\oint_L=\iint_D 2\,d\sigma=2\cdot\pi=\boxed{2\pi}\)。
• 【例2·真题】2000年·数一·第五题(6分)：计算曲线积分 \(I=\displaystyle\oint_L\frac{x\,dy-y\,dx}{4x^2+y^2}\)，其中 L 是以点 \((1,0)\) 为中心、\(R\) 为半径的圆周 \((R>1)\)，取逆时针方向。
  • 解：\(P=-\dfrac{y}{4x^2+y^2},\ Q=\dfrac{x}{4x^2+y^2}\)，在 \((x,y)\ne(0,0)\) 处 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2)^2}\)。原点 \((0,0)\) 在 L 内部（因 \(R>1\)）是奇点，需挖去。作以原点为中心的小椭圆 \(C:\ x=\dfrac{\varepsilon}{2}\cos t,\ y=\varepsilon\sin t\)（即 \(4x^2+y^2=\varepsilon^2\)，逆时针）。由格林公式
    \[I=\oint_C\frac{x\,dy-y\,dx}{\varepsilon^2}=\int_0^{2\pi}\frac{\frac{\varepsilon}{2}\cos t\cdot\varepsilon\cos t-\varepsilon\sin t\cdot\left(-\frac{\varepsilon}{2}\sin t\right)}{\varepsilon^2}dt=\int_0^{2\pi}\frac12\,dt=\boxed{\pi}.\]
• 易错坑点：方向必须取正向（逆时针）；有奇点要挖洞，且结果与洞的形状大小无关。
• 配套练习：设 L 为正向圆周 \(x^2+y^2=4\)，求 \(\displaystyle\oint_L x\,dy-y\,dx\)。（答案：\(8\pi\)）

4.2 曲线积分与路径无关

• 是什么/定义：在单连通区域 D 内，∫_L Pdx+Qdy 只与起终点有关、与路径无关。
• 性质/公式（在单连通区域 D 内，以下四条等价，常考判断）：
  1. ∫_L Pdx+Qdy 与路径无关（只与起点、终点有关）；
  2. 沿 D 内任一闭曲线 ∮Pdx+Qdy=0；
  3. \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\) 在 D 内处处成立；
  4. 存在 u(x,y) 使 du=Pdx+Qdy（即 (P,Q) 是某函数的全微分/梯度场）。
• 怎么考：①判断是否路径无关；②已知路径无关反解参数；③换方便路径计算。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\int 2xy\,dx+x^2\,dy\) 是否与路径无关，并求 \(\displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,1)}2xy\,dx+x^2\,dy\)。
  • 解：\(P=2xy,\ Q=x^2\)，\(\dfrac{\partial P}{\partial y}=2x=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，故与路径无关。取折线 \((0,0)\to(1,0)\to(1,1)\)：第一段 \(y=0\) 积分 0，第二段 \(\int_0^1 1^2\,dy=1\)，故积分为 \(\boxed{1}\)。（即原函数 \(u=x^2y\)，\(u(1,1)-u(0,0)=1\)）
• 【例2·真题】2016年·数一·第17题(10分)：设函数 \(f(x,y)\) 满足 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x+1)e^{2x-y}\) 且 \(f(0,y)=y+1\)，\(L_t\) 是从点 \((0,0)\) 到点 \((1,t)\) 的光滑曲线，计算 \(I(t)=\displaystyle\int_{L_t}(2x+1)e^{2x-y}dx+(1-xe^{2x-y})dy\)，并求 \(I(t)\) 的最小值。
  • 解：令 \(P=(2x+1)e^{2x-y},\ Q=1-xe^{2x-y}\)，\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-(1+2x)e^{2x-y}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\)，故积分与路径无关，且 \(Pdx+Qdy=df\)。对 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) 关于 x 积分得 \(f=xe^{2x-y}+\varphi(y)\)，由 \(f(0,y)=y+1\) 得 \(\varphi(y)=y+1\)，故 \(f(x,y)=xe^{2x-y}+y+1\)。于是
    \[I(t)=f(1,t)-f(0,0)=(e^{2-t}+t+1)-1=t+e^{2-t}.\]
    求最小值：\(I'(t)=1-e^{2-t}=0\Rightarrow t=2\)，且 \(I''(t)=e^{2-t}>0\)，故最小值为 \(I(2)=2+1=\boxed{3}\)。
• 易错坑点：\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\) 只在单连通区域保证路径无关；区域有洞（奇点）时结论失效。
• 配套练习：判断 \(\int(3x^2y)dx+x^3dy\) 是否与路径无关，并求原函数。（答案：是，原函数 \(u=x^3y\)）

