第3章「向量」讲义

向量是连接「矩阵」与「线性方程组」的桥梁：方程组的解、矩阵的秩，本质上都是向量组的线性关系问题。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

前置知识：第2章「矩阵」的初等变换与秩；第1章「行列式」的克拉默法则。

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一、向量的概念与线性运算

1.1 向量的概念

• 是什么/定义：n 维向量是由 n 个数组成的有序数组，写成一行叫行向量，写成一列叫列向量。
• 记法：\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)（行向量）或 \(\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}\)（列向量），其中 \(a_i\) 叫向量的第 \(i\) 个分量（坐标）。
• 零向量：所有分量都为 0 的向量，记 \(0\)。
• 性质/公式：两个向量相等 ⇔ 维数相同且各对应分量都相等。
• 怎么考：①判断两个向量是否相等；②由相等关系反解分量参数；③识别零向量。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\alpha=(2,-1,3)^T\)，\(\beta=(1,2,-2)^T\)，求 \(2\alpha-\beta\)。
  • 解：\(2\alpha-\beta=(4,-2,6)^T-(1,2,-2)^T=\boxed{(3,-4,8)^T}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】设向量 \((a-b,\ a+b)^T=(2,4)^T\)，求 \(a,b\)。
  • 解：两向量相等 ⇒ 对应分量相等：\(\begin{cases}a-b=2\\ a+b=4\end{cases}\)，解得 \(\boxed{a=3,\ b=1}\)。
• 易错坑点：向量是「数组」不是「数」；两个维数不同的向量不能谈「相等」；分量一一对应，别错位。
• 配套练习：判断 \((1,2,3)^T\) 与 \((1,2,4)^T\) 是否相等。（答案：不相等，第 3 个分量不同）

1.2 向量的线性运算

• 是什么/定义：
• 加法：同维向量对应分量相加。
• 数乘：向量的每个分量都乘以 \(k\)。
• 性质/公式（运算律）：交换律 \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)、结合律、分配律 \(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)，与数的运算类似。
• 怎么考：①直接做向量的线性运算；②已知 \(\alpha,\beta\) 的线性组合求 \(\alpha,\beta\)（解向量方程组）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\alpha=(1,2)^T\)，\(\beta=(3,-1)^T\)，求 \(3\alpha-2\beta\)。
  • 解：\(3\alpha-2\beta=(3,6)^T-(6,-2)^T=\boxed{(-3,8)^T}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】已知 \(2\alpha+\beta=(1,-1)^T\)，\(\alpha-2\beta=(3,2)^T\)，求 \(\alpha,\beta\)。
  • 解：由 \(\alpha-2\beta=(3,2)\) 得 \(2\alpha-4\beta=(6,4)\)，与 \(2\alpha+\beta=(1,-1)\) 相减得 \(5\beta=(-5,-5)\)，故 \(\beta=(-1,-1)^T\)；代回得 \(\alpha=(3,2)+2\beta=(3,2)-2(1,1)=\boxed{(1,0)^T}\)。
• 易错坑点：不同维数的向量不能相加、相减；解向量方程组时先把每个分量拆成普通方程组。
• 配套练习：设 \(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(0,1,1)^T\)，求 \(2\alpha-3\beta\)。（答案：\((2,1,3)^T\)）

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二、线性组合与线性表示

2.1 线性组合与线性表示

• 是什么/定义：设 \(\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 都是 n 维向量，若存在数 \(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使
  \[ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s \]
  则称 \(\beta\) 是 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 的线性组合，或 \(\beta\) 能由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表示。
• 性质/公式：几何意义——「用这些向量按比例凑，能不能凑出 \(\beta\)」；能凑出即能线性表示。
• 怎么考：①判断 \(\beta\) 能否被表示；②写出表示式；③已知表示式求系数。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\beta=(2,3)^T\) 能否由 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T\) 线性表示。
  • 解：显然 \(2\alpha_1+3\alpha_2=(2,3)^T=\beta\)，故能表示，且 \(\beta=2\alpha_1+3\alpha_2\)。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\beta=(3,5,4)^T\) 能否由 \(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,3,1)^T\) 线性表示，并写出表示式。
  • 解：观察 \(\alpha_1+\alpha_2=(3,5,4)^T=\beta\)，故能表示，且 \(\boxed{\beta=\alpha_1+\alpha_2}\)。
• 易错坑点：表示式系数是对应「向量个数」的一组数，不是单个分量的数；「能表示」需要找到一组系数同时满足所有分量。
• 配套练习：判断 \(\beta=(1,2,3)^T\) 能否由 \(e_1=(1,0,0)^T,e_2=(0,1,0)^T,e_3=(0,0,1)^T\) 线性表示。（答案：能，\(\beta=e_1+2e_2+3e_3\)）

