第1章「行列式」讲义

这是线性代数的第1章，也是整个线代的「地基」。后面求逆矩阵、判定线性方程组解、求特征值，全都要用到行列式。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。
前置知识：只需会解一元一次/二次方程、会做数的四则运算即可，本章不依赖微积分。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。个别标注「数三」者为真实真题（数一、数二、数三公共考点），同样已核实。

一、行列式的定义

1.1 二阶、三阶行列式

是什么/定义：行列式是一个「方形数表」（n 行 n 列）按特定规则算出来的一个数。
性质/公式：
二阶行列式（主对角线之积 − 副对角线之积）：
\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]
三阶行列式（对角线法则）：
\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \]
怎么考：①直接算二、三阶行列式（数值或含字母）；②给行列式值反解参数；③理解「行列式是数、矩阵是数表」的区别（为矩阵章铺垫）。
典型例题：
【例1·基础】计算三阶行列式 \(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{vmatrix}\)。
- 解：用对角线法则：主对角线三积之和 \(=1\cdot3\cdot2+2\cdot1\cdot3+3\cdot2\cdot1=6+6+6=18\)；副对角线三积之和 \(=3\cdot3\cdot3+2\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot1=27+8+1=36\)。相减得 \(\boxed{-18}\)。
【例2·真题风格·自编题】计算含字母的三阶行列式 \(\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}\)。
- 解：把第 2、3 行都加到第 1 行，第 1 行变为 \((a+2,\ a+2,\ a+2)\)，提出公因子 \((a+2)\)，再令第 2、3 行分别减去第 1 行，得
  \[ (a+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)^2. \]
  故原式 \(\boxed{(a+2)(a-1)^2}\)。
易错坑点：对角线法则只适用于二、三阶，四阶及以上不能用，必须用后面的「按行（列）展开」或性质化简。
配套练习：计算三阶行列式 \(\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&2&0\\-2&1&4\end{vmatrix}\)。（答案：\(35\)）

1.2 n 阶行列式的展开式定义

是什么/定义：
逆序与逆序数：在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数前面，就构成一个逆序；逆序的总个数叫逆序数，记 τ。
n 阶行列式定义：
\[ \det A = \sum (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} \]
求和遍及列标 \(j_1j_2\cdots j_n\) 的所有 \(n!\) 种排列。
性质/公式：n 阶行列式展开共 \(n!\) 项；每项是「每行每列各取一个元素」相乘，再按列标排列的逆序数配正负号（逆序数为偶取正、为奇取负）。
怎么考：①求某排列的逆序数；②判断展开式中某项的符号；③用定义理解「行列式含 \(n!\) 项、每项取自不同行不同列」（少直接展开大阶，重概念辨析）。
典型例题：
【例1·基础】求排列 \((3,1,4,2)\) 的逆序数。
- 解：3 后面比 3 小的有 1、2，共 2 个逆序；1 后面无比它小的；4 后面比 4 小的有 2，共 1 个逆序；2 后面无。故 \(\tau=\boxed{3}\)。
【例2·真题风格·自编题】在 4 阶行列式的展开式中，项 \(a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}\) 应带什么符号？
- 解：该项的列标排列为 \((2,3,1,4)\)。2 与后面的 1 构成 1 个逆序，3 与后面的 1 构成 1 个逆序，其余无，故 \(\tau=2\) 为偶数，符号为 \(\boxed{+}\)。
易错坑点：展开式中每一项的 n 个因子必须取自不同行、不同列；判断符号时先写出「列标排列」再数逆序，别把行标、列标搞混。
配套练习：求排列 \((4,1,3,2)\) 的逆序数。（答案：\(4\)）

