第8章「级数」讲义

级数是数一独有的章节（数二不考）：研究无穷多个数或函数之和。核心是常数项级数的敛散性判断、幂级数的收敛域与展开、傅里叶级数。
前置知识：第1章「极限」（数列极限、无穷小）、第2章「泰勒公式」（为函数展开成幂级数铺垫）、第3章「反常积分」（仅积分审敛法选学需要）。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

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一、常数项级数

1.1 级数的基本概念

• 是什么/定义：对无穷数列 \(\{u_n\}\)，前 \(n\) 项和 \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\) 称为部分和。若部分和数列 \(\{S_n\}\) 有有限极限，即 \(\lim_{n\to\infty}S_n=S\)，则称级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 收敛，\(S\) 为其和；否则称级数发散。
• 性质/公式：
• 收敛的必要条件：若 \(\sum u_n\) 收敛，则 \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)。
• 逆否命题（最常用的否定法）：若 \(\lim u_n\ne 0\)（或不存在），则 \(\sum u_n\) 发散。
• 怎么考：①直接看通项是否趋于 0，快速否定（最快判别）；②用部分和求特殊级数（如裂项相消）的和；③辨析「通项趋于 0」与「收敛」的逻辑关系（必要非充分）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\) 的敛散性。
  • 解：通项 \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\ne 0\)，由必要条件知级数发散。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}\) 的敛散性。
  • 解：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}=e\ne 0\)，通项不趋于 0，故级数发散。
• 易错坑点：\(\lim u_n=0\) 只是收敛的必要条件，不充分——调和级数 \(\sum\frac1n\) 通项趋于 0 但发散。判断发散优先用「通项不趋于 0」。
• 配套练习：
  1. 判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\) 的敛散性。（答案：发散，通项不趋于 0）
  2. 判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\) 的敛散性。（答案：发散，通项 \(\to e\ne 0\)）

1.2 级数的基本性质

• 是什么/定义：刻画级数运算与「敛散性」关系的一组规则。
• 性质/公式：
• 线性：若 \(\sum u_n\)、\(\sum v_n\) 都收敛，则 \(\sum(u_n\pm v_n)=\sum u_n\pm\sum v_n\)，且 \(\sum ku_n=k\sum u_n\)。
• 有限项无关：去掉、添加或改变有限项不改变敛散性（但和会变）。
• 加括号：收敛级数任意加括号后仍收敛且和不变；但「加括号后收敛」推不出原级数收敛。
• 怎么考：①判断「一收一散之和必散」；②辨析「两个发散级数之和是否必发散」（常出判断题）；③辨析加括号与收敛的关系。
• 典型例题：
• 【例1·基础】已知 \(\sum u_n\) 收敛、\(\sum v_n\) 发散，判断 \(\sum(u_n+v_n)\) 的敛散性。
  • 解：反设 \(\sum(u_n+v_n)\) 收敛，则由线性性 \(v_n=(u_n+v_n)-u_n\)，得 \(\sum v_n=\sum(u_n+v_n)-\sum u_n\) 也应收敛，与已知矛盾。故 \(\sum(u_n+v_n)\) 发散。
• 【例2·真题风格·自编题】判断命题「若 \(\sum u_n\) 与 \(\sum v_n\) 都发散，则 \(\sum(u_n+v_n)\) 必发散」是否正确，并说明理由。
  • 解：错误。反例：\(\sum\dfrac1n\) 与 \(\sum\left(-\dfrac1n\right)\) 都发散，但 \(\sum\left(\dfrac1n-\dfrac1n\right)=\sum 0=0\) 收敛。
• 易错坑点：「一收一散之和必发散」成立；「两散之和」可能收敛也可能发散，不能想当然。
• 配套练习：判断命题「若 \(\sum u_n\) 收敛、\(\sum v_n\) 发散，则 \(\sum(u_n-v_n)\) 必发散」。（答案：正确，反证法同例1）

1.3 几个重要级数的敛散性（必背基准）

• 是什么/定义：作为判别其他级数敛散性「标尺」的几个基准级数。
• 性质/公式：
• 几何级数（等比级数） \(\sum_{n=0}^{\infty}aq^n\)：\(|q|<1\) 收敛，和 \(=\dfrac{a}{1-q}\)；\(|q|\ge 1\) 发散。
• \(p\) 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}\)：\(p>1\) 收敛，\(p\le 1\) 发散。
• 调和级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1n\) 发散（\(p=1\) 的特例）。
• 交错 \(p\) 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^p}\)：\(p>0\) 收敛（莱布尼茨），\(p\le 0\) 发散。
• 怎么考：①直接用基准判断；②作为比较判别法的比较对象（选择几何级数或 \(p\) 级数）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}3\cdot\left(\frac23\right)^n\) 的敛散性并求其和。
  • 解：这是首项 \(a=3\)、公比 \(q=\dfrac23\) 的几何级数，\(|q|<1\)，故收敛，和 \(=\dfrac{3}{1-\frac23}=\boxed{9}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}\) 的敛散性。
  • 解：\(p\) 级数。前者 \(p=\dfrac32>1\) 收敛；后者 \(p=\dfrac12\le 1\) 发散。
• 易错坑点：几何级数要看首项是 \(n=0\) 还是 \(n=1\) 起，代入求和公式时首项、公比别弄错；\(p\) 级数默认从 \(n=1\) 起。
• 配套练习：求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2\cdot\left(\frac13\right)^n\) 的和。（答案：\(\dfrac{2}{1-\frac13}=3\)）

