第7章「微分方程」讲义

本章研究「含未知函数及其导数的方程」，求解本质是把微分与积分结合起来：一阶方程、可降阶方程、高阶线性方程（常系数齐次/非齐次）、欧拉方程、一阶常系数线性方程组是数一的核心。
前置知识：第2章「一元函数微分学」（求导）、第3章「一元函数积分学」（求原函数、不定积分）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

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一、微分方程的基本概念

1.1 基本概念

• 是什么/定义：
• 微分方程：含未知函数及其导数（或微分）的方程。
• 阶：方程中未知函数最高阶导数的阶数，如 \(y'''-y''+y'=x\) 是三阶。
• 解：代入后使方程成为恒等式的函数。
• 通解：含独立任意常数的解，且任意常数个数 = 阶数。
• 特解：由初始条件确定常数后得到的解。
• 初始条件（定解条件）：给定在某点处的函数值及若干阶导数值，如 \(y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1\)。
• 性质/公式：\(n\) 阶方程的通解含 \(n\) 个相互独立的任意常数（独立：不能合并，如 \(C_1+C_2\) 只能算一个）。
• 怎么考：①判断微分方程的阶；②验证某函数是否为解、是否为通解；③由通解反求原微分方程；④由通解 + 初始条件求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断方程 \((y''')^2+(y')^3+\sin y=x\) 的阶。
  • 解：方程中出现的最高阶导数是 \(y'''\)，故为三阶微分方程（注意：\((y''')^2\) 是导数的高次幂，不影响阶数）。
• 【例2·真题风格·自编题】验证 \(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\) 是 \(y''-y=0\) 的通解，并说明理由。
  • 解：\(y'=C_1e^x-C_2e^{-x}\)，\(y''=C_1e^x+C_2e^{-x}=y\)，故 \(y''-y=0\) 恒成立，\(y\) 是解；又该方程是二阶，通解应含 2 个独立任意常数，而 \(C_1,C_2\) 无法合并，故 \(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\) 是通解。
• 易错坑点：通解中「独立常数个数 = 阶数」；\(C_1+C_2\)、\(C_1C_2\) 这类形式中常数不独立，不能算作两个常数。
• 配套练习：判断 \(y''+2y'+y=0\) 的阶，并验证 \(y=(C_1+C_2x)e^{-x}\) 是否为其通解。（答案：二阶；是通解，代入恒成立且含 2 个独立常数）

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二、一阶微分方程

2.1 可分离变量方程

• 是什么/定义：能写成 \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\) 或 \(f(y)\,dy=g(x)\,dx\) 的方程。
• 性质/公式：分离变量 → 两边积分 \(\displaystyle\int f(y)\,dy=\int g(x)\,dx\) → 得隐式通解（能解出 \(y\) 就写出显式）。
• 怎么考：①直接分离变量求通解；②给初始条件求特解；③分离时讨论「除以的式子可能为 0」丢解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y'=2xy\) 的通解。
  • 解：分离变量 \(\dfrac{dy}{y}=2x\,dx\)，两边积分 \(\ln|y|=x^2+C_1\)，故 \(|y|=e^{C_1}e^{x^2}\)，通解 \(\boxed{y=Ce^{x^2}}\)（\(C\) 为任意常数，可正可负）。
• 【例2·真题】2019年·数一·填空(10)：微分方程 \(2yy'-y^2-2=0\) 满足条件 \(y(0)=1\) 的解为 \(y=\) ______。
  • 解：\(2yy'-y^2-2=0\Leftrightarrow (y^2)'-y^2=2\)。令 \(u=y^2\)，得 \(u'-u=2\)，即 \(\dfrac{du}{u+2}=dx\)，积分得 \(\ln(u+2)=x+C_1\)，故 \(u+2=Ce^{x}\)。由 \(y(0)=1\) 得 \(u(0)=1\)，代入 \(1+2=C\)，即 \(C=3\)，故 \(y^2=3e^x-2\)。又 \(y(0)=1>0\)，故特解 \(\boxed{y=\sqrt{3e^x-2}}\)。
• 易错坑点：分离变量除以 \(h(y)\)（或 \(f(y)\)）时，\(h(y)=0\) 的常数解要单独讨论，可能被丢失（如 \(y'=y^2\) 丢了解 \(y=0\)）。
• 配套练习：
  1. 求 \(y'=3x^2y\) 的通解。（答案：\(y=Ce^{x^3}\)）
  2. 求 \(y'=y^2\) 的通解（不要丢解）。（答案：\(y=-\dfrac{1}{x+C}\)，另有特解 \(y=0\)）

