第2章「矩阵」讲义

矩阵是线性代数的「通用语言」：向量、线性方程组、二次型、特征值问题最终都会写成矩阵。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。
前置知识：第1章「行列式」的行列式概念与基本计算。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、矩阵的概念与运算

1.1 矩阵的概念

是什么/定义：矩阵是 m 行 n 列排成的一个数表（用圆括号或方括号括起来），记 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)。
性质/公式（基本概念）：
行矩阵（\(1\times n\)）、列矩阵（\(m\times 1\)）、零矩阵、方阵（\(m=n\)，称阶数）。
对角矩阵：只有主对角线上元素可能非零，其余全为 0。
单位矩阵 E（或 I）：主对角线全为 1 的对角矩阵，满足 \(AE=EA=A\)。
数量矩阵：\(kE\)（主对角线全为 k）。
对称矩阵：\(A^T=A\)；反对称矩阵：\(A^T=-A\)（主对角线必为 0）。
与行列式的区别（核心）：矩阵是一个表，本身没有「值」；行列式是方阵按规则算出来的一个数。
怎么考：①识别矩阵类型（对角/单位/对称/反对称）；②判断两个矩阵是否相等；③辨析「矩阵」与「行列式」两个概念。
典型例题：
【例1·基础】判断「两个矩阵的行列式相等，则这两个矩阵相等」是否正确。
- 解：错误。如 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac12\end{pmatrix}\)，\(|A|=|B|=1\)，但 \(A\ne B\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为 n 阶方阵，令 \(B=A+A^T\)、\(C=A-A^T\)，判断 B、C 的对称性。
- 解：\(B^T=(A+A^T)^T=A^T+A=B\)，故 B 对称；\(C^T=(A-A^T)^T=A^T-A=-C\)，故 C 反对称。由此任意方阵 \(A=\dfrac{B+C}{2}\) 都能分解为「对称矩阵 + 反对称矩阵」。
易错坑点：两个矩阵相等要求「同型且对应元素都相等」；行列式相等的两个矩阵不一定相等。
配套练习：设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)，判断 A 是否对称，并写出 \(A+A^T\) 与 \(A-A^T\)。（答案：对称；\(A+A^T=\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\)，\(A-A^T=O\)）

1.2 矩阵的加减与数乘

是什么/定义：
加减法：同型矩阵对应元素相加减。
数乘：\(kA\) 是 A 的每个元素都乘 k。
性质/公式：\(k(A+B)=kA+kB\)；\(|kA|=k^n|A|\)（A 为 n 阶方阵，k 的指数是阶数 n）。
怎么考：①矩阵加减、数乘直接计算；②由 \(|A|\) 求 \(|kA|\)、\(|kA^T|\)；③辨析「数乘」与「行列式提取公因子」的区别。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求 \(2A\) 与 \(|2A|\)，并验证 \(|2A|=2^2|A|\)。
- 解：\(2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)；\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)；\(|2A|=2\times8-4\times6=16-24=-8=4\times(-2)=2^2|A|\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为 3 阶方阵且 \(|A|=2\)，求 \(|3A^T|\) 与 \(|-A|\)。
- 解：\(|3A^T|=3^3|A^T|=27\times2=54\)；\(|-A|=(-1)^3|A|=-2\)。
易错坑点（高频）：\(|kA|=k^n|A|\)（k 只提一次，但指数是阶数 n）；数乘是「每个元素乘 k」，而行列式提取公因子是「每行/每列各提一次」。
配套练习：设 A 为 4 阶方阵且 \(|A|=3\)，求 \(|2A|\) 与 \(|-2A|\)。（答案：\(|2A|=2^4\times3=48\)；\(|-2A|=(-2)^4\times3=48\)）

1.3 矩阵乘法

是什么/定义：设 \(A\) 为 \(m\times s\)、\(B\) 为 \(s\times n\)，则 \(C=AB\) 为 \(m\times n\)，且
\[ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj} \]
即 C 的第 i 行第 j 列元素 = A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素相乘再相加。
性质/公式：
可乘条件：左矩阵的列数 = 右矩阵的行数。
结合律 \((AB)C=A(BC)\)；分配律 \(A(B+C)=AB+AC\)；数乘结合 \(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)。
不满足交换律：一般 \(AB\ne BA\)。
不满足消去律：\(AB=AC\) 且 \(A\ne O\) 不能推出 \(B=C\)；\(AB=O\) 不能推出 \(A=O\) 或 \(B=O\)。
\((AB)^T=B^TA^T\)；\((A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2\)（除非 \(AB=BA\)）。
怎么考：①判断能否相乘及结果形状；②计算矩阵乘积；③用「不满足交换律、消去律」辨析命题；④构造 \(AB=O\) 但 A、B 均非零的反例。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\)，求 \(AB\) 与 \(BA\)，并说明是否相等。
- 解：\(AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}\)；\(BA=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\)。可见 \(AB\ne BA\)，矩阵乘法不满足交换律。
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\)，求 \(AB\)，并说明「\(AB=O\) 不能推出 \(A=O\) 或 \(B=O\)」。
- 解：\(AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O\)，但 \(A\ne O\)、\(B\ne O\)。这说明矩阵乘法不满足消去律。
易错坑点：乘法不满足交换律、消去律；\(AB=O\) 不蕴含 \(A=O\) 或 \(B=O\)；\((AB)^T=B^TA^T\) 中顺序要颠倒。
配套练习：设 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，求 \(A^2\)，并判断 \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) 是否对任意同阶方阵 A、B 恒成立。（答案：\(A^2=E\)；不恒成立，只有 \(AB=BA\) 时才成立）