1.3 几种特殊行列式（直接背结果）

是什么/定义：
上（下）三角行列式、对角行列式：主对角线上方（或下方）全为 0（对角行列式除主对角线外全为 0）。
副对角行列式：只有副对角线上有非零元素。
性质/公式：
上（下）三角行列式、对角行列式 = 主对角线上 n 个元素的乘积。
副对角行列式 = 副对角线元素之积，再乘符号 \((-1)^{n(n-1)/2}\)。
怎么考：①直接写出特殊行列式的值；②把一般行列式通过性质化成上三角后相乘（本章核心技能）；③副对角行列式别忘了符号。
典型例题：
【例1·基础】计算 \(\begin{vmatrix}2&0&0\\4&-3&0\\1&2&5\end{vmatrix}\)。
- 解：这是下三角行列式（主对角线上方全为 0），值 = 主对角线之积 \(=2\times(-3)\times5=\boxed{-30}\)。
【例2·真题风格·自编题】计算 \(\begin{vmatrix}0&0&a\\0&b&0\\c&0&0\end{vmatrix}\)。
- 解：这是 3 阶副对角行列式，\(n=3\)，符号 \((-1)^{3\cdot2/2}=(-1)^3=-1\)，故值 \(=-abc\)，即 \(\boxed{-abc}\)。（也可按第 1 行展开验证：\(a\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}=a\cdot(0-bc)=-abc\)。）
易错坑点：副对角行列式别忘了符号 \((-1)^{n(n-1)/2}\)；上（下）三角行列式的三角区域为 0 的部分不影响结果，只乘主对角线。
配套练习：计算 4 阶副对角行列式 \(\begin{vmatrix}0&0&0&a\\0&0&b&0\\0&c&0&0\\d&0&0&0\end{vmatrix}\)。（答案：\(abcd\)）

二、行列式的性质

以下性质是「化简行列式」的工具，所有计算题本质上都是靠这些性质把行列式化成三角行列式再相乘。

2.1 基本性质

是什么/定义：行列式在「行/列变换」下如何变化的六条规则。
性质/公式：
1. 转置不变：\(|A^T|=|A|\)（行与列地位平等，对行成立的性质对列也成立）。
2. 换行（列）变号：交换两行（或两列），行列式变号。
3. 两行（列）相同或成比例 ⇒ 行列式为 0。
4. 提公因子：某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。
5. 行列可拆：若某行（列）的元素是两数之和，则可拆成两个行列式之和。
6. 倍加不变：把某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，行列式值不变。
怎么考：①综合用「倍加、提因子、换行」把行列式化成上三角再相乘；②判断行列式是否为 0；③\(|kA|=k^n|A|\)（把数 k 乘进矩阵，相当于每行都提出 k）。
典型例题：
【例1·基础】计算 4 阶行列式 \(D=\begin{vmatrix}2&1&1&1\\1&2&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&2\end{vmatrix}\)。
- 解：第 1 步（倍加不变）把第 2、3、4 行都加到第 1 行，第 1 行变为 \((5,5,5,5)\)；第 2 步（提公因子）提出 5；第 3 步（倍加不变）第 2、3、4 行分别减第 1 行，得
  \[ D=5\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{vmatrix}=5\times(1\times1\times1\times1)=\boxed{5}. \]
【例2·真题】1996年·数一·第5题（选择）：四阶行列式 \(\begin{vmatrix}a_1&0&0&b_1\\0&a_2&b_2&0\\0&b_3&a_3&0\\b_4&0&0&a_4\end{vmatrix}\) 的值等于（　）。
(A) \(a_1a_2a_3a_4-b_1b_2b_3b_4\)　(B) \(a_1a_2a_3a_4+b_1b_2b_3b_4\)　(C) \((a_1a_2-b_1b_2)(a_3a_4-b_3b_4)\)　(D) \((a_2a_3-b_2b_3)(a_1a_4-b_1b_4)\)
- 解：按第 1 行展开，只有 \(a_1\)（第1列）与 \(b_1\)（第4列）两项：
  \[ D=a_1A_{11}+b_1A_{14}. \]
  其中 \(A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_2&b_2&0\\b_3&a_3&0\\0&0&a_4\end{vmatrix}=a_4(a_2a_3-b_2b_3)\)；\(A_{14}=(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}0&a_2&b_2\\0&b_3&a_3\\b_4&0&0\end{vmatrix}=-b_4(a_2a_3-b_2b_3)\)。故
  \[ D=(a_1a_4-b_1b_4)(a_2a_3-b_2b_3), \]
  选 \(\boxed{\text{(D)}}\)。
易错坑点：提公因子是对某一行（列）整体提、不是对每个元素分别提；「倍加不变」是「加到另一行」，不是把本行乘以 k（后者会改变行列式）。
配套练习：设 A 为 3 阶方阵且 \(|A|=2\)，求 \(|2A|\)。（答案：\(|2A|=2^3|A|=16\)）