4.3 全微分求积（与路径无关的应用）

• 是什么/定义：验证 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\) 后，用折线积分求 u，使 du=Pdx+Qdy，从而 \(\int_A^B Pdx+Qdy=u(B)-u(A)\)。
• 性质/公式：
  \[u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)\,dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)\,dy\]
• 怎么考：①判断 Pdx+Qdy 是某函数全微分；②求原函数；③求 ∫_A^B Pdx+Qdy。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \((2xy)dx+(x^2)dy\) 的原函数 u。
  • 解：\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x=\dfrac{\partial P}{\partial y}\)，取 \((x_0,y_0)=(0,0)\)：\(u=\int_0^x 0\,dx+\int_0^y x^2\,dy=x^2y\)。
• 易错坑点：折线积分第一步把 y 固定为 \(y_0\)（常数）代入 P；第二步代入 \(Q(x,y)\)（此时 x 已固定）。
• 配套练习：求 \((e^y)dx+(xe^y)dy\) 的原函数，并求 \(\displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,1)}\)。（答案：\(u=xe^y\)，积分 \(=e\)）

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五、曲面积分

5.1 第一类曲面积分（对面积）

• 是什么/定义：∬_Σ f(x,y,z)dS，与曲面侧向无关。
• 性质/公式：若 Σ: z=z(x,y)，投影到 xOy 面为 \(D_{xy}\)，则
  \[\iint_\Sigma f\,dS=\iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy\]
  （投影到 yOz、zOx 面时同理换变量）。
• 怎么考：①化二重积分求对面积积分；②求曲面形构件的质量；③求曲面面积（f=1）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 Σ 为平面 \(z=1\) 上的圆域 \(x^2+y^2\le 1\)，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma(x^2+y^2)dS\)。
  • 解：\(z=1\)，\(z_x=z_y=0\)，\(dS=dxdy\)，\(\iint_\Sigma(x^2+y^2)dS=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\cdot r\,dr=2\pi\cdot\dfrac14=\boxed{\dfrac{\pi}{2}}\)。
• 【例2·真题】1995年·数一·计算题(四(1))：计算曲面积分 \(I=\displaystyle\iint_\Sigma z\,dS\)，其中 Σ 为锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 在柱体 \(x^2+y^2\le 2x\) 内的部分。
  • 解：\(z_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ z_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，\(dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy=\sqrt2\,dxdy\)。投影 \(D:x^2+y^2\le 2x\)，极坐标 \(r\le 2\cos\theta,\ \theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\)：
    \[I=\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt2\,dxdy=\sqrt2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r\cdot r\,dr=\sqrt2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{8\cos^3\theta}{3}d\theta=\frac{8\sqrt2}{3}\cdot\frac43=\boxed{\frac{32\sqrt2}{9}}.\]
• 易错坑点：\(dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy\) 的根号别漏；投影区域要正确。
• 配套练习：求球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 的表面积（提示：上半球 \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\)，\(S=2\iint_{上} dS\)）。（答案：\(4\pi a^2\)）