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二、正项级数的审敛法

2.1 正项级数的特点

• 是什么/定义：各项 \(u_n\ge 0\) 的级数称为正项级数。
• 性质/公式：正项级数的部分和数列 \(\{S_n\}\) 单调递增，故收敛 \(\iff\) 部分和有上界。
• 怎么考：①利用「收敛 \(\iff\) 部分和有上界」证明敛散；②理解正项级数的单调性，为比较/比值/根值法奠基。
• 典型例题：
• 【例1·基础】用「部分和有上界」说明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 收敛。
  • 解：当 \(n\ge 2\) 时 \(\dfrac1{n^2}<\dfrac1{n(n-1)}=\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\)，故 \(S_n\le 1+\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac1{k-1}-\dfrac1k\right)=1+1-\dfrac1n<2\)，部分和有上界，故收敛。
• 【例2·真题风格·自编题】若正项级数 \(\sum u_n\) 收敛，判断 \(\sum u_n^2\) 的敛散性。
  • 解：\(\sum u_n\) 收敛 \(\Rightarrow \lim u_n=0\)，故存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时 \(0\le u_n<1\)，从而 \(u_n^2\le u_n\)。由比较判别法，\(\sum u_n^2\) 收敛。
• 易错坑点：「收敛 \(\iff\) 部分和有上界」只对正项级数成立；一般级数部分和有界不代表收敛（如 \(\sum(-1)^n\) 部分和有界但发散）。
• 配套练习：判断命题「正项级数 \(\sum u_n\) 收敛，则 \(\sum\sqrt{u_n}\) 必收敛」是否正确。（答案：否。反例 \(\sum\dfrac1{n^2}\) 收敛，但 \(\sum\dfrac1n\) 发散）

2.2 比较判别法

• 是什么/定义：
• 形式：若 \(0\le u_n\le v_n\)（对充分大的 \(n\)），则 \(\sum v_n\) 收敛 \(\Rightarrow\sum u_n\) 收敛；\(\sum u_n\) 发散 \(\Rightarrow\sum v_n\) 发散。
• 极限形式：设 \(\lim\dfrac{u_n}{v_n}=L\)：若 \(0<L<\infty\)，则 \(\sum u_n\) 与 \(\sum v_n\) 同敛散；若 \(L=0\) 且 \(\sum v_n\) 收敛，则 \(\sum u_n\) 收敛；若 \(L=\infty\) 且 \(\sum v_n\) 发散，则 \(\sum u_n\) 发散。
• 性质/公式：核心是「找同阶的比较对象」，比较对象常选几何级数或 \(p\) 级数。
• 怎么考：①用不等式放缩找上级；②用等价无穷小（\(n\to\infty\) 时）找同阶的 \(p\) 级数或几何级数；③极限形式判断同敛散。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}\) 的敛散性。
  • 解：\(\dfrac1{n^2+n}\le\dfrac1{n^2}\)，而 \(\sum\dfrac1{n^2}\) 收敛，故原级数收敛。（或用极限形式：与 \(\dfrac1{n^2}\) 比较，\(\lim\dfrac{1/(n^2+n)}{1/n^2}=1\)，同敛散）
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\) 的敛散性。
  • 解：\(n\to\infty\) 时 \(\ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)\sim\dfrac1{n^2}\)，与 \(\sum\dfrac1{n^2}\) 比较，\(L=1\in(0,\infty)\)，同敛散，故收敛。
• 易错坑点：比较对象阶次要选对；极限形式要求 \(L\) 是有限正数才同敛散，\(L=0\) 或 \(\infty\) 时只能单方向下结论。
• 配套练习：判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac1n\right)\) 的敛散性。（答案：\(1-\cos\frac1n\sim\dfrac1{2n^2}\)，与 \(\sum\dfrac1{n^2}\) 同敛散，收敛）