2.2 线性表示的判定（重要）

• 是什么/定义：判定 \(\beta\) 能否由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表示，等价于看非齐次方程组 \(x_1\alpha_1+\cdots+x_s\alpha_s=\beta\) 是否有解。
• 性质/公式（秩法，设 \(A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\)）：
• \(\beta\) 能由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表示 ⇔ \(r(A)=r(A\mid\beta)\)；
• \(\beta\) 不能由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表示 ⇔ \(r(A)<r(A\mid\beta)\)；
• 表示法唯一 ⇔ \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关（见第 3 节）。
• 怎么考：①用秩比较判断能否表示；②判断表示是否唯一；③已知能表示反解参数。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\beta=(1,2,3)^T\) 能否由 \(\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T\) 线性表示。
  • 解：\(A=(\alpha_1,\alpha_2)\)，\(r(A)=2\)；增广矩阵 \((A\mid\beta)\) 的秩为 \(3\)（因为 \(\beta\) 的第三分量非零无法由前两列消去），故 \(r(A)<r(A\mid\beta)\)，不能表示。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\beta=(1,1,1)^T\) 能否由 \(\alpha_1=(1,2,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T\) 线性表示。
  • 解：设 \(x\alpha_1+y\alpha_2=\beta\)，即 \(\begin{cases}x+y=1\\ 2x=1\\ y=1\end{cases}\)。由 \(2x=1\) 得 \(x=\dfrac12\)，代入 \(x+y=1\) 得 \(y=\dfrac12\)，这与第三个方程 \(y=1\) 矛盾，故方程组无解，\(\beta\) 不能被线性表示。
• 易错坑点：能表示看的是增广矩阵与系数矩阵秩是否相等，不要只看系数矩阵的秩；「表示唯一」的前提是向量组线性无关。
• 配套练习：判断 \(\beta=(3,5,4)^T\) 能否由 \(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,3,1)^T\) 线性表示，表示是否唯一。（答案：能，\(\beta=\alpha_1+\alpha_2\)；\(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，故表示唯一）

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三、线性相关与线性无关

3.1 线性相关与线性无关的定义

• 是什么/定义：对向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全为 0 的数 \(k_1,\cdots,k_s\)，使
  \[ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 \]
  则称向量组线性相关；若只有 \(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\) 时才成立，则称线性无关。
• 性质/公式：一句话理解——线性相关 = 「存在非零线性组合能凑出零向量」；线性无关 = 「只有全 0 系数才能凑出零向量」。
• 怎么考：①按定义判断相关/无关；②已知相关/无关反求系数或参数。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T,\alpha_3=(1,1)^T\) 是否线性相关。
  • 解：\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)，即 \(1\cdot\alpha_1+1\cdot\alpha_2-1\cdot\alpha_3=0\)，系数不全为 0，故线性相关（也可由「个数 3 > 维数 2」直接判断）。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T,\alpha_3=(1,3,6)^T\) 是否线性无关。
  • 解：\(|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{vmatrix}=1\cdot(12-9)-1\cdot(6-3)+1\cdot(3-2)=3-3+1=1\neq0\)，故线性无关。
• 易错坑点：「线性无关」要求系数只能全为 0；「线性相关」只要求存在一组不全为 0 的系数，不必所有系数都不为 0。
• 配套练习：判断 \(\alpha_1=(1,2)^T,\alpha_2=(2,4)^T\) 是否线性相关。（答案：相关，\(\alpha_2=2\alpha_1\)）