2.2 齐次方程

• 是什么/定义：能写成 \(\dfrac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\)（右端只含 \(\frac yx\)）的方程。
• 性质/公式：令 \(u=\dfrac{y}{x}\)，则 \(y=ux\)，\(\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}\)，代入化为可分离变量方程解 \(u\)，再回代 \(u=\dfrac yx\)。
• 怎么考：①识别齐次方程（右端是 \(y/x\) 的函数）；②代换后分离变量；③给初始条件求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ (x>0)\) 的通解。
  • 解：右端 \(=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)，是齐次方程。令 \(u=\dfrac yx\)，则 \(y=ux,\ y'=u+xu'\)，代入得 \(u+xu'=\dfrac1u+u\)，即 \(xu'=\dfrac1u\)，分离变量 \(u\,du=\dfrac{dx}{x}\)，积分得 \(\dfrac{u^2}{2}=\ln x+C_1\)。回代 \(u=\dfrac yx\) 得 \(\boxed{y^2=x^2(2\ln x+C)}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \((3x^2+2xy-y^2)\,dx+(x^2-2xy)\,dy=0\) 的通解。
  • 解：令 \(y=ux,\ dy=u\,dx+x\,du\)，代入并整理：
    \[x^2(3+2u-u^2)dx+x^2(1-2u)(u\,dx+x\,du)=0.\]
    \(dx\) 项系数 \(3+2u-u^2+u(1-2u)=3+3u-3u^2=3(1+u-u^2)\)，故化为 \(3(1+u-u^2)\dfrac{dx}{x}+(1-2u)\,du=0\)，即 \(3\dfrac{dx}{x}=\dfrac{2u-1}{1+u-u^2}du\)。注意到 \(d(1+u-u^2)=(1-2u)du\)，故 \(3\ln|x|=-\ln|1+u-u^2|+C_1\)，得 \(x^3(1+u-u^2)=C\)。回代 \(u=\dfrac yx\)：\(x^3\left(1+\dfrac yx-\dfrac{y^2}{x^2}\right)=C\)，即 \(\boxed{x^3+x^2y-xy^2=C}\)。
• 易错坑点：代换后 \(y'=u+xu'\)，漏掉 \(xu'\) 项是最常见错误；最后必须把 \(u\) 回代成 \(y/x\)。
• 配套练习：求 \(xy'=y+\sqrt{x^2+y^2}\ (x>0)\) 的通解。（提示：令 \(u=y/x\)。答案：\(y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2\)）

2.3 一阶线性微分方程

• 是什么/定义：形如 \(y'+P(x)y=Q(x)\) 的方程；\(Q(x)\equiv0\) 时称齐次线性，否则称非齐次线性。
• 性质/公式（通解公式，必背）：
  \[y=e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx+C\right].\]
• 怎么考：①先把方程化成标准形式再套公式；②给初始条件求特解；③与变上限积分、应用题结合。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y'+y=x\) 的通解。
  • 解：\(P(x)=1\)，\(\int P\,dx=x\)，故
    \[y=e^{-x}\left[\int xe^{x}\,dx+C\right]=e^{-x}\big[(x-1)e^x+C\big]=\boxed{(x-1)+Ce^{-x}}.\]
• 【例2·真题】2005年·数一·填空(2)：微分方程 \(xy'+2y=x\ln x\) 满足 \(y(1)=-\dfrac19\) 的解为 \(y=\) ______。
  • 解：化成标准形式 \(y'+\dfrac2x y=\ln x\)，\(P=\dfrac2x\)，\(\int P\,dx=2\ln x\)，\(e^{\int P\,dx}=x^2\)。故
    \[y=x^{-2}\left[\int x^2\ln x\,dx+C\right]=x^{-2}\left[\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C\right]=\frac{x}{3}\ln x-\frac{x}{9}+\frac{C}{x^2}.\]
    由 \(y(1)=-\dfrac19\) 得 \(0-\dfrac19+C=-\dfrac19\)，故 \(C=0\)，特解 \(\boxed{y=\dfrac{x}{3}\left(\ln x-\dfrac13\right)}\)。
• 易错坑点：①必须先化成标准形式 \(y'+P(x)y=Q(x)\)，注意 \(P\) 的符号；②公式中指数部分 \(\int P\,dx\) 取一个原函数即可，积分常数在最后统一体现；③套公式后别忘了外面的 \(e^{-\int P\,dx}\)。
• 配套练习：
  1. 求 \(y'+2xy=x\) 的通解。（答案：\(y=\dfrac12+Ce^{-x^2}\)）
  2. 求 \(y'-y=2e^{x}\) 的通解。（答案：\(y=e^{x}(2x+C)\)）