2.3 比值审敛法（达朗贝尔）

• 是什么/定义：对正项级数 \(\sum u_n\)，设 \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)。
• 性质/公式：\(\rho<1\) 收敛；\(\rho>1\) 发散；\(\rho=1\) 失效（改用别法）。
• 怎么考：①通项含 \(n!\)、\(a^n\)、\(n^n\) 等阶乘/指数因子时用；②\(\rho=1\) 时换比较法或根值法。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) 的敛散性。
  • 解：\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\dfrac1e<1\)，故收敛。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}\) 的敛散性。
  • 解：\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{2^n n!}=\dfrac{2}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\dfrac2e<1\)，故收敛。
• 易错坑点：\(\rho=1\) 时比值法无法判断，不能下「发散」结论（\(\sum\frac1n\) 与 \(\sum\frac1{n^2}\) 都有 \(\rho=1\)，但一散一收）。
• 配套练习：判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}\) 的敛散性。（答案：\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3}{n+1}\to 0<1\)，收敛）

2.4 根值审敛法（柯西）

• 是什么/定义：对正项级数 \(\sum u_n\)，设 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)。
• 性质/公式：\(\rho<1\) 收敛；\(\rho>1\) 发散；\(\rho=1\) 失效。
• 怎么考：①通项含 \(n\) 次幂（\((\cdot)^n\) 型）时用；②与比值法配合使用。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\) 的敛散性。
  • 解：\(\sqrt[n]{u_n}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\dfrac1e<1\)，故收敛。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac1n\right)^{n^2}\) 的敛散性。
  • 解：\(\sqrt[n]{u_n}=\left(1-\dfrac1n\right)^n\to e^{-1}=\dfrac1e<1\)，故收敛。
• 易错坑点：根值法 \(\rho=1\) 同样失效；「\(n\) 在指数上」的通项用根值法最方便。
• 配套练习：判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac1n\right)^{-n^2}\) 的敛散性。（答案：\(\sqrt[n]{u_n}=\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to e^{-1}<1\)，收敛）

2.5 积分审敛法（选学·超纲补充）

说明：数一正项级数考纲只要求比较、比值、根值三种审敛法，积分审敛法已不在考纲范围内，此处仅作选学补充，零基础/时间紧张可直接跳过，不影响做题。

• 是什么/定义：设 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上非负且单调递减，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) 与反常积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\,dx\) 同敛散。
• 性质/公式：核心用途是证明 \(p\) 级数 \(\sum\dfrac1{n^p}\) 的敛散：\(\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^p}\) 收敛 \(\iff p>1\)，故 \(p\) 级数 \(p>1\) 收敛、\(p\le 1\) 发散。
• 怎么考：超纲，数一一般不作直接考查；仅用于加深对 \(p\) 级数结论的理解。
• 典型例题：
• 【例1·基础】用积分审敛法证明 \(p\) 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\) 的敛散性。
  • 解：取 \(f(x)=\dfrac1{x^p}\)（\(x\ge1\) 非负递减）。\(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\) 在 \(p>1\) 时收敛（值为 \(\dfrac1{p-1}\)），\(p\le1\) 时发散，故级数与积分同敛散：\(p>1\) 收敛、\(p\le1\) 发散。
• 【例2·真题风格·自编题】用积分审敛法判断 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\) 的敛散性。
  • 解：\(f(x)=\dfrac1{x\ln x}\) 在 \([2,+\infty)\) 非负递减，\(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x\Big|_2^{+\infty}=+\infty\) 发散，故级数发散。
• 易错坑点：\(f(x)\) 必须非负且单调递减才可用；此法超纲，做题时优先用比较/比值/根值。
• 配套练习：用积分审敛法判断 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\) 的敛散性。（答案：发散）

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三、交错级数与任意项级数

3.1 交错级数与莱布尼茨判别法

• 是什么/定义：形如 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n\)（\(u_n>0\)）的级数称为交错级数。
• 性质/公式（莱布尼茨判别法）：若 \(u_n\) 单调递减且 \(\lim u_n=0\)，则交错级数收敛，且余项满足 \(|S-S_n|\le u_{n+1}\)。
• 怎么考：①验证「单调递减 + 趋于 0」两个条件判断收敛；②用余项估计 \(|S-S_n|\le u_{n+1}\) 求近似误差；③辨析「只趋于 0 不单调不一定收敛」。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) 的敛散性。
  • 解：\(u_n=\dfrac1n\) 单调递减且趋于 0，由莱布尼茨判别法知收敛（即交错调和级数收敛，和为 \(\ln 2\)）。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+1)}\) 的敛散性。
  • 解：\(u_n=\dfrac1{\ln(n+1)}\) 单调递减且趋于 0，由莱布尼茨判别法知收敛。
• 易错坑点：莱布尼茨法要求两个条件都验证（单调递减 + 趋于 0）；只趋于 0 不单调，级数不一定收敛，不能用此法直接判。
• 配套练习：判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{n^2+1}\) 的敛散性。（答案：\(u_n=\dfrac{n}{n^2+1}\) 当 \(n\) 充分大时单调递减且趋于 0，莱布尼茨法判定收敛）