2.2 推论

是什么/定义：由基本性质直接推出的两条零值判定。
性质/公式：
若某一行（列）全为 0，则行列式为 0。
若某两行（列）成比例（含两行相同），则行列式为 0。
怎么考：①判断含参数行列式何时为 0（常与「矩阵可逆 ⇔ 行列式 ≠ 0」呼应）；②由「两行成比例」快速判定行列式为 0；③作为克拉默法则「齐次方程组有非零解 ⇔ D=0」的铺垫。
典型例题：
【例1·基础】不展开，判断 \(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{vmatrix}\) 的值。
- 解：第 2 行 \(=(2,4,6)\) 是第 1 行 \((1,2,3)\) 的 2 倍，两行成比例，故行列式 \(\boxed{0}\)。
【例2·真题风格·自编题】求 \(a\) 为何值时，\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&2&3\\a^2&4&9\end{vmatrix}=0\)。
- 解：把列看成 \((1,x,x^2)\) 型，这是范德蒙德行列式（\(x_1=a,\ x_2=2,\ x_3=3\)），值 \(=(2-a)(3-a)(3-2)=(2-a)(3-a)\)。令其为 0，得 \(\boxed{a=2\ \text{或}\ a=3}\)。（此时第 1 列分别与第 2、3 列成比例。）
易错坑点：「两行成比例 ⇒ 行列式为 0」是高频考点，注意是整行（列）对应成比例，不是个别元素相等。
配套练习：不展开，判断 \(\begin{vmatrix}2&4&6\\1&2&3\\5&5&5\end{vmatrix}\) 的值。（答案：\(0\)，前两行成比例）

三、行列式按行（列）展开

3.1 余子式与代数余子式

是什么/定义：
余子式 \(M_{ij}\)：划去元素 \(a_{ij}\) 所在的第 i 行和第 j 列后，剩下的元素按原位置组成的 \((n-1)\) 阶行列式。
代数余子式 \(A_{ij}\)：\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。
性质/公式：代数余子式 = 余子式再乘一个「棋盘符号」\((-1)^{i+j}\)（\(i+j\) 为偶取正、为奇取负）。
怎么考：①写出某元素的余子式、代数余子式；②符号判断（\((-1)^{i+j}\) 别丢）；③与展开定理、伴随矩阵结合。
典型例题：
【例1·基础】设 \(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}\)，求元素 \(a_{23}=6\) 的余子式 \(M_{23}\) 与代数余子式 \(A_{23}\)。
- 解：\(M_{23}=\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}=1\cdot8-2\cdot7=-6\)；\(A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)\times(-6)=\boxed{6}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(D=\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}\)，求第一行各元素的代数余子式，并按第一行展开求 D。
- 解：\(A_{11}=(-1)^{2}\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1\)；\(A_{12}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}3&0\\0&1\end{vmatrix}=-3\)；\(A_{13}=(-1)^{4}\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}=6\)。故
  \[ D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=1\cdot1+0\cdot(-3)+2\cdot6=\boxed{13}. \]
易错坑点：代数余子式多一个符号 \((-1)^{i+j}\)，别丢；划去的是「第 i 行 + 第 j 列」，别多划或少划。
配套练习：设 \(D=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}\)，求 \(A_{11}\)。（答案：\(A_{11}=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\)）

3.2 展开定理

是什么/定义：行列式可按任意一行（列）展开为「该行元素 × 对应代数余子式」之和。
性质/公式：
按第 i 行展开：\(\det A=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)。
按第 j 列展开：\(\det A=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\)。
异行（列）展开为零（重要！）：\(a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0\)（当 \(i\ne k\) 时），即「第 i 行的元素乘上第 k 行的代数余子式」之和为 0。
怎么考：①选「含 0 最多的行/列」展开降阶；②求代数余子式之和：把某行（列）换成 1，再与展开式、异行展开为零联立；③异行展开为零用于求 \(A_{i1}+A_{i2}+\cdots+A_{in}\) 类问题。
典型例题：
【例1·基础】计算 \(\begin{vmatrix}1&-1&2&0\\0&0&-1&0\\1&0&0&2\\4&1&-2&0\end{vmatrix}\)。
- 解：第 2 行只有 \(a_{23}=-1\) 一个非零元素，按第 2 行展开：
  \[ D=(-1)\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&-1&0\\1&0&2\\4&1&0\end{vmatrix}. \]
  再按第 3 列展开（只有 \(2\) 非零）：
  \[ \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&0&2\\4&1&0\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&-1\\4&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)\cdot(1+4)=-10, \]
  故 \(D=(-1)\cdot(-1)\cdot(-10)=\boxed{-10}\)。
【例2·真题】2021年·数一·第15题（填空）：设 \(A=(a_{ij})\) 为 3 阶矩阵，\(A_{ij}\) 为代数余子式，若 A 的每行元素之和均为 2，且 \(|A|=3\)，则 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}=\) ______。
- 解：把 A 的三列记为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)。每行和均为 2 意味着 \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2(1,1,1)^T\)，即 \((1,1,1)^T=\tfrac12(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)\)。
  \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\) 等于「把 A 的第 1 列换成 \((1,1,1)^T\)」后的行列式（按第 1 列展开即 \(1\cdot A_{11}+1\cdot A_{21}+1\cdot A_{31}\)），故
  \[ A_{11}+A_{21}+A_{31}=\left|\tfrac12(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3),\ \alpha_2,\ \alpha_3\right| =\tfrac12|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|+\tfrac12|\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3|+\tfrac12|\alpha_3,\alpha_2,\alpha_3| =\tfrac12|A|+0+0=\boxed{\tfrac32}. \]
易错坑点：异行（列）展开为零是「求代数余子式之和」类题型的核心——求「某列各元素的代数余子式之和」时，把该列换成全 1 再展开即可；「同列求和」用展开定理，「异列求和」得 0，别混。
配套练习：计算 \(\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&0\\2&0&4\end{vmatrix}\)。（答案：\(-28\)）