2.4 伯努利方程

• 是什么/定义：形如 \(y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\)（\(n\ne0,1\)）的方程。
• 性质/公式：两边除以 \(y^n\)，令 \(z=y^{1-n}\)，则 \(z'=(1-n)y^{-n}y'\)，代入化为
  \[z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),\]
  这是一阶线性方程，解出 \(z\) 后回代 \(z=y^{1-n}\)。
• 怎么考：①识别伯努利方程并代换化线性；②与「齐次方程」的识别区分；③给初始条件求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y'+y=xy^2\) 的通解。
  • 解：\(n=2\)，除以 \(y^2\) 得 \(y^{-2}y'+y^{-1}=x\)。令 \(z=y^{-1}\)，则 \(z'=-y^{-2}y'\)，得 \(-z'+z=x\)，即 \(z'-z=-x\)。这是一阶线性方程，\(P=-1\)，故
    \[z=e^{x}\left[\int(-x)e^{-x}\,dx+C\right]=e^{x}\big[(x+1)e^{-x}+C\big]=x+1+Ce^{x}.\]
    回代 \(z=\dfrac1y\)，得 \(\boxed{y=\dfrac{1}{x+1+Ce^{x}}}\)。
• 【例2·真题】1993年·数一·计算：求微分方程 \(x^2y'+xy=y^2\) 满足初始条件 \(y(1)=1\) 的特解。
  • 解：化为 \(y'+\dfrac1x y=\dfrac{1}{x^2}y^2\)，是伯努利方程（\(n=2\)）。除以 \(y^2\) 得 \(y^{-2}y'+\dfrac1x y^{-1}=\dfrac1{x^2}\)，令 \(z=y^{-1}\)，则 \(-z'+\dfrac1x z=\dfrac1{x^2}\)，即 \(z'-\dfrac1x z=-\dfrac1{x^2}\)。\(P=-\dfrac1x\)，积分因子 \(e^{\int P\,dx}=e^{-\ln x}=\dfrac1x\)，故
    \[z=x\left[\int\left(-\frac1{x^2}\right)\cdot\frac1x\,dx+C\right]=x\left[\frac1{2x^2}+C\right]=\frac1{2x}+Cx.\]
    由 \(y(1)=1\) 得 \(z(1)=1\)，即 \(\dfrac12+C=1\)，故 \(C=\dfrac12\)。于是 \(z=\dfrac1{2x}+\dfrac x2=\dfrac{1+x^2}{2x}\)，回代得 \(\boxed{y=\dfrac{2x}{1+x^2}}\)。
• 易错坑点：\(n=0\) 即线性方程、\(n=1\) 是可分离变量，注意分类；代换时 \(z'=(1-n)y^{-n}y'\) 的系数 \((1-n)\) 容易漏。
• 配套练习：求 \(y'-\dfrac yx=\dfrac1x y^2\) 的通解。（答案：\(\dfrac1y=\dfrac{C-x}{x}\)，即 \(y=\dfrac{x}{C-x}\)）

2.5 全微分方程

• 是什么/定义：\(P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0\)，且满足 \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，则称全微分方程（恰当方程）。
• 性质/公式：此时存在二元函数 \(u(x,y)\) 使 \(du=P\,dx+Q\,dy\)，通解为 \(u(x,y)=C\)。求 \(u\) 可用与第6章「路径无关求原函数」一致的公式：
  \[u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)\,dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)\,dy.\]
  若 \(\dfrac{\partial P}{\partial y}\ne\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，可尝试乘积分因子 \(\mu(x,y)\) 使其成为全微分方程。
• 怎么考：①验证是否全微分方程；②凑全微分求 \(u\)；③用积分因子化全微分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \((2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0\) 的通解。
  • 解：\(P=2x+y,\ Q=x+2y\)，\(\dfrac{\partial P}{\partial y}=1=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，是全微分方程。由 \(u=\int(2x+y)\,dx=x^2+xy+\varphi(y)\)，再由 \(\dfrac{\partial u}{\partial y}=x+\varphi'(y)=x+2y\) 得 \(\varphi'(y)=2y\)，取 \(\varphi=y^2\)。故通解 \(\boxed{x^2+xy+y^2=C}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \((3x^2+6xy^2)\,dx+(6x^2y+4y^3)\,dy=0\) 的通解。
  • 解：\(P=3x^2+6xy^2,\ Q=6x^2y+4y^3\)，\(\dfrac{\partial P}{\partial y}=12xy=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，是全微分方程。\(u=\int(3x^2+6xy^2)\,dx=x^3+3x^2y^2+\varphi(y)\)，\(\dfrac{\partial u}{\partial y}=6x^2y+\varphi'(y)=6x^2y+4y^3\)，故 \(\varphi'(y)=4y^3\)，取 \(\varphi=y^4\)。通解 \(\boxed{x^3+3x^2y^2+y^4=C}\)。
• 易错坑点：全微分方程必须先验证 \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)；求 \(u\) 时先对 \(x\) 积分再定 \(\varphi(y)\)，对 \(y\) 求导比较时不要漏掉 \(\varphi'(y)\)。
• 配套练习：求 \((x+y)\,dx+(x-y)\,dy=0\) 的通解。（答案：\(x^2+2xy-y^2=C\)）

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三、可降阶的高阶方程

3.1 \(y^{(n)}=f(x)\) 型

• 是什么/定义：右端只含 \(x\) 的高阶方程。
• 性质/公式：直接逐次积分 \(n\) 次，每积分一次加一个独立常数。
• 怎么考：①连续积分求通解；②给初始条件定常数求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y'''=6x\) 的通解。
  • 解：逐次积分：
    \[y''=3x^2+C_1,\quad y'=x^3+C_1x+C_2,\quad y=\boxed{\frac{x^4}{4}+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3}.\]
• 【例2·真题风格·自编题】求 \(y''=x+\sin x\) 的通解。
  • 解：\(y'=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+C_1\)，再积分得 \(y=\boxed{\dfrac{x^3}{6}-\sin x+C_1x+C_2}\)。
• 易错坑点：每积分一次都要加一个独立常数，漏加常数是丢分点。
• 配套练习：求 \(y''=\dfrac{1}{1+x^2}\) 的通解。（答案：\(y=x\arctan x-\dfrac12\ln(1+x^2)+C_1x+C_2\)）