1.4 转置

是什么/定义：把矩阵的行列互换得到转置矩阵 \(A^T\)。
性质/公式：\((A^T)^T=A\)；\((A+B)^T=A^T+B^T\)；\((kA)^T=kA^T\)；\((AB)^T=B^TA^T\)；\(|A^T|=|A|\)。
怎么考：①求转置；②用 \((AB)^T=B^TA^T\) 化简；③由 \(|A^T|=|A|\) 快速求行列式；④与对称/反对称判断结合。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，求 \(A^T\) 与 \((A^T)^T\)。
- 解：\(A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\)；\((A^T)^T=A\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A、B 为 n 阶方阵，\(|A|=2\)、\(|B|=3\)，求 \(|A^TB|\)。
- 解：\(|A^TB|=|A^T||B|=|A||B|=2\times3=6\)。
易错坑点：\((AB)^T=B^TA^T\)（顺序颠倒）；\(|A^T|=|A|\)（转置不改变行列式值）。
配套练习：设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，求 \((AB)^T\)，并与 \(B^TA^T\) 比较。（答案：\((AB)^T=B^TA^T=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\)）

1.5 方阵的幂

是什么/定义：\(A^k=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{k\ \text{个}}\)；规定 \(A^0=E\)。
性质/公式：\(A^kA^l=A^{k+l}\)；\((A^k)^l=A^{kl}\)；一般 \((AB)^k\ne A^kB^k\)（因不可交换）。
怎么考：①求对角矩阵、上三角（\(E+N\) 型）矩阵的 n 次幂；②用 \(A^k\) 化简；③求 \(A^n\)（n 很大时找规律）。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，求 \(A^k\)。
- 解：对角矩阵的幂逐元素取幂，\(A^k=\begin{pmatrix}1^k&0\\0&2^k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^k\end{pmatrix}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，求 \(A^n\)（\(n\ge1\)）。
- 解：\(A=E+N\)，其中 \(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) 满足 \(N^2=O\)，且 \(EN=NE\)，由二项式定理（\(k\ge2\) 时 \(N^k=O\)）得 \(A^n=(E+N)^n=E+nN=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)。
易错坑点：\((AB)^k\ne A^kB^k\)（不可交换）；\(A^k\) 只对方阵定义。
配套练习：设 \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)，求 \(A^{10}\)。（答案：\(A^{10}=2^{10}E=\begin{pmatrix}1024&0\\0&1024\end{pmatrix}\)）

1.6 特殊矩阵的行列式与运算

是什么/定义：
正交矩阵：\(A^TA=AA^T=E\)，即 \(A^T=A^{-1}\)。
幂等矩阵：\(A^2=A\)；对合矩阵：\(A^2=E\)；幂零矩阵：存在正整数 k 使 \(A^k=O\)。
性质/公式：正交矩阵 \(|A|=\pm1\)；幂零矩阵 \(|A|=0\)；对合矩阵 \(|A|=\pm1\)。
怎么考：①由定义判断矩阵类型；②由 \(A^TA=E\) 求 \(|A|\)；③结合幂等/对合/幂零求行列式。
典型例题：
【例1·基础】设 A 为正交矩阵，求 \(|A|\) 的可能值。
- 解：\(A^TA=E\)，两边取行列式得 \(|A^T||A|=|A|^2=1\)，故 \(|A|=\pm1\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为幂零矩阵（存在正整数 k 使 \(A^k=O\)），求 \(|A|\)。
- 解：\(A^k=O\)，两边取行列式得 \(|A|^k=0\)，故 \(|A|=0\)。
易错坑点：正交矩阵 \(|A|=\pm1\)，但 \(|A|=\pm1\) 不能反推 A 正交；幂零矩阵必奇异。
配套练习：设 A 为 n 阶矩阵且 \(A^2=E\)，求 \(|A|\) 的可能值。（答案：\(|A|^2=1\)，即 \(|A|=\pm1\)）