3.3 范德蒙德（Vandermonde）行列式

是什么/定义：形如下式的行列式（第 1 行全 1，第 2 行是 \(x_1,\dots,x_n\)，第 3 行是它们的平方，…）：
\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \]
性质/公式：其值等于所有「后列元素减前列元素」\((x_i-x_j)\)（其中 \(i>j\)）的连乘积：
\[ \prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j). \]
怎么考：①识别范德蒙德直接写结果；②通过转置、换行/换列把行列式化成范德蒙德型；③与克拉默法则结合（系数行列式是范德蒙德时用其 ≠ 0 判唯一解）。
典型例题：
【例1·基础】计算 \(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}\)。
- 解：这是 3 阶范德蒙德行列式（\(x_1=a,\ x_2=b,\ x_3=c\)），直接套公式：
  \[ \prod_{1\le j<i\le 3}(x_i-x_j)=(b-a)(c-a)(c-b). \]
  故原式 \(\boxed{(b-a)(c-a)(c-b)}\)。
【例2·真题风格·自编题】计算 \(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&-1&-3&1\\4&1&9&1\\8&-1&-27&1\end{vmatrix}\)。
- 解：第 1 行全 1，第 2 行为 \((2,-1,-3,1)\)，第 3、4 行分别是平方、立方，是范德蒙德行列式，对应 \(x_1=2,\ x_2=-1,\ x_3=-3,\ x_4=1\)。故
  \[ \begin{aligned} D&=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_4-x_3)\\ &=(-3)(-5)(-1)(-2)(2)(4)=\boxed{240}. \end{aligned} \]
易错坑点：因子是 \(x_i-x_j\)（下标大的减小的），顺序写反会整体变号；只有当第 2 行是「一次幂」、第 3 行是「二次幂」…逐次升幂、第 1 行全 1 时才直接套公式，否则要先换行/换列化成标准型。
配套练习：计算 \(\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&5\\4&9&25\end{vmatrix}\)。（答案：\((3-2)(5-2)(5-3)=6\)）