3.2 \(y''=f(x,y')\) 型（不显含 \(y\)）

• 是什么/定义：方程中不出现 \(y\)，只含 \(x,y',y''\)。
• 性质/公式：令 \(p=y'\)，则 \(y''=p'\)，方程化为一阶方程 \(p'=f(x,p)\)，解出 \(p=y'\) 后再积分一次得 \(y\)。
• 怎么考：①识别「不显含 \(y\)」；②代换化一阶；③解出 \(p\) 后回代再积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y''=\dfrac{y'}{x}\ (x>0)\) 的通解。
  • 解：令 \(p=y'\)，则 \(p'=\dfrac p x\)，分离变量 \(\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dx}{x}\)，得 \(\ln|p|=\ln x+C_1\)，即 \(p=C_1x\)。故 \(y'=C_1x\)，积分得 \(\boxed{y=\dfrac{C_1}{2}x^2+C_2}\)。
• 【例2·真题】2000年·数一·填空(3)：微分方程 \(xy''+3y'=0\) 的通解为 \(y=\) ______。
  • 解：不显含 \(y\)，令 \(p=y'\)，则 \(xp'+3p=0\)，分离变量 \(\dfrac{dp}{p}=-\dfrac3x dx\)，积分得 \(\ln|p|=-3\ln|x|+C_1\)，即 \(p=\dfrac{C_1}{x^3}\)。再积分 \(y=\displaystyle\int\dfrac{C_1}{x^3}\,dx=-\dfrac{C_1}{2x^2}+C_2\)，故通解 \(\boxed{y=C_1+\dfrac{C_2}{x^2}}\)（\(C_1,C_2\) 为任意常数）。
• 易错坑点：此型代换是 \(y''=p'\)（不是 \(p\dfrac{dp}{dy}\)）；解出 \(p\) 后还要再积分一次才能得 \(y\)。
• 配套练习：求 \((1+x^2)y''=2xy'\) 满足 \(y(0)=1,\ y'(0)=3\) 的特解。（答案：\(y=x^3+3x+1\)）

3.3 \(y''=f(y,y')\) 型（不显含 \(x\)）

• 是什么/定义：方程中不出现 \(x\)，只含 \(y,y',y''\)。
• 性质/公式：令 \(p=y'\)，并利用关键变换 \(y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}\)，方程化为以 \(y\) 为自变量的一阶方程 \(p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)\)，解出 \(p\) 后再分离变量求 \(y\)。
• 怎么考：①识别「不显含 \(x\)」；②用 \(y''=p\dfrac{dp}{dy}\) 代换；③解出 \(p\) 后分离变量积分。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(yy''=(y')^2\) 的通解。
  • 解：不显含 \(x\)，令 \(p=y'\)，则 \(y''=p\dfrac{dp}{dy}\)，代入得 \(yp\dfrac{dp}{dy}=p^2\)。当 \(p\ne0\) 时，\(\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dy}{y}\)，积分得 \(p=C_1y\)，即 \(\dfrac{dy}{dx}=C_1y\)，再分离变量得 \(\ln|y|=C_1x+C_2'\)，故 \(\boxed{y=C_2e^{C_1x}}\)（\(C_1=0\) 时含常数解）。
• 【例2·真题】2002年·数一·填空(3)：微分方程 \(yy''+(y')^2=0\) 满足初始条件 \(y|_{x=0}=1,\ y'|_{x=0}=\dfrac12\) 的特解是 \(y=\) ______。
  • 解：不显含 \(x\)，令 \(p=y'\)，则 \(y''=p\dfrac{dp}{dy}\)，代入得 \(yp\dfrac{dp}{dy}+p^2=0\)，即 \(p\left(y\dfrac{dp}{dy}+p\right)=0\)。因 \(p(0)=y'(0)=\dfrac12\ne0\)，取 \(y\dfrac{dp}{dy}+p=0\)，分离变量 \(\dfrac{dp}{p}=-\dfrac{dy}{y}\)，积分得 \(p=\dfrac{C_1}{y}\)。由 \(y(0)=1,\ p(0)=\dfrac12\) 得 \(C_1=\dfrac12\)，故 \(y'=\dfrac1{2y}\)，即 \(2yy'=1\)，积分得 \(y^2=x+C_2\)。由 \(y(0)=1\) 得 \(C_2=1\)，故 \(y^2=x+1\)，又 \(y(0)=1>0\) 取正支，特解 \(\boxed{y=\sqrt{x+1}}\)。
• 易错坑点：不显含 \(x\) 时 \(y''=p\dfrac{dp}{dy}\)（不是 \(p'\)），这是最易错的关键变换；除以 \(p\) 时注意 \(p=0\)（即 \(y=\) 常数）可能丢解。
• 配套练习：求 \(y''=2yy'\) 满足 \(y(0)=1,\ y'(0)=1\) 的特解。（答案：\(y=\dfrac{1}{1-x}\)）