1.7 方阵乘积的行列式（\(|AB|=|A||B|\)）

是什么/定义：设 A、B 为同阶（n 阶）方阵，则乘积 AB 的行列式等于各自行列式的乘积：\(|AB|=|A|\cdot|B|\)。
性质/公式：
\(|AB|=|A||B|\)（n 阶方阵）；
推广：\(|A_1A_2\cdots A_k|=|A_1||A_2|\cdots|A_k|\)；
\(|A^k|=|A|^k\)；
\(|AB|=|BA|\)（即使 \(AB\ne BA\)，行列式也相等）；
注意：\(|A+B|\ne|A|+|B|\)（行列式对加法没有分配律）。
怎么考：①由 \(|A|,|B|\) 求 \(|AB|\)、\(|A^k|\)；②结合 \(|kA|=k^n|A|\)、\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)、\(|A^T|=|A|\) 综合求值；③判断 \(|AB|\) 是否为 0（结合秩与满秩）。
典型例题：
【例1·基础】设 A、B 为 3 阶方阵，\(|A|=2\)，\(|B|=-3\)，求 \(|AB|\)、\(|A^2|\)、\(|2AB^T|\)、\(|AB^{-1}|\)（B 可逆）。
- 解：\(|AB|=|A||B|=2\times(-3)=-6\)；\(|A^2|=|A|^2=4\)；\(|2AB^T|=2^3|A||B^T|=8\times2\times(-3)=-48\)；\(|AB^{-1}|=|A||B|^{-1}=2\times\left(-\dfrac13\right)=-\dfrac23\)。
【例2·真题】1999年·数一·选择第4题(3分)：设 A 是 \(m\times n\) 矩阵，B 是 \(n\times m\) 矩阵，则（　）。
(A) 当 \(m>n\) 时，必有行列式 \(|AB|\ne0\)
(B) 当 \(m>n\) 时，必有行列式 \(|AB|=0\)
(C) 当 \(n>m\) 时，必有行列式 \(|AB|\ne0\)
(D) 当 \(n>m\) 时，必有行列式 \(|AB|=0\)
- 解：AB 为 \(m\) 阶方阵，且 \(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\le\min\{m,n\}\)。当 \(m>n\) 时，\(r(AB)\le n<m\)，AB 不是满秩的，故 \(|AB|=0\)，选 (B)。当 \(n>m\) 时只能得 \(r(AB)\le m\)，可能满秩也可能不满秩，不能断言，故 (C)(D) 都不对。
易错坑点：\(|A+B|\ne|A|+|B|\)；\(|kA|=k^n|A|\) 中 k 的指数是阶数 n 不是 1；\(|AB|=|A||B|\) 要求 A、B 都是方阵（否则 AB 未必是方阵，谈不上行列式）。
配套练习：设 A、B 为 4 阶方阵，\(|A|=3\)，\(|B|=2\)，求 \(|A^3B^{-1}|\) 和 \(|-2AB|\)。（答案：\(|A^3B^{-1}|=3^3\times\dfrac12=\dfrac{27}{2}\)；\(|-2AB|=(-2)^4|A||B|=16\times6=96\)）

二、逆矩阵

2.1 逆矩阵的定义

是什么/定义：设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B 使 \(AB=BA=E\)，则称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵，记 \(B=A^{-1}\)。
性质/公式（核心结论）：
可逆的充要条件：\(|A|\ne0\) ⇔ A 可逆。
\(|A|\ne0\) 时称 A 非奇异（非退化）；\(|A|=0\) 时称 A 奇异（退化），不可逆。
逆矩阵唯一；对方阵而言 \(AB=E\) 即可推出 \(BA=E\)（一般矩形矩阵不行）。
怎么考：①由 \(|A|\) 判断是否可逆；②用定义法凑 \(AB=E\) 求逆；③证明抽象矩阵可逆。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) 是否可逆。
- 解：\(|A|=1\times4-2\times3=-2\ne0\)，故 A 可逆。
【例2·真题风格·自编题】设方阵 A 满足 \(A^2-A-2E=O\)，证明 A 可逆并求 \(A^{-1}\)。
- 解：由 \(A^2-A=2E\) 得 \(A(A-E)=2E\)，即 \(A\cdot\dfrac{A-E}{2}=E\)，故 A 可逆，且 \(A^{-1}=\dfrac{A-E}{2}\)。
易错坑点：逆矩阵只对方阵定义；\(|A|=0\) 时 A 不可逆。
配套练习：设方阵 A 满足 \(A^2=2A\) 且 A 可逆，求 \(A^{-1}\)。（答案：两边左乘 \(A^{-1}\) 得 \(A=2E\)，故 \(A^{-1}=\dfrac12E\)）

2.2 逆矩阵的性质

是什么/定义：逆矩阵参与运算时的规则。
性质/公式：
\((A^{-1})^{-1}=A\)；
\((kA)^{-1}=\dfrac1k A^{-1}\)（\(k\ne0\)）；
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（顺序颠倒）；
\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)；
\(|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}=|A|^{-1}\)。
怎么考：①用逆矩阵性质化简式子；②\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 的顺序判断；③由 \(|A|\) 求 \(|A^{-1}|\)、\(|A^{-1}B|\)。
典型例题：
【例1·基础】设 A、B 可逆，化简 \((AB)^{-1}\)、\((A^T)^{-1}\)，并求 \(|A^{-1}|\)（已知 \(|A|=2\)）。
- 解：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)；\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)；\(|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}=\dfrac12\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A、B 为 n 阶可逆矩阵，\(|A|=2\)、\(|B|=3\)，求 \((AB^T)^{-1}\) 与 \(|A^{-1}B|\)。
- 解：\((AB^T)^{-1}=(B^T)^{-1}A^{-1}=(B^{-1})^TA^{-1}\)；\(|A^{-1}B|=|A^{-1}||B|=\dfrac12\times3=\dfrac32\)。
易错坑点：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（顺序颠倒）；\((kA)^{-1}=\dfrac1k A^{-1}\) 不是 \(kA^{-1}\)。
配套练习：设 A、B、C 均可逆，求 \((ABC)^{-1}\)。（答案：\(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)）