3.2 绝对收敛与条件收敛

• 是什么/定义：
• 绝对收敛：\(\sum|u_n|\) 收敛（则 \(\sum u_n\) 必收敛，即「绝对收敛必收敛」）。
• 条件收敛：\(\sum u_n\) 收敛但 \(\sum|u_n|\) 发散。
• 性质/公式：
• 判别思路：任意项级数先看 \(\sum|u_n|\)（正项级数法）；\(\sum|u_n|\) 收敛 \(\Rightarrow\) 绝对收敛；否则再用莱布尼茨等方法判断 \(\sum u_n\) 是否收敛（条件收敛）。
• 重排性质：绝对收敛级数任意重排后和不变；条件收敛级数可重排得到任意和（黎曼重排定理）。
• 怎么考：①判断级数是绝对收敛、条件收敛还是发散；②辨析重排与和的关系（常出选择）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\) 是绝对收敛还是条件收敛。
  • 解：\(\sum\left|\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right|=\sum\dfrac1{n^2}\) 收敛（\(p=2>1\)），故原级数绝对收敛。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\) 的敛散类型。
  • 解：\(\sum\left|\dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\right|=\sum\dfrac1{n^{1/2}}\) 发散（\(p=\dfrac12<1\)）；但 \(u_n=\dfrac1{\sqrt n}\) 单调递减趋于 0，由莱布尼茨法原级数收敛。故为条件收敛。
• 易错坑点：「绝对收敛必收敛」但「收敛不一定绝对收敛」；判断任意项级数必须先考虑绝对值级数。
• 配套练习：判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\)（\(p>0\)）的敛散类型。（答案：\(p>1\) 绝对收敛；\(0<p\le1\) 条件收敛）

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四、幂级数

4.1 幂级数及其收敛半径、收敛域（阿贝尔定理）

• 是什么/定义：形如 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\) 的级数，\(x_0\) 为中心；常取 \(x_0=0\)，即 \(\sum a_nx^n\)。
• 性质/公式：
• 阿贝尔定理（标准表述）：若幂级数 \(\sum a_nx^n\) 在 \(x=x_0\,(x_0\ne 0)\) 处收敛，则对一切满足 \(|x|<|x_0|\) 的 \(x\)，级数绝对收敛。等价推论：若在某点 \(x_0\) 处发散，则对一切 \(|x|>|x_0|\) 发散。
• 收敛半径 \(R\) 的求法：
  • 比值法：\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)（极限存在时）；
  • 根值法：\(R=\dfrac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)。
• 收敛区间/收敛域：\(R=0\) 只在 \(x=x_0\) 收敛；\(R=\infty\) 全数轴收敛；一般先得开区间 \((x_0-R,x_0+R)\)，端点逐个代入检验得到收敛域。
• 怎么考：①求收敛半径、收敛区间、收敛域；②端点逐个检验（化为常数项级数判断）；③由收敛半径/条件收敛反推收敛点与发散点（常出选择）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\) 的收敛域。
  • 解：\(a_n=\dfrac1n\)，\(R=\lim\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\dfrac{n+1}{n}=1\)。端点：\(x=1\) 时为 \(\sum\dfrac1n\) 发散；\(x=-1\) 时为 \(\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\) 由莱布尼茨法收敛。故收敛域 \(\boxed{[-1,1)}\)。
• 【例2·真题】1997年·数一·填空题第2题(3分)：设幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 的收敛半径为 \(3\)，则幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^{n+1}\) 的收敛区间为（　）。
  • 解：\(\sum na_n(x-1)^{n+1}=(x-1)\sum na_n(x-1)^n\)。系数乘 \(n\) 不改变收敛半径，故 \(\sum na_n y^n\) 半径仍为 \(3\)，令 \(y=x-1\)，\(|x-1|<3\) 即 \(-2<x<4\)。故收敛区间 \(\boxed{(-2,4)}\)。
• 【例3·真题】2000年·数一·第七题(6分)：求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\big(3^n+(-2)^n\big)}\) 的收敛区间，并讨论端点处的收敛性。
  • 解：\(a_n=\dfrac1{n(3^n+(-2)^n)}\)，\(R=\lim\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\dfrac{(n+1)\big(3^{n+1}+(-2)^{n+1}\big)}{n\big(3^n+(-2)^n\big)}=\lim\dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{3+(-2)\left(-\frac23\right)^n}{1+\left(-\frac23\right)^n}=3\)，收敛区间 \((-3,3)\)。\(x=3\) 时通项 \(\dfrac{3^n}{n(3^n+(-2)^n)}=\dfrac{1}{n\left(1+\left(-\frac23\right)^n\right)}>\dfrac1{2n}\)（\(n\) 充分大），而 \(\sum\dfrac1n\) 发散，故 \(x=3\) 发散；\(x=-3\) 时通项 \(\dfrac{(-1)^n}{n\left(1+\left(-\frac23\right)^n\right)}\) 为交错级数，其绝对值 \(\sim\dfrac1n\) 单调递减趋于 0，莱布尼茨法收敛。故收敛域 \(\boxed{[-3,3)}\)。
• 【例4·真题】2015年·数一·选择题第3题(4分)：若级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 条件收敛，则 \(x=\sqrt3\) 与 \(x=3\) 依次为幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^n\) 的（　）。
  • 解：\(\sum a_n\) 条件收敛 ⇒ \(\sum a_n x^n\) 在 \(x=1\) 收敛、\(\sum|a_n|\) 发散，故收敛半径 \(R=1\)。\(\sum na_n(x-1)^n\) 系数乘 \(n\) 半径不变，仍为 \(1\)，收敛于 \(|x-1|<1\) 即 \(0<x<2\)。\(x=\sqrt3\approx1.732\in(0,2)\) 为收敛点；\(x=3\)（\(|3-1|=2>1\)）为发散点。选 (B) 收敛点，发散点。
• 易错坑点：求收敛半径用 \(|a_n/a_{n+1}|\)（不带 \(x\)），别把 \(x\) 代进去；端点必须逐个单独代入判断，收敛域可能含端点也可能不含。
• 配套练习：
  1. 求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n\cdot 2^n}\) 的收敛域。（答案：\(R=2\)，中心 \(1\)；\(x=3\) 发散、\(x=-1\) 收敛，故 \([-1,3)\)）
  2. 求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n\) 的收敛域。（答案：\(R=\lim\dfrac{n!}{(n+1)!}=0\)，仅 \(x=0\) 收敛）