5.2 第二类曲面积分（对坐标）

• 是什么/定义：∬_Σ P dydz+Q dzdx+R dxdy，与曲面的侧有关；常记为 \(\iint_\Sigma(P,Q,R)\cdot\vec n\,dS\)。
• 性质/公式：
• 换侧变号：∬_{−Σ} = −∬_Σ；
• 一投二代三定号：以 \(\iint_\Sigma R\,dxdy\) 为例，Σ: z=z(x,y) 投影到 xOy 得 \(D_{xy}\)：
  \[\iint_\Sigma R\,dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,dx\,dy\]
  上侧（法向量与 z 轴正向夹角为锐角）取 +，下侧取 −；dydz→yOz 面、dzdx→zOx 面同理。
• 怎么考：①单侧曲面的「一投二代三定号」直接计算；②闭曲面用高斯公式（见 6.1）；③含 dydz/dzdx 分量的投影与定号。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 Σ 为平面 \(z=1\) 上圆域 \(x^2+y^2\le 1\) 的上侧，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma z\,dxdy\)。
  • 解：\(z=1\)，上侧取 +，\(\iint_\Sigma z\,dxdy=\iint_{x^2+y^2\le 1}1\,dxdy=\boxed{\pi}\)。
• 【例2·真题】2006年·数一·填空第3题(4分)：设 Σ 是锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)（\(0\le z\le 1\)）的下侧，则 \(\displaystyle\iint_\Sigma x\,dydz+2y\,dzdx+3(z-1)\,dxdy=\) ______。
  • 解：补平面 \(\Sigma_1:\ z=1,\ x^2+y^2\le 1\)，取上侧，与 Σ（下侧，恰为闭区域 Ω 的外侧）围成闭曲面。由高斯公式：
    \[\iint_{\Sigma+\Sigma_1}=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\iiint_\Omega(1+2+3)dv=6V=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi,\]
    其中 V 为圆锥体积 \(\dfrac13\pi\cdot1^2\cdot1=\dfrac\pi3\)。在 \(\Sigma_1\) 上 \(z=1\)，故 \(3(z-1)=0\)，且 dydz、dzdx 项在平面 \(z=1\)（常 z）上投影为 0，故 \(\iint_{\Sigma_1}=0\)。因此原积分 \(=2\pi-0=\boxed{2\pi}\)。
• 易错坑点：三个分量投影到不同坐标面（dxdy→xOy、dydz→yOz、dzdx→zOx），符号由侧向决定，最易错。
• 配套练习：设 Σ 为平面 \(z=0\) 上圆域 \(x^2+y^2\le 1\) 的下侧，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma dxdy\)。（答案：\(-\pi\)）

5.3 两类曲面积分的关系

• 是什么/定义：设 Σ 指定侧单位法向量 \(\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，则
  \[\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy=\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS\]
• 性质/公式：对 \(z=z(x,y)\)，\(\cos\gamma=\pm\dfrac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\)（符号由侧决定），cosα、cosβ 类似。
• 怎么考：①两类积分互化；②由法向量判断符号；③把通量写成对坐标积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 Σ 为平面 \(z=1\) 上圆域的上侧，把 \(\displaystyle\iint_\Sigma z\,dxdy\) 化为对面积积分并求值。
  • 解：上侧单位法向量 \(\vec n=(0,0,1)\)，故 \(\iint_\Sigma z\,dxdy=\iint_\Sigma z\cos\gamma\,dS=\iint_\Sigma 1\cdot 1\,dS=\boxed{\pi}\)。
• 易错坑点：cosγ 与侧向同号（上侧 cosγ>0，下侧 cosγ<0）。
• 配套练习：设 Σ 为 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 外侧，写出向量场 \(\vec A=(P,Q,R)\) 通过 Σ 的通量的两种形式。（答案：\(\iint_\Sigma\vec A\cdot\vec n\,dS=\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy\)）

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六、高斯公式、斯托克斯公式与散度旋度

6.1 高斯公式（散度定理）

• 是什么/定义：设闭曲面 Σ 取外侧，围成空间区域 Ω，P、Q、R 有连续一阶偏导，则
  \[\oiint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv\]
• 性质/公式：闭曲面第二类曲面积分 ↔ 三重积分；曲面不闭合时补面；内部有奇点要挖小球面。
• 怎么考：①闭曲面化三重积分；②补面成闭；③结合球/柱坐标求三重积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 Σ 为球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 外侧，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma x\,dydz+y\,dzdx+z\,dxdy\)。
  • 解：\(\operatorname{div}=1+1+1=3\)，故 \(\iint_\Sigma=\iiint_\Omega 3\,dv=3\cdot\dfrac{4\pi a^3}{3}=\boxed{4\pi a^3}\)。
• 【例2·真题】2016年·数一·第18题(10分)：设有界区域 Ω 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标平面围成，Σ 为 Ω 整个表面的外侧，计算曲面积分 \(I=\displaystyle\iint_\Sigma(x^2+1)dydz-2y\,dzdx+3z\,dxdy\)。
  • 解：\(P=x^2+1,\ Q=-2y,\ R=3z\)，\(\operatorname{div}=2x-2+3=2x+1\)。由高斯公式 \(I=\iiint_\Omega(2x+1)dv=2\iiint_\Omega x\,dv+\iiint_\Omega dv\)。Ω 为四面体（顶点 \((0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)\)），体积 \(V=\dfrac16\cdot1\cdot2\cdot1=\dfrac13\)，形心 \(x\) 坐标为 \(\dfrac{1+0+0+0}{4}=\dfrac14\)，故 \(\iiint_\Omega x\,dv=\bar x\,V=\dfrac14\cdot\dfrac13=\dfrac1{12}\)。于是 \(I=2\cdot\dfrac1{12}+\dfrac13=\boxed{\dfrac12}\)。
• 易错坑点：Σ 必须取外侧；\(\operatorname{div}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\) 别漏项、别写反符号。
• 配套练习：设 Σ 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 外侧，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy\)。（答案：\(\dfrac{12\pi}{5}\)）