2.3 逆矩阵的求法

是什么/定义：求逆矩阵的三种常用方法。
性质/公式：
1. 伴随矩阵法：\(A^{-1}=\dfrac1{|A|}A^*\)（适用于低阶或求某元素）；
2. 初等变换法（最常用）：对 \((A\mid E)\) 只做行初等变换，把左边 A 化成 E，右边即得 \(A^{-1}\)：
\[ (A\mid E)\xrightarrow{\text{行变换}}(E\mid A^{-1}) \]
3. 定义法：已知 \(AB=E\) 或 \(AB=kE\) 等条件时，直接判断出 \(A^{-1}\)。
怎么考：①低阶用伴随法；②高阶用初等变换法；③抽象矩阵用定义法凑出逆。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}\)，求 \(A^{-1}\)。
- 解：先算 \(|A|\)（按第 1 行展开）：
  \[ |A|=1\cdot(1\times4-2\times3)-2\cdot(2\times4-2\times1)+3\cdot(2\times3-1\times1)=-2-12+15=1\ne0 \]
  故 A 可逆。构造增广矩阵 \((A\mid E)\)，只做行初等变换：
- 第 1 步：第 2 行减 2 倍第 1 行、第 3 行减第 1 行，再交换第 2、3 行，得
  \[ \begin{pmatrix}1&2&3&|&1&0&0\\0&1&1&|&-1&0&1\\0&-3&-4&|&-2&1&0\end{pmatrix} \]
- 第 2 步：第 3 行加 3 倍第 2 行，再第 3 行乘 \(-1\)，得
  \[ \begin{pmatrix}1&2&3&|&1&0&0\\0&1&1&|&-1&0&1\\0&0&1&|&5&-1&-3\end{pmatrix} \]
- 第 3 步（回代）：第 2 行减第 3 行、第 1 行减 3 倍第 3 行，得
  \[ \begin{pmatrix}1&2&0&|&-14&3&9\\0&1&0&|&-6&1&4\\0&0&1&|&5&-1&-3\end{pmatrix} \]
- 第 4 步：第 1 行减 2 倍第 2 行，左边化为单位阵，得
  \[ (E\mid A^{-1})=\begin{pmatrix}1&0&0&|&-2&1&1\\0&1&0&|&-6&1&4\\0&0&1&|&5&-1&-3\end{pmatrix} \]
  所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)（可用 \(AA^{-1}=E\) 验证）。
【例2·真题风格·自编题】设方阵 A 满足 \(A^2+2A-3E=O\)，求 \((A+4E)^{-1}\)。
- 解：\((A+4E)(A-2E)=A^2-2A+4A-8E=A^2+2A-8E=(A^2+2A-3E)-5E=-5E\)，故 \((A+4E)\left(-\dfrac{A-2E}{5}\right)=E\)，所以 \((A+4E)^{-1}=-\dfrac15(A-2E)=\dfrac15(2E-A)\)。
易错坑点：用初等变换求逆时，只能对「整个增广矩阵」做行变换（不能做列变换、不能只改左边），直到左边化成单位阵，右边才是逆矩阵。
配套练习：设方阵 A 满足 \(A^2=2A\) 且 A 可逆，求 \(A^{-1}\) 的表达式（见 2.1），并用伴随矩阵法求 \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\) 的逆。（答案：\(\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac13\end{pmatrix}\)）

三、伴随矩阵

3.1 伴随矩阵的定义

是什么/定义：设 A 为 n 阶方阵，\(A^*\) 是由 A 的各元素代数余子式组成的矩阵的转置：
\[ A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix} \]
其中 \(A_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 的代数余子式。
性质/公式：\(A^*\) 的 (i,j) 位置元素是 \(A_{ji}\)（代数余子式矩阵再转置）。
怎么考：①直接求低阶矩阵的 \(A^*\)；②判断 \(A^*\) 中某元素的位置与符号；③由 \(A^*\) 反求 A。
典型例题：
【例1·基础】求 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) 的伴随矩阵。
- 解：各代数余子式 \(A_{11}=d,\ A_{12}=-c,\ A_{21}=-b,\ A_{22}=a\)，转置后 \(A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)，求 \(A^*\) 并验证 \(AA^*=|A|E\)。
- 解：\(|A|=0\times0-1\times(-1)=1\)；\(A^*=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)；\(AA^*=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E=|A|E\)。
易错坑点：\(A^*\) 的 (i,j) 位置是 \(A_{ji}\)（下标颠倒）；别把「代数余子式矩阵」直接当 \(A^*\)，要先转置。
配套练习：求 \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\) 的伴随矩阵。（答案：\(A^*=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\)）