4.2 幂级数的性质与和函数（逐项求导/积分）

• 是什么/定义：幂级数在其收敛区间内可像多项式一样进行四则运算、逐项求导、逐项积分，从而求其和函数 \(S(x)\)。
• 性质/公式：
• 逐项求导、逐项积分后收敛半径不变（端点敛散性可能改变，需单独检验）。
• 和函数求法：①用已知展开式（\(\dfrac1{1-x}\)、\(\ln(1+x)\)、\(\arctan x\) 等）拼凑；②逐项求导/积分化为已知和函数，再积分/求导回代；③设 \(S(x)\)，对其求导得 \(S'(x)\) 的方程再求解。
• 怎么考：①给幂级数求和函数（先求收敛域，再逐项求导/积分）；②由和函数反求数项级数的和（代入特殊点）；③辨析逐项运算对端点的影响。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\) 的和函数。
  • 解：设 \(S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}\)（\(|x|<1\)）。\(S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\dfrac1{1-x}\)，且 \(S(0)=0\)。积分得 \(S(x)=\int_0^x\dfrac{dt}{1-t}=-\ln(1-x)\)，故 \(\boxed{S(x)=-\ln(1-x),\ |x|<1}\)。
• 【例2·真题】2005年·数一·第16题(12分)：求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n(2n-1)}\right)x^{2n}\) 的收敛区间与和函数 \(f(x)\)。
  • 解：收敛半径：把 \(t=x^2\) 看作变量，系数 \(c_n=(-1)^{n-1}\left(1+\dfrac1{n(2n-1)}\right)\to(-1)^{n-1}\)，故 \(|x^2|<1\) 即 \(|x|<1\)，收敛区间 \((-1,1)\)（端点 \(x=\pm1\) 时通项不趋于 0，发散）。
    求和：拆成两部分，
    \[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}.\]
    第一部分 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n}=\dfrac{x^2}{1+x^2}\)。第二部分用 \(\dfrac1{n(2n-1)}=\dfrac2{2n-1}-\dfrac1n\)，
    \[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}=2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n-1}-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}.\]
    由 \(x\arctan x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n}}{2n-1}\)、\(\ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n}}{n}\)，得
    \[\boxed{f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}+2x\arctan x-\ln(1+x^2),\quad |x|<1.}\]
• 易错坑点：逐项求导/积分后端点敛散性可能改变，写和函数时注意定义域；求导（或积分）后一定要「积分（或求导）回代」，别漏常数项（用 \(S(0)\) 定出）。
• 配套练习：
  1. 求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\) 的和函数。（答案：\(\dfrac1{(1-x)^2},\ |x|<1\)）
  2. 求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n\) 的和函数。（答案：\(\dfrac1{(1-x)^2},\ |x|<1\)）