6.2 散度与通量

• 是什么/定义：向量场 \(\vec A=(P,Q,R)\) 的散度
  \[\operatorname{div}\vec A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\nabla\cdot\vec A\]
• 性质/公式：通量 = 向量场 \(\vec A\) 通过曲面 Σ 的通量 \(=\iint_\Sigma\vec A\cdot\vec n\,dS=\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy\)；高斯公式即「通量 = 散度的体积分」。
• 怎么考：①求散度；②求通量（常化高斯公式）；③散度为零（无源场）的判断。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求向量场 \(\vec A=(x^2,y^2,z^2)\) 在点 \((1,1,1)\) 处的散度。
  • 解：\(\operatorname{div}\vec A=2x+2y+2z\)，在 \((1,1,1)\) 处为 \(\boxed{6}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求向量场 \(\vec A=(x,y,z)\) 通过球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 外侧的通量。
  • 解：通量 \(=\iint_\Sigma\vec A\cdot\vec n\,dS=\iint_\Sigma x\,dydz+y\,dzdx+z\,dxdy\)，由高斯公式 \(=\iiint_\Omega(1+1+1)dv=3\cdot\dfrac{4\pi a^3}{3}=\boxed{4\pi a^3}\)。
• 易错坑点：散度是标量；通量是「有向」的（外侧/指定侧）。
• 配套练习：求 \(\vec A=(x,y,z)\) 的散度。（答案：3）

6.3 斯托克斯公式

• 是什么/定义：设 Γ 为分段光滑有向闭曲线，Σ 是以 Γ 为边界的光滑有向曲面（Γ 与 Σ 满足右手法则），则
  \[\oint_\Gamma P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]
• 性质/公式（行列式记忆）：
  \[\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ P & Q & R \end{vmatrix}\]
• 怎么考：①空间闭曲线线积分化曲面积分；②非闭曲线补线；③与旋度联用。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 Γ 为 xOy 面上正向圆周 \(x^2+y^2=1\)（z=0），求 \(\displaystyle\oint_\Gamma y\,dx-x\,dy\)。
  • 解：\(P=y,\ Q=-x,\ R=0\)，\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-1-1=-2\)。取 Σ 为圆盘 \(z=0\) 上侧（法向 \((0,0,1)\)），\(\oint=\iint_\Sigma(-2)dxdy=-2\pi\)，即 \(\boxed{-2\pi}\)。
• 【例2·真题】2015年·数一·第19题(10分)：已知曲线 L 的方程为 \(\begin{cases}z=\sqrt{2-x^2-y^2}\\ z=x\end{cases}\)，起点为 \(A(0,\sqrt2,0)\)、终点为 \(B(0,-\sqrt2,0)\)，计算曲线积分 \(I=\displaystyle\int_L(y+z)dx+(z^2-x^2+y)dy+(x^2+y^2)dz\)。
  • 解：参数化：由 \(z=x\) 及 \(x^2+y^2+z^2=2\) 得 \(x^2+\dfrac{y^2}{2}=1\)，取 \(x=\cos t,\ y=\sqrt2\sin t,\ z=\cos t\)，A 对应 \(t=\dfrac\pi2\)、B 对应 \(t=-\dfrac\pi2\)。\(dx=-\sin t\,dt,\ dy=\sqrt2\cos t\,dt,\ dz=-\sin t\,dt\)。
    \[(y+z)dx=-(\sqrt2\sin t+\cos t)\sin t\,dt,\quad(z^2-x^2+y)dy=(\sqrt2\sin t)(\sqrt2\cos t)dt=2\sin t\cos t\,dt,\]
    \[(x^2+y^2)dz=(\cos^2t+2\sin^2t)(-\sin t)dt=-(1+\sin^2t)\sin t\,dt.\]
    相加得被积式 \(=-\sqrt2\sin^2t+\sin t\cos t-\sin t-\sin^3t\)。于是
    \[I=\int_{\pi/2}^{-\pi/2}\big(-\sqrt2\sin^2t+\sin t\cos t-\sin t-\sin^3t\big)dt.\]
    其中 \(\int_{\pi/2}^{-\pi/2}\sin^2t\,dt=-\dfrac\pi2\)，其余三项（\(\sin t\cos t,\ \sin t,\ \sin^3t\) 均为奇函数、积分区间关于 0 对称）为 0，故 \(I=-\sqrt2\cdot\left(-\dfrac\pi2\right)=\boxed{\dfrac{\sqrt2}{2}\pi}\)。
• 易错坑点：Γ 的正向与 Σ 的法向须成右手关系；行列式展开别漏项。
• 配套练习：设 Γ 为正向圆周 \(x^2+y^2=1\)（z=0），求 \(\displaystyle\oint_\Gamma y\,dx+z\,dy+x\,dz\)。（答案：\(-\pi\)）