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四、高阶线性微分方程

4.1 线性方程解的结构（重中之重）

• 是什么/定义：标准形式 \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y=f(x)\)；\(f(x)\equiv0\) 时为齐次，否则非齐次。
• 性质/公式：
• 齐次方程：若 \(y_1,y_2\) 是解，则 \(C_1y_1+C_2y_2\) 也是解；若 \(y_1,y_2\) 线性无关，则通解 \(y=C_1y_1+C_2y_2\)（二阶情形）。
• 线性无关判定：\(y_1/y_2\) 不恒为常数（或朗斯基行列式 \(W=y_1y_2'-y_2y_1'\ne0\)）。
• 非齐次方程：通解 = 对应齐次通解 + 非齐次一个特解，即 \(y=Y+y^*\)。
• 叠加原理：若 \(y_1^*\) 是 \(y''+py'+qy=f_1(x)\) 的特解、\(y_2^*\) 是 \(y''+py'+qy=f_2(x)\) 的特解，则 \(y_1^*+y_2^*\) 是右端为 \(f_1+f_2\) 的特解。
• 怎么考：①由解的表达式判断线性相关/无关；②已知特解与齐次通解写非齐次通解；③由特解结构反推方程系数（特解中「齐次部分」的指数对应特征根）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(y_1=e^x,\ y_2=e^{2x}\) 是 \(y''-3y'+2y=0\) 的两个解，判断其是否线性无关，并写出通解。
  • 解：\(\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{e^x}{e^{2x}}=e^{-x}\) 不恒为常数，故 \(y_1,y_2\) 线性无关，通解 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}\)。
• 【例2·真题】2015年·数一·选择(2)：设 \(y=\dfrac12e^{2x}+\left(x-\dfrac13\right)e^x\) 是二阶常系数非齐次线性微分方程 \(y''+ay'+by=ce^x\) 的一个特解，则（　）。
  • 解：特解中的 \(\dfrac12e^{2x}\) 满足齐次方程（右端只有 \(ce^x\)），说明 \(r=2\) 是特征根；\((x-\frac13)e^x\) 含 \(x\) 因子，说明 \(r=1\) 是单重特征根。故特征方程为 \((r-1)(r-2)=r^2-3r+2=0\)，得 \(a=-3,\ b=2\)。再验证 \(c\)：把 \(y\) 代入 \(y''-3y'+2y\) 应得 \(ce^x\)。计算 \(y'=e^{2x}+\left(x+\dfrac23\right)e^x\)，\(y''=2e^{2x}+\left(x+\dfrac53\right)e^x\)，代入得 \(e^{2x}[2-3+1]+e^x\left[(x+\frac53)-3(x+\frac23)+2(x-\frac13)\right]=e^x\left[x+\frac53-3x-2+2x-\frac23\right]=-e^x\)，故 \(c=-1\)。选 (A) \(\boxed{a=-3,\ b=2,\ c=-1}\)。
• 易错坑点：非齐次通解 = 齐次通解 + 特解；特解中出现的 \(e^{\lambda x}\) 因子若来自齐次解，对应 \(\lambda\) 必为特征根，可用它反推方程。
• 配套练习：若 \(y_1=x,\ y_2=e^x\) 是某二阶齐次线性方程的两个线性无关解，写出该齐次方程的通解。（答案：\(y=C_1x+C_2e^x\)）

4.2 二阶常系数齐次线性方程

• 是什么/定义：\(y''+py'+qy=0\)（\(p,q\) 为常数）。
• 性质/公式：特征方程 \(r^2+pr+q=0\)，按根分三种情形（必背）：
• 两不等实根 \(r_1\ne r_2\)：\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)；
• 重根 \(r_1=r_2=r\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)；
• 共轭复根 \(r=\alpha\pm i\beta\)：\(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)。
• 怎么考：①写特征方程、按三种根写通解；②给初始条件求特解；③由通解反推方程（见 4.1）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y''-3y'+2y=0\) 的通解。
  • 解：特征方程 \(r^2-3r+2=0\Rightarrow(r-1)(r-2)=0\)，得 \(r_1=1,\ r_2=2\)，故通解 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \(y''+2y'+5y=0\) 满足 \(y(0)=1,\ y'(0)=0\) 的特解。
  • 解：特征方程 \(r^2+2r+5=0\)，\(r=-1\pm2i\)（\(\alpha=-1,\ \beta=2\)），故通解 \(y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)\)。\(y(0)=C_1=1\)；\(y'=-e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)+e^{-x}(-2C_1\sin2x+2C_2\cos2x)\)，\(y'(0)=-C_1+2C_2=-1+2C_2=0\)，得 \(C_2=\dfrac12\)。故特解 \(\boxed{y=e^{-x}\left(\cos2x+\dfrac12\sin2x\right)}\)。
• 易错坑点：三种情形要分清：重根要乘 \(x\)、复根要写成三角函数形式；复根写成 \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)，不能漏掉 \(e^{\alpha x}\)。
• 配套练习：
  1. 求 \(y''-4y'+4y=0\) 的通解。（答案：\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)）
  2. 求 \(y''+4y=0\) 的通解。（答案：\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)）