4.3 函数展开成幂级数（泰勒/麦克劳林级数）

• 是什么/定义：把函数 \(f(x)\) 表成幂级数 \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)（泰勒级数）；\(x_0=0\) 时为麦克劳林级数。
• 性质/公式：
• 展开的充分条件：\(f\) 的泰勒公式余项 \(R_n(x)\to0\)（\(n\to\infty\)）。
• 常用麦克劳林展开式（必背，含收敛域）：
  • \(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\)（\(x\in\mathbb R\)）
  • \(\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)（\(x\in\mathbb R\)）
  • \(\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)（\(x\in\mathbb R\)）
  • \(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\)（\(-1<x\le1\)）
  • \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots\)（\(|x|<1\)；端点视 \(\alpha\) 而定）
  • \(\dfrac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)（\(|x|<1\)）
  • \(\dfrac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\)（\(|x|<1\)）
  • \(\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\)（\(|x|\le1\)）
• 间接展开法（常考）：利用已知展开式，通过代换、求导、积分得到目标展开式。
• 怎么考：①用已知展开式间接展开；②展开后写收敛域；③求展开式中某系数或由展开式求数项级数的和。
• 典型例题：
• 【例1·基础】将 \(f(x)=\dfrac1{1+x}\) 展开成 \(x\) 的幂级数。
  • 解：\(\dfrac1{1+x}=\dfrac1{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\)，收敛域 \(|x|<1\)。
• 【例2·真题】2003年·数一·第四题(12分)：将函数 \(f(x)=\arctan\dfrac{1-2x}{1+2x}\) 展开成 \(x\) 的幂级数，并求级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\) 的和。
  • 解：先求导：\(f'(x)=\dfrac{-2}{1+4x^2}\)。而 \(\dfrac1{1+4x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(4x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n4^n x^{2n}\)（\(|x|<\dfrac12\)），故 \(f'(x)=-2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n4^n x^{2n}\)。逐项积分（\(f(0)=\arctan1=\dfrac\pi4\)）：
    \[f(x)=\frac\pi4-2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n x^{2n+1}}{2n+1}=\frac\pi4-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1}.\]
    令 \(x=\dfrac12\)（此时 \(f\!\left(\dfrac12\right)=\arctan0=0\)）：\(0=\dfrac\pi4-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}\)，故 \(\displaystyle\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4}\)。
• 易错坑点：展开后要写明收敛域；间接展开代换后收敛域会变（如 \(\arctan(2x)\) 收敛域 \(|x|\le\dfrac12\)）；求导/积分展开可能改变端点敛散性。
• 配套练习：
  1. 将 \(f(x)=\dfrac1{2-x}\) 展开成 \(x\) 的幂级数。（答案：\(\dfrac1{2-x}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-\frac x2}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{2^{n+1}},\ |x|<2\)）
  2. 将 \(f(x)=\ln(1+x)\) 展开成 \(x\) 的幂级数。（答案：\(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\ -1<x\le1\)）

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五、傅里叶级数

5.1 傅里叶级数（周期 \(2\pi\)）

• 是什么/定义：以 \(2\pi\) 为周期的函数 \(f(x)\) 的傅里叶级数为
  \[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\]
  其中傅里叶系数
  \[a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\ (n=0,1,2,\dots),\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\ (n=1,2,\dots).\]
  注意：常数项是 \(\dfrac{a_0}{2}\)（\(a_0\) 用同一公式取 \(n=0\) 计算）。
• 性质/公式：奇函数的傅里叶系数 \(a_n=0\)（只剩正弦项）；偶函数 \(b_n=0\)（只剩余弦项），可据此简化计算。
• 怎么考：①由定义求傅里叶系数（尤其某一指定系数）；②利用奇偶性简化积分；③判断常数项 \(a_0/2\) 的写法。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(f(x)=x\)（\(-\pi<x<\pi\)）的傅里叶级数。
  • 解：\(f\) 为奇函数，故 \(a_n=0\)。\(b_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx=\dfrac2\pi\int_0^\pi x\sin nx\,dx=\dfrac2\pi\cdot\dfrac{(-1)^{n+1}\pi}{n}=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\)。故 \(x\sim\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx=2\left(\sin x-\dfrac{\sin2x}{2}+\dfrac{\sin3x}{3}-\cdots\right)\)。
• 【例2·真题】2003年·数一·填空题第3题(4分)：设 \(x^2=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cos nx\)（\(-\pi\le x\le\pi\)），则 \(a_2=\)（　）。
  • 解：这是偶函数 \(x^2\) 的余弦级数。\(a_2=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos2x\,dx=\dfrac2\pi\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx\)。分部积分两次得 \(\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx=\dfrac\pi2\)，故 \(a_2=\dfrac2\pi\cdot\dfrac\pi2=\boxed{1}\)。
• 易错坑点：常数项是 \(\dfrac{a_0}{2}\) 不是 \(a_0\)；\(a_n\)、\(b_n\) 公式的系数是 \(\dfrac1\pi\)（半区间展开才是 \(\dfrac2\pi\)）；算 \(a_0\) 时别漏除 2。
• 配套练习：求 \(f(x)=x^2\)（\(-\pi\le x\le\pi\)）的傅里叶系数 \(a_0\) 及常数项 \(\dfrac{a_0}{2}\)。（答案：\(a_0=\dfrac2\pi\int_0^\pi x^2\,dx=\dfrac{2\pi^2}{3}\)，常数项 \(\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi^2}{3}\)）