3.2 伴随矩阵的核心公式（必背）

是什么/定义：由定义推出的基本恒等式。
性质/公式：
基本恒等式：\(AA^*=A^*A=|A|E\)。
由此推出：
- \(A^{-1}=\dfrac1{|A|}A^*\)（当 \(|A|\ne0\)）；
- \(A^*=|A|A^{-1}\)；
- \((A^*)^{-1}=\dfrac1{|A|}A\)（当 \(|A|\ne0\)）；
- \(|A^*|=|A|^{n-1}\)（n 阶方阵）；
- \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)；
- \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)（\(n\ge2\)）。
怎么考：①由 \(|A|\) 求 \(|A^*|\)、\((A^*)^{-1}\)；②用 \(AA^*=|A|E\) 化简含 \(A^*\) 的等式求行列式或逆；③求 \((kA)^*\)、\((A^*)^*\)。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求 \(A^*\)、\(|A^*|\)、\(A^{-1}\)。
- 解：\(A^*=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)；\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)，\(|A^*|=|A|^{n-1}=(-2)^1=-2\)；\(A^{-1}=\dfrac1{|A|}A^*=-\dfrac12\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}\)。
【例2·真题】2004年·数一·填空第5题(4分)：设 \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)，矩阵 B 满足 \(ABA^*=2BA^*+E\)，其中 \(A^*\) 为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵，求 \(|B|\)。
- 解：由 \(ABA^*=2BA^*+E\) 得 \((A-2E)BA^*=E\)，两边取行列式：\(|A-2E|\cdot|B|\cdot|A^*|=1\)。\(A-2E=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，\(|A-2E|=(-1)\times(0\times0-1\times1)=1\)。\(|A|=1\times(2\times2-1\times1)=3\)，\(|A^*|=|A|^{3-1}=9\)。故 \(1\times|B|\times9=1\)，\(|B|=\boxed{\dfrac19}\)。
易错坑点：\(|A^*|=|A|^{n-1}\) 中指数是 \(n-1\)（不是 n）；\(A^*\) 中元素下标要颠倒。
配套练习：设 A 为 3 阶方阵且 \(|A|=2\)，求 \(|2A^*|\) 和 \(|(A^*)^{-1}|\)。（答案：\(|A^*|=2^{3-1}=4\)，\(|2A^*|=2^3\times4=32\)，\(|(A^*)^{-1}|=\dfrac1{|A^*|}=\dfrac14\)）

3.3 伴随矩阵的秩（重要结论）

是什么/定义：\(A^*\) 的秩由 \(r(A)\) 完全决定。
性质/公式：设 A 为 n 阶方阵：
若 \(r(A)=n\)（满秩），则 \(r(A^*)=n\)；
若 \(r(A)=n-1\)，则 \(r(A^*)=1\)；
若 \(r(A)<n-1\)，则 \(r(A^*)=0\)（即 \(A^*=O\)）。
怎么考：①由 \(r(A)\) 直接判 \(r(A^*)\)；②结合 \(|A|=0\) 与「是否存在非零的 \(n-1\) 阶子式」区分 \(r(A)=n-1\) 还是 \(<n-1\)；③选择/填空题求 \(A^*\) 的秩。
典型例题：
【例1·基础】设 A 为 4 阶矩阵且 \(r(A)=3\)，求 \(r(A^*)\)。
- 解：\(r(A)=3=n-1\)，故 \(r(A^*)=1\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为 n 阶矩阵，\(|A|=0\)，且 A 中存在一个 \(n-1\) 阶非零子式，求 \(r(A^*)\)。
- 解：\(|A|=0\) 说明 \(r(A)<n\)，又存在 \(n-1\) 阶非零子式说明 \(r(A)\ge n-1\)，故 \(r(A)=n-1\)，从而 \(r(A^*)=1\)。
易错坑点：区分 \(r(A)=n-1\) 与 \(r(A)<n-1\)：关键是 A 是否含非零的 \(n-1\) 阶子式；别把 \(r(A^*)=1\) 与 \(r(A^*)=n-1\) 混淆。
配套练习：设 A 为 4 阶方阵且 \(r(A)=2\)，求 \(r(A^*)\)。（答案：\(r(A)<n-1=3\)，故 \(r(A^*)=0\)，即 \(A^*=O\)）

四、初等变换与初等矩阵

4.1 初等变换

是什么/定义：三类行（列）初等变换：
1. 交换两行（列）；
2. 某一行（列）乘以非零常数 k；
3. 某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上。
性质/公式：初等变换不改变矩阵的秩，但一般会改变行列式的值（交换两行变号、某行乘 k 变 k 倍、倍加不变）。
怎么考：①用初等变换化简矩阵求逆、求秩；②判断初等变换对行列式的影响。
典型例题：
【例1·基础】对 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) 交换两行，求交换后的行列式并说明变化。
- 解：交换两行得 \(\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\)；\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)，交换后行列式 \(=3\times2-4\times1=2=-|A|\)，即交换两行行列式变号。
【例2·真题风格·自编题】判断「初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值」是否正确。
- 解：前半句正确，后半句错误。交换两行行列式变号、某行乘 k 行列式变为 k 倍，故行列式值一般会改变。
易错坑点：初等变换一般改变行列式值（倍加变换除外），但不改变秩。
配套练习：把 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) 用「交换两行」化成单位矩阵 E，并比较 \(|A|\) 与 \(|E|\)。（答案：\(|A|=-1\)，\(|E|=1\)，交换一次变号）