4.3 二阶常系数非齐次线性方程（待定系数法）

• 是什么/定义：\(y''+py'+qy=f(x)\)（\(p,q\) 常数，\(f\not\equiv0\)）。
• 性质/公式：先求齐次通解 \(Y\)，再据 \(f(x)\) 形式设特解 \(y^*\)，代入定系数。
• \(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\) 型：设 \(y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}\)，其中 \(Q_m\) 是与 \(P_m\) 同次的多项式（含完整的低次项）；\(k\) 由 \(\lambda\) 是否为特征根定：不是特征根 \(k=0\)，单根 \(k=1\)，重根 \(k=2\)。
• \(f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]\) 型：设 \(y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m(x)\cos\omega x+S_m(x)\sin\omega x]\)，\(m=\max(l,n)\)；\(k\) 由 \(\lambda\pm i\omega\) 是否为特征根定：不是特征根 \(k=0\)，是特征根 \(k=1\)。
• 怎么考：①按 \(f(x)\) 设特解并代入定系数；②判断 \(k\)（是否乘 \(x^k\)）；③与初始条件结合求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y''-3y'+2y=2x+1\) 的通解。
  • 解：齐次特征方程 \(r^2-3r+2=0\)，\(r=1,2\)，齐次通解 \(Y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)。\(f(x)=2x+1\)（\(\lambda=0\) 不是特征根，\(k=0\)），设 \(y^*=Ax+B\)，代入：\(y^{*''}-3y^{*'}+2y^*=0-3A+2(Ax+B)=2Ax+(2B-3A)=2x+1\)，比较系数得 \(A=1,\ 2B-3=1\Rightarrow B=2\)，故 \(y^*=x+2\)。通解 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+x+2}\)。
• 【例2·真题】1996年·数一·填空(3分)：微分方程 \(y''-2y'+2y=e^x\) 的通解为 \(y=\) ______。
  • 解：特征方程 \(r^2-2r+2=0\)，\(r=1\pm i\)，齐次通解 \(Y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)\)。\(f(x)=e^x\)，\(\lambda=1\) 不是特征根（特征根为 \(1\pm i\)），\(k=0\)，设 \(y^*=Ae^x\)，代入得 \(Ae^x-2Ae^x+2Ae^x=Ae^x=e^x\)，故 \(A=1\)，\(y^*=e^x\)。通解 \(\boxed{y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x+1)}\)。
• 【例3·真题】2009年·数一·填空(10)：若二阶常系数线性齐次微分方程 \(y''+ay'+by=0\) 的通解为 \(y=(C_1+C_2x)e^x\)，则非齐次方程 \(y''+ay'+by=x\) 满足条件 \(y(0)=2,\ y'(0)=0\) 的解为 \(y=\) ______。
  • 解：齐次通解为 \((C_1+C_2x)e^x\)，说明 \(\lambda=1\) 是特征方程的二重根，故 \(a=-2,\ b=1\)，方程为 \(y''-2y'+y=x\)。\(f(x)=x\)（\(\lambda=0\) 不是特征根），设 \(y^*=Ax+B\)，代入：\(0-2A+(Ax+B)=Ax+(B-2A)=x\)，得 \(A=1,\ B=2\)，故 \(y^*=x+2\)，通解 \(y=(C_1+C_2x)e^x+x+2\)。由 \(y(0)=2\) 得 \(C_1+2=2\Rightarrow C_1=0\)；\(y'=C_2e^x+(C_1+C_2x)e^x+1\)，\(y'(0)=C_2+C_1+1=0\Rightarrow C_2=-1\)。故特解 \(\boxed{y=x(1-e^x)+2}\)。
• 易错坑点：①特解多项式要写完整（如设 \(Ax^2+Bx+C\)，不漏低次项）；②当 \(\lambda\)（或 \(\lambda\pm i\omega\)）恰为特征根时要乘 \(x^k\)，否则定不出系数；③先求齐次通解再求特解。
• 配套练习：
  1. （1999年·数一·填空）求 \(y''-4y=e^{2x}\) 的通解。（答案：\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+\dfrac{x}{4}e^{2x}\)）
  2. 求 \(y''+y=\sin x\) 的通解。（答案：\(y=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{x}{2}\cos x\)）