6.4 旋度与环流量

• 是什么/定义：向量场 \(\vec A=(P,Q,R)\) 的旋度
  \[\operatorname{rot}\vec A=\nabla\times\vec A=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\]
• 性质/公式：环流量 = 向量场沿闭曲线 Γ 的环流量 \(=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz\)；斯托克斯公式即「环流量 = 旋度的通量」。
• 怎么考：①求旋度；②求环流量（化斯托克斯）；③无旋场判断。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\vec A=(z,x,y)\) 的旋度。
  • 解：\(P=z,\ Q=x,\ R=y\)，\(\operatorname{rot}\vec A=(\partial_yy-\partial_zx,\ \partial_zz-\partial_xy,\ \partial_xx-\partial_yz)=(1,1,1)\)，即 \(\boxed{(1,1,1)}\)。
• 【例2·真题】2016年·数一·填空第10题(4分)：向量场 \(A(x,y,z)=(x+y+z)\mathbf i+xy\,\mathbf j+z\,\mathbf k\) 的旋度 \(\operatorname{rot}A=\) ______。
  • 解：\(P=x+y+z,\ Q=xy,\ R=z\)，\(\operatorname{rot}A=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)=(0-0,\ 1-0,\ y-1)=(0,1,y-1)\)，即 \(\boxed{\mathbf j+(y-1)\mathbf k}\)。
• 易错坑点：旋度是向量；三个分量的顺序与符号别记混。
• 配套练习：求 \(\vec A=(x,y,z)\) 的旋度。（答案：\((0,0,0)\)）

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配套练习（本章综合）

1. 设 \(D\) 为单位圆盘 \(x^2+y^2\le 1\)，求 \(\displaystyle\iint_D d\sigma\)。（答案：\(\pi\)）
2. 设 \(\Omega:x^2+y^2+z^2\le 1\)，求 \(\displaystyle\iiint_\Omega dv\)。（答案：\(\dfrac{4\pi}{3}\)）
3. 设 L 为从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的直线段，求 \(\displaystyle\int_L(x+y)dx+(x-y)dy\)。（答案：\(1\)）
4. 设 Σ 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 外侧，求 \(\displaystyle\iint_\Sigma x\,dydz+y\,dzdx+z\,dxdy\)。（答案：\(4\pi\)）
5. （2000年·数一·五）\(\displaystyle\oint_L\frac{x\,dy-y\,dx}{4x^2+y^2}\)，L 以 \((1,0)\) 为心、\(R>1\) 为半径取逆时针。（答案：\(\pi\)）

学完本章的检验标准

1. 能熟练用直角坐标、极坐标计算二重积分，正确处理对称性简化。
2. 能用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分（体积元 r、r²sinφ 不漏）。
3. 会计算第一、第二类曲线积分，掌握两类之间的转换。
4. 能熟练应用格林公式（含补线、挖洞）、判断曲线积分与路径无关并求原函数。
5. 会计算第一、第二类曲面积分（一投二代三定号，符号正确）。
6. 能应用高斯公式、斯托克斯公式，并会求散度、旋度、通量、环流量。

全部达到后，进入第7章「微分方程」（用积分手段求解方程的未知函数）。