4.2 初等矩阵

是什么/定义：单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。
性质/公式：
三类初等矩阵：\(E(i,j)\)（交换两行/列）、\(E(i(k))\)（第 i 行/列乘 k）、\(E(i,j(k))\)（第 j 行的 k 倍加到第 i 行）。
对 A 左乘初等矩阵 = 对 A 做相应的行变换；对 A 右乘初等矩阵 = 对 A 做相应的列变换。
初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍是初等矩阵。
重要结论：A 可逆 ⇔ A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
怎么考：①识别初等矩阵；②用初等矩阵表示某变换；③判断左乘/右乘的效果。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，写出交换两行的初等矩阵 P，并求 \(PA\) 与 \(AP\)。
- 解：\(P=E(1,2)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)；\(PA=\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}\)（交换 A 的两行）；\(AP=\begin{pmatrix}b&a\\d&c\end{pmatrix}\)（交换 A 的两列）。
【例2·真题风格·自编题】判断命题「A 可逆当且仅当 A 可表为有限个初等矩阵的乘积」。
- 解：正确。A 可逆时经行初等变换可化为 E，即 \(P_k\cdots P_1A=E\)，故 \(A=P_1^{-1}\cdots P_k^{-1}\)，是初等矩阵的乘积；反之初等矩阵均可逆，其乘积也可逆。
易错坑点：左乘做行变换、右乘做列变换，别记反。
配套练习：写出「第 1 行的 k 倍加到第 2 行」对应的 3 阶初等矩阵，并说明左乘 A 的效果。（答案：\(\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，效果是 A 的第 2 行加上 k 倍第 1 行）

4.3 等价矩阵

是什么/定义：若 A 经过有限次初等变换变成 B，称 A 与 B 等价，记 \(A\sim B\)。
性质/公式：
\(A\sim B\) ⇔ A、B 同型且 \(r(A)=r(B)\)。
标准形：任何 \(m\times n\) 矩阵 A 都等价于 \(\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\)，其中 \(r=r(A)\)。
怎么考：①判断两矩阵是否等价；②求等价标准形；③（后续）区分等价、相似、合同。
典型例题：
【例1·基础】求 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) 的等价标准形。
- 解：\(A\to\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，故标准形为 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)（\(r=1\)）。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) 是否等价。
- 解：\(r(A)=1\)，\(r(B)=1\)，同型且秩相等，故 A 与 B 等价。
易错坑点：等价只要求「同型 + 秩相等」；同阶可逆矩阵都等价于单位矩阵 E。
配套练习：求 \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\) 的等价标准形。（答案：\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)）

五、矩阵的秩

5.1 秩的定义

是什么/定义：
k 阶子式：任取 A 的 k 行 k 列交叉处元素组成的 k 阶行列式。
秩：矩阵 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记 \(r(A)\)。
性质/公式：\(0\le r(A)\le\min\{m,n\}\)；n 阶方阵 \(r(A)=n\) ⇔ \(|A|\ne0\) ⇔ A 可逆（满秩）。
怎么考：①用子式判断秩；②由秩与行列式互推；③满秩判定。
典型例题：
【例1·基础】求 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) 的秩。
- 解：\(|A|=1\times4-2\times2=0\)，但存在 1 阶非零子式（如 \(a_{11}=1\)），故 \(r(A)=1\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为 n 阶矩阵且 \(r(A)<n\)，证明 \(|A|=0\)。
- 解：\(r(A)<n\) 说明 A 的非零子式最高阶数小于 n，故 n 阶子式（即 \(|A|\)）必为 0。
易错坑点：\(r(A)=0\) 当且仅当 \(A=O\)；满秩 ⇔ 行列式非零 ⇔ 可逆。
配套练习：设 A 为 3 阶矩阵且 \(|A|=0\)，\(r(A)\) 可能取哪些值？（答案：\(0,1,2\)，即 \(r(A)\le2\)）

5.2 秩的性质（高频考点）

是什么/定义：秩在运算下满足的不等式。
性质/公式：
\(r(A)=r(A^T)\)；
\(r(kA)=r(A)\)（\(k\ne0\)）；
\(r(A+B)\le r(A)+r(B)\)；
\(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\)；
若 \(AB=O\)（A 为 \(m\times n\)、B 为 \(n\times s\)），则 \(r(A)+r(B)\le n\)，其中 n 是 A 的列数 = B 的行数（中间维数）；特别地，A、B 均为 n 阶方阵时结论仍为 \(r(A)+r(B)\le n\)；
若 P、Q 可逆，则 \(r(PAQ)=r(A)\)（左乘/右乘可逆矩阵不改变秩）。
怎么考：①用 \(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\) 估计秩；②由 \(AB=O\) 推 \(r(A)+r(B)\le n\)；③判断 \(r(A+B)\)、\(r(AB)\) 的大小关系；④左乘/右乘可逆矩阵不改变秩。
典型例题：
【例1·基础】设 A 为 \(m\times n\) 矩阵、B 为 \(n\times s\) 矩阵且 \(AB=O\)，若 \(r(A)=n\)，证明 \(B=O\)。
- 解：由 \(r(A)+r(B)\le n\) 且 \(r(A)=n\)，得 \(r(B)\le0\)，故 \(r(B)=0\)，即 \(B=O\)。
【例2·真题】2018年·数一·选择第6题(4分)：设 A、B 为 n 阶矩阵，记 \(r(X)\) 为矩阵 X 的秩，\((X,Y)\) 表示分块矩阵，则（　）。
(A) \(r(A,AB)=r(A)\)
(B) \(r(A,BA)=r(A)\)
(C) \(r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}\)
(D) \(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)
- 解：AB 的第 j 列 \(=Ab_j=\sum_i b_{ij}a_i\)（\(a_i\) 为 A 的列向量），是 A 的列的线性组合，故 AB 的列都在 A 的列空间中，拼上 AB 不增加秩，\(r(A,AB)=r(A)\)，选 (A)。(B) 中 BA 的列是 B 的列的线性组合，一般不在 A 的列空间中，\(r(A,BA)\) 未必等于 \(r(A)\)；(C) 应为 \(r(A,B)\ge\max\{r(A),r(B)\}\)（通常更大）；(D) 中 \(r(A,B)=r\begin{pmatrix}A^T\\B^T\end{pmatrix}\)（转置不改变秩），而 \(r(A^T,B^T)\) 是横拼，一般与之不相等。
易错坑点：\(r(A+B)\le r(A)+r(B)\) 是不等号不是等号；判断 \(r(AB)\) 不能想当然取等于；\(AB=O\) 时中间维数是「A 的列数 = B 的行数」，不是方阵阶数（除非两者都是 n 阶方阵）。
配套练习：设 A、B 为 n 阶矩阵且 \(AB=O\)，则（　）。(A) \(A=O\) 或 \(B=O\) (B) \(r(A)+r(B)\le n\) (C) \(r(A)+r(B)\ge n\) (D) \(r(A)+r(B)=n\)。（答案：B）