5.2 狄利克雷收敛定理

• 是什么/定义：给出傅里叶级数在每一点收敛到「什么值」的结论（傅里叶级数不一定处处等于 \(f(x)\)）。
• 性质/公式（狄利克雷收敛定理）：若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上分段单调（或满足狄利克雷条件：有限个第一类间断点、有限个极值点），则 \(f\) 的傅里叶级数
• 在连续点 \(x_0\) 收敛于 \(f(x_0)\)；
• 在间断点 \(x_0\) 收敛于 \(\dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}\)（左右极限的平均值）；
• 在区间端点 \(\pm\pi\) 处收敛于 \(\dfrac{f(-\pi^+)+f(\pi^-)}{2}\)。
• 怎么考：①求傅里叶级数在间断点/端点处的和（核心考点）；②结合周期延拓与奇偶延拓判断某点收敛值。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(f(x)=\begin{cases}0,&-\pi\le x<0\\ 1,&0\le x\le\pi\end{cases}\)，作周期 \(2\pi\) 延拓，求其傅里叶级数在 \(x=0\) 处的和。
  • 解：\(x=0\) 为跳跃间断点，\(f(0^-)=0\)、\(f(0^+)=1\)，由狄利克雷定理，和为 \(\dfrac{0+1}{2}=\boxed{\dfrac12}\)。
• 【例2·真题】2025年·数一·第12题(5分)：已知函数 \(f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<\dfrac12\\ x^2,&\dfrac12\le x\le1\end{cases}\) 的傅里叶级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)，\(S(x)\) 为其和函数，则 \(S\!\left(-\dfrac72\right)=\)（　）。
  • 解：正弦级数对应奇延拓且周期为 \(2\)。\(S\!\left(-\dfrac72\right)=S\!\left(-\dfrac72+4\right)=S\!\left(\dfrac12\right)\)（周期 \(2\)，加 \(4\) 不变）。\(x=\dfrac12\) 为跳跃间断点：\(f\!\left(\dfrac12^-\right)=0\)、\(f\!\left(\dfrac12^+\right)=\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\)，由狄利克雷定理 \(S\!\left(\dfrac12\right)=\dfrac{0+\frac14}{2}=\boxed{\dfrac18}\)。
• 易错坑点：间断点处级数的和是左右极限的平均值，不是 \(f(x_0)\) 本身；端点处取 \(\pm\pi\) 两端值的平均；结合周期延拓时要先把 \(x\) 平移进基本区间再判。
• 配套练习：设 \(f(x)=x\)（\(-\pi<x<\pi\)）作周期 \(2\pi\) 延拓，求其傅里叶级数在 \(x=\pi\) 处的和。（答案：\(\dfrac{f(-\pi^+)+f(\pi^-)}{2}=\dfrac{-\pi+\pi}{2}=0\)）

5.3 周期 \(2l\) 的傅里叶级数

• 是什么/定义：对以 \(2l\) 为周期的函数，作变量代换 \(t=\dfrac{\pi x}{l}\)，得到周期 \(2l\) 的傅里叶级数
  \[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right),\]
  其中系数
  \[a_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\qquad b_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx.\]
• 性质/公式：\(l\) 是半周期（区间为 \([-l,l]\)）；代换 \(t=\dfrac{\pi x}{l}\) 后化为 \(2\pi\) 周期的情形。
• 怎么考：①求周期 \(2l\) 函数的傅里叶系数；②记住积分区间与系数 \(\dfrac1l\)。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(f(x)=x\)（\(-1<x<1\)，周期 \(2\)）的傅里叶级数。
  • 解：\(l=1\)，\(f\) 为奇函数故 \(a_n=0\)。\(b_n=\dfrac1l\int_{-l}^{l}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}\,dx=2\int_0^1x\sin(n\pi x)\,dx=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\)。故 \(x\sim\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi x)\)。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \(f(x)=x^2\)（\(-1<x<1\)，周期 \(2\)）的傅里叶级数中的常数项 \(\dfrac{a_0}{2}\)。
  • 解：\(a_0=\dfrac1l\int_{-l}^{l}f(x)\,dx=\int_{-1}^{1}x^2\,dx=\dfrac23\)，故常数项 \(\dfrac{a_0}{2}=\boxed{\dfrac13}\)。
• 易错坑点：\(l\) 是半周期别代错；代换 \(t=\dfrac{\pi x}{l}\) 后积分变量、上下限都要同步换。
• 配套练习：写出 \(f(x)=x\)（\(-1<x<1\)，周期 \(2\)）的傅里叶级数形式。（答案：\(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi x)\)）