4.4 \(n\) 阶常系数齐次线性方程（特征根法，高于二阶）

• 是什么/定义：\(y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+p_ny=0\)（\(p_i\) 为常数），\(n\ge3\)。
• 性质/公式：特征方程 \(r^n+p_1r^{n-1}+\cdots+p_n=0\)，按特征根写通解（与二阶同理）：
• 单实根 \(r\)：对应一项 \(Ce^{rx}\)；
• \(k\) 重实根 \(r\)：对应 \((C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}\)；
• 单复根 \(\alpha\pm i\beta\)：对应 \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)；重根类推乘 \(x\) 因子。
• 通解是各根对应项之和，含 \(n\) 个独立常数。
• 怎么考：①写 \(n\) 次特征方程并分解因式；②按根（含重根、复根）写通解；③给定初始条件求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(y'''-3y''+3y'-y=0\) 的通解。
  • 解：特征方程 \(r^3-3r^2+3r-1=(r-1)^3=0\)，\(r=1\) 是三重根，故通解 \(\boxed{y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^x}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \(y'''-6y''+11y'-6y=0\) 的通解。
  • 解：特征方程 \(r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3)=0\)，得三个不等实根 \(r=1,2,3\)，故通解 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+C_3e^{3x}}\)。
• 易错坑点：\(k\) 重根对应项要含 \(x^0,x^1,\dots,x^{k-1}\) 共 \(k\) 个线性无关项；最终通解必须恰好含 \(n\) 个独立常数。
• 配套练习：求 \(y'''-y'=0\) 的通解。（答案：\(y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x}\)）

4.5 欧拉方程（变量代换法）

• 是什么/定义：形如 \(x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_ny=f(x)\) 的变系数方程（每项 \(x\) 的幂与导数阶数相同），数一常见二阶 \(x^2y''+pxy'+qy=f(x)\)。
• 性质/公式：令 \(x=e^t\)（\(x>0\)；\(x<0\) 令 \(t=\ln|x|\)），则
  \[xy'=\frac{dy}{dt},\qquad x^2y''=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt},\]
  代入化为常系数线性方程，解出 \(y(t)\) 后回代 \(t=\ln|x|\)。
• 怎么考：①识别欧拉方程；②代换化常系数；③求解后回代变量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(x^2y''-xy'+y=0\ (x>0)\) 的通解。
  • 解：令 \(x=e^t\)（\(t=\ln x\)），则 \(xy'=\dot y,\ x^2y''=\ddot y-\dot y\)（\(\dot y=\frac{dy}{dt}\)），代入得 \((\ddot y-\dot y)-\dot y+y=0\)，即 \(\ddot y-2\dot y+y=0\)。特征方程 \(r^2-2r+1=0\)，\(r=1\)（重根），故 \(y(t)=(C_1+C_2t)e^t\)。回代 \(t=\ln x\) 得 \(\boxed{y=(C_1+C_2\ln x)\,x}\)。
• 【例2·真题】2021年·数一·填空(13)：欧拉方程 \(x^2y''+xy'-4y=0\) 满足条件 \(y(1)=1,\ y'(1)=2\) 的解为 \(y=\) ______。
  • 解：令 \(x=e^t\)，则 \(x^2y''=\ddot y-\dot y,\ xy'=\dot y\)，代入得 \((\ddot y-\dot y)+\dot y-4y=0\)，即 \(\ddot y-4y=0\)，特征根 \(r=\pm2\)，故 \(y=C_1e^{2t}+C_2e^{-2t}=C_1x^2+C_2x^{-2}\)。由 \(y(1)=1\) 得 \(C_1+C_2=1\)；\(y'=2C_1x-2C_2x^{-3}\)，由 \(y'(1)=2\) 得 \(2C_1-2C_2=2\Rightarrow C_1-C_2=1\)。联立得 \(C_1=1,\ C_2=0\)，故特解 \(\boxed{y=x^2}\)。
• 易错坑点：代换后 \(x^2y''=\ddot y-\dot y\)（注意减号），\(x^ny^{(n)}\) 的高阶换算要逐级推导；最后必须回代 \(t=\ln|x|\)。
• 配套练习：求 \(x^2y''+3xy'+y=0\ (x>0)\) 的通解。（答案：\(y=\dfrac{C_1+C_2\ln x}{x}\)）

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五、微分方程的应用（简单建模）

5.1 常见建模套路

• 是什么/定义：把实际问题中的变化率关系翻译成微分方程。
• 性质/公式：
• 几何问题：由切线斜率、法线、曲线性质建立 \(y'\) 与 \(x,y\) 的关系；
• 物理问题：牛顿冷却定律 \(\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\)；放射性衰变 \(\dfrac{dy}{dt}=-ky\)；人口/细菌增长 \(\dfrac{dy}{dt}=ky\)。
• 步骤：设未知函数 → 据题意列方程和初始条件 → 解方程 → 回代条件定常数 → 回答问题。
• 怎么考：①由几何/物理背景列方程；②解方程并定常数；③把结果还原成题目要求的量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】物体温度 \(T(t)\) 满足牛顿冷却定律 \(\dfrac{dT}{dt}=-k(T-20)\)（环境温度 \(20^\circ C\)），初始 \(T(0)=100\)，求温度函数。
  • 解：分离变量 \(\dfrac{dT}{T-20}=-k\,dt\)，积分得 \(\ln|T-20|=-kt+C_1\)，故 \(T-20=Ce^{-kt}\)。由 \(T(0)=100\) 得 \(C=80\)，故 \(\boxed{T(t)=20+80e^{-kt}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】放射性物质衰变速率为 \(\dfrac{dy}{dt}=-ky\)，且半衰期（质量减半所需时间）为 \(T\)，求 \(k\) 与 \(T\) 的关系。
  • 解：分离变量得 \(y=y_0e^{-kt}\)。设 \(y(T)=\dfrac{y_0}{2}\)，则 \(y_0e^{-kT}=\dfrac{y_0}{2}\)，即 \(e^{-kT}=\dfrac12\)，故 \(\boxed{kT=\ln2}\)，即 \(k=\dfrac{\ln2}{T}\)。
• 易错坑点：牛顿冷却定律中 \(T_0\) 是环境温度（常数），方程是 \(\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\) 而非 \(\dfrac{dT}{dt}=-kT\)；建模后要回代初始条件定常数。
• 配套练习：某细菌种群增长率与现存数量成正比，1 小时后数量变为原来的 2 倍，求 \(t\) 小时后数量 \(y(t)\)。（答案：\(y(t)=y_0e^{(\ln2)t}=y_0\cdot2^t\)）