5.3 求秩的方法

是什么/定义：计算矩阵秩的操作方法。
性质/公式：用行（列）初等变换把矩阵化成行阶梯形，非零行的行数就是秩；判断方阵是否满秩直接看 \(|A|\) 是否为 0。
怎么考：①具体矩阵化阶梯形求秩；②含参数矩阵求秩（令关键子式为零解参数）；③结合满秩判定。
典型例题：
【例1·基础】求矩阵 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\) 的秩。
- 解：第 2 行减 2 倍第 1 行、第 3 行减第 1 行，得 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-2&-2\end{pmatrix}\)，第 3 行乘 \(-\dfrac12\) 再交换第 2、3 行，得 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，非零行数为 2，故 \(r(A)=2\)。（也可验证 \(|A|=0\) 且存在 2 阶非零子式 \(\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-2\ne0\)）
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)，若 \(r(A)=2\)，求 t。
- 解：\(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}1&2\\2&t-1\end{vmatrix}=(t-1)-4=t-5\)。由 \(r(A)=2\) 得 \(|A|=0\)，故 \(t=5\)。
易错坑点：求秩用初等变换（行列变换均可，习惯用行变换）；判断方阵满秩直接看 \(|A|\)。
配套练习：求 \(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\) 的秩。（答案：第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，故 \(r=2\)）

六、分块矩阵

6.1 分块矩阵的运算

是什么/定义：把大矩阵用横竖线分成若干小块，每一小块作为「元素」参与运算。
性质/公式：
分块加法、数乘、乘法与普通矩阵运算规则相同，只要分块方式使对应块可乘。
分块对角矩阵（准对角矩阵）：\(A=\begin{pmatrix}A_1&&\\&A_2&\\&&A_3\end{pmatrix}\)
- 行列式：\(|A|=|A_1|\cdot|A_2|\cdot|A_3|\)；
- 逆矩阵：\(A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&&\\&A_2^{-1}&\\&&A_3^{-1}\end{pmatrix}\)；
- 幂：\(A^k=\begin{pmatrix}A_1^k&&\\&A_2^k&\\&&A_3^k\end{pmatrix}\)。
怎么考：①分块对角矩阵求 \(|A|\)、\(A^k\)、\(A^{-1}\)；②分块乘法；③与秩、逆结合。
典型例题：
【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，按 \(A=\begin{pmatrix}A_1&O\\O&A_2\end{pmatrix}\)（\(A_1=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，\(A_2=(3)\)）求 \(|A|\) 与 \(A^2\)。
- 解：\(|A|=|A_1||A_2|=(2\times2-1\times1)\times3=9\)；\(A_1^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\)，\(A_2^2=(9)\)，故 \(A^2=\begin{pmatrix}5&4&0\\4&5&0\\0&0&9\end{pmatrix}\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A、B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，C 为 \(n\times m\) 矩阵，\(M=\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\)，求 \(|M|\) 与 \(M^{-1}\) 的分块形式。
- 解：\(|M|=|A||B|\)；由分块下三角求逆公式 \(M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}\)。
易错坑点：分块对角矩阵的行列式是各块行列式的乘积；分块乘法要求「块」满足可乘条件。
配套练习：设 \(A=\begin{pmatrix}A_1&O\\O&A_2\end{pmatrix}\)，其中 \(A_1=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A_2=(5)\)，求 \(|A|\)。（答案：\(|A|=|A_1||A_2|=(-2)\times5=-10\)）