5.4 正弦级数与余弦级数（奇偶延拓）

• 是什么/定义：
• 奇函数展开（正弦级数）：\(f\) 为奇函数时 \(a_n=0\)，只剩 \(b_n\sin nx\) 项。
• 偶函数展开（余弦级数）：\(f\) 为偶函数时 \(b_n=0\)，只剩 \(a_n\cos nx\) 项。
• 半区间展开（常考）：只在 \([0,l]\) 上有定义的 \(f(x)\)，可作奇延拓（展开为正弦级数）或偶延拓（展开为余弦级数）：
  • 正弦展开：\(b_n=\dfrac2l\int_0^l f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}\,dx\)；
  • 余弦展开：\(a_n=\dfrac2l\int_0^l f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{l}\,dx\)，\(a_0=\dfrac2l\int_0^l f(x)\,dx\)。
• 性质/公式：半区间展开只在 \((0,l)\) 内等于 \(f(x)\)，端点处按狄利克雷定理取值。
• 怎么考：①给 \([0,l]\) 上的函数作正弦/余弦展开；②用奇偶延拓结合狄利克雷定理求间断点/端点处的和。
• 典型例题：
• 【例1·基础】将 \(f(x)=x\)（\(0\le x\le\pi\)）展开为正弦级数。
  • 解：作奇延拓，\(b_n=\dfrac2\pi\int_0^\pi x\sin nx\,dx=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\)，故 \(x\sim\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\)（\(0<x<\pi\)）。
• 【例2·真题风格·自编题】将 \(f(x)=x\)（\(0\le x\le\pi\)）展开为余弦级数。
  • 解：作偶延拓，\(a_0=\dfrac2\pi\int_0^\pi x\,dx=\pi\)（常数项 \(\dfrac{a_0}{2}=\dfrac\pi2\)）；\(a_n=\dfrac2\pi\int_0^\pi x\cos nx\,dx=\dfrac{2\left((-1)^n-1\right)}{\pi n^2}\)，即 \(n\) 偶时为 \(0\)、\(n\) 奇时为 \(-\dfrac4{\pi n^2}\)。故
    \[x\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}=\frac\pi2-\frac4\pi\left(\cos x+\frac{\cos3x}{9}+\frac{\cos5x}{25}+\cdots\right).\]
• 易错坑点：奇延拓在 \(x=0\) 处通常有跳跃，其正弦级数在 \(x=0\) 的和为 \(0\) 而非 \(f(0)\)；半区间展开只在开区间 \((0,l)\) 内等于 \(f(x)\)。
• 配套练习：将 \(f(x)=1\)（\(0<x<\pi\)）展开为正弦级数，并求该级数在 \(x=\dfrac\pi2\) 处的和。（答案：\(1\sim\dfrac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sin(2k+1)x}{2k+1}\)；在 \(x=\dfrac\pi2\) 处和为 \(\dfrac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=1\)）

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配套练习（本章综合）

1. 判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\) 的敛散性。（答案：发散，\(\dfrac n{n^2+1}\sim\dfrac1n\)）
2. 判断 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) 的敛散类型。（答案：条件收敛）
3. 求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\) 的收敛域。（答案：\(R=1\)；\(x=1\)、\(x=-1\) 均收敛，故 \([-1,1]\)）
4. 求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) 的和函数。（答案：\(\dfrac1{1-x},\ |x|<1\)）
5. 将 \(f(x)=\dfrac1{1+x^2}\) 展开成 \(x\) 的幂级数。（答案：\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n},\ |x|<1\)）
6. 求 \(f(x)=|x|\)（\(-\pi\le x\le\pi\)）的傅里叶级数，并求该级数在 \(x=0\) 处的和。（答案：\(|x|=\dfrac\pi2-\dfrac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}\)；\(x=0\) 为连续点，和为 \(f(0)=0\)）

学完本章的检验标准

1. 能正确判断常数项级数的敛散（必要条件、几何级数、\(p\) 级数）。
2. 会用比较、比值、根值三种审敛法判断正项级数敛散（积分审敛法为选学补充，不在数一考纲）。
3. 能用莱布尼茨判别法判断交错级数，并区分绝对收敛与条件收敛。
4. 会求幂级数的收敛半径与收敛域（含端点逐个检验），能准确表述阿贝尔定理。
5. 会求幂级数的和函数（逐项求导/积分法），并能把函数展开成幂级数（含收敛域）。
6. 会求周期函数（\(2\pi\) 或 \(2l\)）的傅里叶级数、正弦/余弦级数，并会用狄利克雷定理求间断点/端点处的和。

恭喜！完成本章即完成数一《高等数学》全部八章内容。