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六、一阶常系数线性微分方程组（数一）

6.1 消元法与特征值法（两个未知函数）

• 是什么/定义：形如
  \[\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y\end{cases}\]
  的方程组，其中 \(a_{ij}\) 为常数，\(x(t),y(t)\) 是两个未知函数。
• 性质/公式：
• 消元法：从一个方程解出 \(y\)（用 \(x,x'\) 表示）代入另一方程，化为关于 \(x\) 的二阶常系数方程，解出 \(x\) 后回代求 \(y\)。
• 特征值法：写成矩阵形式 \(\mathbf X'=A\mathbf X\)（\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)）。求 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 与对应特征向量 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\)（线性无关时），通解为
  \[\mathbf X=C_1e^{\lambda_1t}\mathbf v_1+C_2e^{\lambda_2t}\mathbf v_2.\]
• 怎么考：①用消元法化二阶方程求解；②用特征值法求通解；③给初始条件求特解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】用消元法求 \(\begin{cases}x'=y\\ y'=x\end{cases}\) 的通解。
  • 解：由第一式 \(y=x'\)，代入第二式得 \(x''=x\)，即 \(x''-x=0\)，特征根 \(r=\pm1\)，故 \(x=C_1e^t+C_2e^{-t}\)。回代 \(y=x'\) 得 \(y=C_1e^t-C_2e^{-t}\)。故 \(\boxed{x=C_1e^t+C_2e^{-t},\ y=C_1e^t-C_2e^{-t}}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】用特征值法求 \(\begin{cases}x'=4x+y\\ y'=3x+2y\end{cases}\) 的通解。
  • 解：\(A=\begin{pmatrix}4&1\\ 3&2\end{pmatrix}\)，特征方程 \(\det(\lambda I-A)=(\lambda-4)(\lambda-2)-3=\lambda^2-6\lambda+5=0\)，得 \(\lambda_1=5,\ \lambda_2=1\)。对应特征向量：\(\lambda=5\) 时解 \((-1,1)\cdot\mathbf v=0\) 得 \(\mathbf v_1=(1,1)\)；\(\lambda=1\) 时解 \(3v_1+v_2=0\) 得 \(\mathbf v_2=(1,-3)\)。故通解
    \[\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=C_1e^{5t}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^{t}\begin{pmatrix}1\\ -3\end{pmatrix},\]
    即 \(\boxed{x=C_1e^{5t}+C_2e^t,\ y=C_1e^{5t}-3C_2e^t}\)。
• 易错坑点：特征值法要求特征向量线性无关（重根情形需另行处理）；消元法中由 \(x\) 回代求 \(y\) 时要用原方程（含导数关系），不要另设常数。
• 配套练习：求 \(\begin{cases}x'=y\\ y'=-x\end{cases}\) 满足 \(x(0)=1,\ y(0)=0\) 的特解。（答案：\(x=\cos t,\ y=-\sin t\)）

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配套练习（本章综合）

1. 求 \(y''+4y=0\) 的通解。（答案：\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)）
2. 求 \((2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0\) 的通解。（答案：\(x^2+xy+y^2=C\)）
3. 求 \(y'-y=1\) 的通解。（答案：\(y=Ce^x-1\)）
4. 求 \(y''-y=0\) 满足 \(y(0)=1,\ y'(0)=0\) 的特解。（答案：\(y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)）
5. 求 \(y''-2y'+y=0\) 的通解。（答案：\(y=(C_1+C_2x)e^x\)）

学完本章的检验标准

1. 能判断微分方程的阶、通解与特解、独立常数个数。
2. 会解可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利、全微分方程。
3. 会解三类可降阶方程（特别是 \(y''=f(y,y')\) 时 \(y''=p\dfrac{dp}{dy}\)）。
4. 能根据特征方程写出二阶（三种根）及 \(n\) 阶常系数齐次方程的通解（含重根、复根）。
5. 能用待定系数法求二阶常系数非齐次方程的特解（含乘 \(x^k\) 的规则），并写出通解。
6. 会用欧拉方程代换求解，会用消元法/特征值法解一阶常系数线性微分方程组。
7. 能建立简单应用题的微分方程模型，并回代初始条件定常数。

全部达到后，进入第8章「级数」（数一独有：常数项级数、幂级数、傅里叶级数）。