四、克拉默（Cramer）法则

4.1 法则内容

是什么/定义：n 个方程、n 个未知数的线性方程组，当系数行列式 \(D\ne0\) 时，可用行列式直接写出唯一解。
性质/公式：
唯一解：\(x_j=\dfrac{D_j}{D}\ (j=1,2,\cdots,n)\)，其中 \(D_j\) 是把系数行列式 D 的第 j 列换成常数项列后得到的行列式。
推论（重要）：齐次线性方程组（常数项全为 0）的系数行列式 \(D\ne0\) ⇒ 该齐次方程组只有零解。
等价说法：齐次方程组有非零解 ⇒ 系数行列式 \(D=0\)。
怎么考：①解具体的方阵方程组；②给齐次方程组问「参数取何值时有非零解」，等价于令 \(D=0\) 解参数；③理论证明（由 \(D\ne0\) 得唯一解/只有零解）。
典型例题：
【例1·基础】用克拉默法则解方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2=3\\2x_1-x_2=0\end{cases}\)。
- 解：\(D=\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-1-2=-3\ne0\)；\(D_1=\begin{vmatrix}3&1\\0&-1\end{vmatrix}=-3\)；\(D_2=\begin{vmatrix}1&3\\2&0\end{vmatrix}=-6\)。故
  \[ x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-3}{-3}=1,\qquad x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{-6}{-3}=2. \]
  即 \(\boxed{x_1=1,\ x_2=2}\)（代入验证：\(1+2=3\)，\(2-2=0\)）。
【例2·真题】1996年·数三·填空（数一、数二、数三公共考点，范德蒙德+克拉默法则综合）：设
\[ A=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{pmatrix},\quad x=(x_1,\cdots,x_n)^T,\quad B=(1,\cdots,1)^T, \]
其中 \(a_i\ne a_j\)（\(i\ne j\)），则线性方程组 \(A^Tx=B\) 的解为 ______。
- 解：\(A^T\) 是范德蒙德行列式（转置），\(|A^T|=|A|=\prod_{j<i}(a_i-a_j)\ne0\)（因 \(a_i\) 两两不同），由克拉默法则，\(A^Tx=B\) 有唯一解。
  又 \(A^T\) 的第 1 列就是 A 的第 1 行，即全 1 的列 \((1,1,\cdots,1)^T\)。因此取 \(x=(1,0,0,\cdots,0)^T\) 时，
  \[ A^Tx=1\cdot(A^T\text{ 的第 1 列})=(1,1,\cdots,1)^T=B. \]
  由唯一性，解为 \(\boxed{x=(1,0,0,\cdots,0)^T}\)。
易错坑点：克拉默法则只对「方程个数 = 未知数个数」的方阵情形成立，且要求 \(D\ne0\)；\(D=0\) 时法则失效，需用后面线性方程组一章的秩方法判定。考试中克拉默法则多用于理论证明，实际求具体解一般用高斯消元法（见方程组章节）。
配套练习：问 \(\lambda\) 取何值时，齐次方程组 \(\begin{cases}(\lambda-1)x_1+x_2=0\\x_1+(\lambda-1)x_2=0\end{cases}\) 有非零解。（答案：\(\lambda=0\) 或 \(\lambda=2\)）

五、典型题型汇总

计算行列式：利用性质（倍加、提公因子、换行）化成上三角行列式，再对角线相乘；或按含 0 最多的行（列）展开。
含字母/参数的抽象行列式：先化简再算，注意利用「两行成比例 ⇒ 0」。
求代数余子式之和：利用异行（列）展开为零 + 某行展开式，构造关系求解。
克拉默法则判断题：给齐次方程组，问参数取何值时有非零解，等价于令系数行列式 = 0 解参数。
行列式性质的计算题：如 \(|kA| = k^n |A|\)、\(|AB| = |A||B|\)、\(|A^{-1}| = 1/|A|\)、\(|A^*| = |A|^{n-1}\)（这些在矩阵章节还会系统讲，此处先记）。

配套练习（本章综合）

计算三阶行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)。（答案：\(-18\)）
计算范德蒙德行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}\)。（答案：\((b-a)(c-a)(c-b)\)）
设 A 为 3 阶方阵且 \(|A| = 2\)，求 \(|2A|\) 和 \(|A^*|\)。（答案：\(|2A| = 16\)，\(|A^*| = |A|^{3-1} = 4\)）
计算 4 阶副对角行列式 \(\begin{vmatrix}0&0&0&a\\0&0&b&0\\0&c&0&0\\d&0&0&0\end{vmatrix}\)。（答案：\(abcd\)）
问 \(\lambda\) 取何值时，齐次方程组 \(\begin{cases}(\lambda-1)x_1+x_2=0\\x_1+(\lambda-1)x_2=0\end{cases}\) 有非零解。（答案：\(\lambda=0\) 或 \(\lambda=2\)）

学完本章的检验标准

能熟练算二阶、三阶行列式（对角线法则）。
能用性质把一个 4 阶行列式化成上三角行列式并算出结果。
能正确写出某元素的余子式和代数余子式（注意符号 \((-1)^{i+j}\)）。
能按行（列）展开计算行列式，并会用「异行展开为 0」求代数余子式之和。
能识别范德蒙德行列式并直接写出其值（注意因子顺序 \(x_i-x_j\)）。
会用克拉默法则判断方程组是否有唯一解、齐次方程组是否只有零解（等价于系数行列式是否为 0）。

全部达到后，进入第2章「矩阵」——矩阵的运算、逆矩阵、初等变换与秩，是线代的核心工具。