6.2 分块矩阵求逆（重要公式）

是什么/定义：利用分块结构求逆的公式。
性质/公式：
设 \(M=\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\)（A、B 可逆），则
\[ M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix} \]
设 \(M=\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\)（A、B 可逆），则
\[ M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{pmatrix} \]
设 \(M=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\)（A 为 m 阶、B 为 n 阶可逆），则
\[ M^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix},\qquad |M|=(-1)^{mn}|A||B| \]
怎么考：①给分块对角/三角/反对角矩阵求逆；②用分块乘法验证 \(MM^{-1}=E\)；③结合伴随矩阵、行列式（2009年真题）。
典型例题：
【例1·基础】求分块对角矩阵 \(M=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\) 的逆，其中 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=(2)\)。
- 解：\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}\)，\(B^{-1}=\left(\dfrac12\right)\)，故 \(M^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1&0\\\frac32&-\frac12&0\\0&0&\frac12\end{pmatrix}\)。
【例2·真题】2009年·数一·选择第6题(4分)：设 A、B 均为 2 阶矩阵，\(A^*\)、\(B^*\) 分别为 A、B 的伴随矩阵，若 \(|A|=2\)、\(|B|=3\)，则分块矩阵 \(C=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\) 的伴随矩阵为（　）。
(A) \(\begin{pmatrix}O&3B^*\\2A^*&O\end{pmatrix}\)
(B) \(\begin{pmatrix}O&2B^*\\3A^*&O\end{pmatrix}\)
(C) \(\begin{pmatrix}O&3A^*\\2B^*&O\end{pmatrix}\)
(D) \(\begin{pmatrix}O&2A^*\\3B^*&O\end{pmatrix}\)
- 解：\(|C|=(-1)^{2\times2}|A||B|=6\ne0\)，C 可逆，且 \(C^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}\)。故 \(C^*=|C|C^{-1}=6\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&6B^{-1}\\6A^{-1}&O\end{pmatrix}\)。又 \(A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1}\Rightarrow A^{-1}=\dfrac12A^*\Rightarrow6A^{-1}=3A^*\)；\(B^*=|B|B^{-1}=3B^{-1}\Rightarrow B^{-1}=\dfrac13B^*\Rightarrow6B^{-1}=2B^*\)。故 \(C^*=\begin{pmatrix}O&2B^*\\3A^*&O\end{pmatrix}\)，选 (B)。
易错坑点：分块求逆时块的位置和符号极易出错，建议用「分块矩阵乘法验证」\(M M^{-1}=E\) 检查；\(\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\) 的行列式符号 \((-1)^{mn}\) 不能漏，逆矩阵中 A、B 的位置要互换。
配套练习：设 A、B 可逆，\(M=\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\)，写出 \(M^{-1}\) 的分块形式，并验证 \(MM^{-1}=E\)。（答案：\(M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{pmatrix}\)）

七、典型题型汇总

矩阵运算计算题：求 \(AB\)、\(A^T\)、\(A^2\)，注意乘法不可交换、\((AB)^T=B^TA^T\)。
求逆矩阵：低阶用伴随法，高阶用 \((A\mid E)\to(E\mid A^{-1})\)。
抽象矩阵求逆：已知 \(AB=kE\) 或多项式方程等关系，凑出 \(A^{-1}\)。
求伴随矩阵相关：\(|A^*|\)、\((A^*)^{-1}\)、\(A^*\) 的秩，直接套 \(AA^*=|A|E\) 的结论。
求矩阵的秩：用初等变换化阶梯形，数非零行。
分块矩阵：求分块对角/三角/反对角矩阵的行列式、逆、幂。
证明题：利用 \(|AB|=|A||B|\)（见 1.7）、\(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\)、\(AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n\)（见 5.2）等结论。

配套练习（本章综合）

求 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。（答案：\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}\)）
求矩阵 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\) 的秩。（答案：\(2\)）
设 A 为 3 阶方阵且 \(|A|=3\)，求 \(|A^{-1}|\) 和 \(|A^*|\)。（答案：\(|A^{-1}|=\dfrac13\)，\(|A^*|=|A|^{3-1}=9\)）
设 A、B 为 3 阶方阵，\(|A|=2\)、\(|B|=-1\)，求 \(|AB|\)、\(|2AB^T|\)、\(|A^2|\)。（答案：\(-2\)、\(2^3\times2\times(-1)=-16\)、\(4\)）
设 A 为 4 阶方阵且 \(r(A)=2\)，求 \(r(A^*)\)。（答案：\(0\)，即 \(A^*=O\)）
设 A、B 为 n 阶矩阵且 \(AB=O\)，\(r(A)=n-1\)，求 \(r(B)\) 的取值范围。（答案：\(r(B)\le1\)）

学完本章的检验标准

能正确做矩阵的加、减、数乘、乘法、转置运算，并说清乘法不满足交换律和消去律。
能用伴随矩阵法和初等变换法求逆矩阵，熟记逆矩阵的运算性质。
熟记 \(AA^*=|A|E\) 及其推论的公式（\(|A^*|\)、\((A^*)^{-1}\)、\(A^{-1}\)、\((kA)^*\)、\((A^*)^*\)），并会由 \(r(A)\) 判 \(r(A^*)\)。
会做三类初等变换、认识三类初等矩阵，理解「左乘行变换、右乘列变换」。
能用初等变换求矩阵的秩，熟记秩的不等式与 \(AB=O\) 的秩结论（中间维数表述）。
会算分块对角矩阵的行列式、逆矩阵和幂，会用分块三角/反对角矩阵的求逆公式。
熟记 \(|AB|=|A||B|\)，能结合 \(|kA|=k^n|A|\)、\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\) 求各类行列式。

全部达到后，进入第3章「向量」——向量的线性表示、线性相关与无关、极大无关组与秩，是理解线性方程组解结构的基础。