3.2 线性相关/无关的判别（核心考点）

• 是什么/定义：把「是否存在非零线性组合为零」转化为齐次方程组或秩、行列式问题。
• 性质/公式（设 \(A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\)）：
• 齐次方程组法：线性相关 ⇔ \(x_1\alpha_1+\cdots+x_s\alpha_s=0\) 有非零解；线性无关 ⇔ 只有零解。
• 秩法：线性相关 ⇔ \(r(A)<s\)（向量个数）；线性无关 ⇔ \(r(A)=s\)。
• 个数与维数：向量个数 \(s>\) 维数 \(n\) ⇒ 必线性相关；\(n\) 个 \(n\) 维向量线性无关 ⇔ 拼成的 \(n\) 阶行列式 \(\neq 0\)。
• 怎么考：①用秩或行列式判断；②含参数的相关性判定；③个数超维数的快速判断。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T,\alpha_3=(1,3,t)^T\)，问 \(t\) 取何值时向量组线性相关？何时线性无关？
  • 解：\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，\(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=1\cdot(2t-9)-1\cdot(t-3)+1\cdot(3-2)=2t-9-t+3+1=t-5\)。当 \(t\neq5\) 时 \(|A|\neq0\)，线性无关；当 \(t=5\) 时 \(|A|=0\)，线性相关（此时 \(\alpha_3=2\alpha_2-\alpha_1\)）。
• 【例2·真题】2012年·数一·第5题(4分)：设 \(\alpha_1=(0,0,c_1)^T,\alpha_2=(0,1,c_2)^T,\alpha_3=(1,-1,c_3)^T,\alpha_4=(-1,1,c_4)^T\)，其中 \(c_1,c_2,c_3,c_4\) 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（　）。
  • 选项：(A) \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)　(B) \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)　(C) \(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)　(D) \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)
  • 解：考察 (C)：\(|\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4|=\begin{vmatrix}0&1&-1\\0&-1&1\\c_1&c_3&c_4\end{vmatrix}=c_1\begin{vmatrix}1&-1\\-1&1\end{vmatrix}=c_1(1-1)=0\)（按第一列展开），故 \(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\) 必线性相关，选 (C)。（其余选项的行列式一般不为 0，与 \(c_i\) 取值有关，非“必相关”）
• 易错坑点：判别时分清「\(s\) 是向量个数、\(n\) 是向量维数」；行列式法只适用于「个数=维数」的方阵情形，个数超维数直接判「必相关」。
• 配套练习：
  1. 判断 \(\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,0,1)^T\) 是否线性无关。（答案：无关，行列式 \(=2\neq0\)）
  2. 由 4 个 3 维向量组成的向量组是否一定线性相关？（答案：一定相关，个数 \(4>\) 维数 \(3\)）

3.3 线性相关/无关的性质（重要结论）

• 是什么/定义：由相关/无关可推出一系列整体与部分、升维与降维的结论。
• 性质/公式：
• 单个非零向量线性无关；单个零向量线性相关。
• 含零向量的向量组必线性相关。
• 部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 部分无关。
• 向量组线性相关 ⇒ 其中至少有一个向量能被其余向量线性表示；线性无关 ⇒ 其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
• 线性无关组添加分量（升维）后仍线性无关；线性相关组删去分量（降维）后仍线性相关。
• 怎么考：①用性质快速判断相关/无关；②由已知无关推新构造组的无关性；③辨析「整体与部分」的逻辑方向（常出选择）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(\alpha_1=(1,2)^T,\alpha_2=(0,0)^T\) 是否线性相关。
  • 解：\(\alpha_2\) 是零向量，含零向量的向量组必线性相关。
• 【例2·真题风格·自编题】设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，判断 \(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\ \beta_2=\alpha_1-\alpha_2\) 是否线性无关。
  • 解：设 \(k_1\beta_1+k_2\beta_2=0\)，即 \((k_1+k_2)\alpha_1+(k_1-k_2)\alpha_2=0\)。由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关得 \(\begin{cases}k_1+k_2=0\\k_1-k_2=0\end{cases}\)，解得 \(k_1=k_2=0\)，故 \(\beta_1,\beta_2\) 线性无关。
• 易错坑点：「整体无关 ⇒ 部分无关」方向别记反（整体相关不能推出部分相关）；升维/降维的方向也容易记混。
• 配套练习：若 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，判断 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是否线性无关。（答案：无关，整体无关 ⇒ 部分无关）

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四、极大线性无关组与向量组的秩

4.1 极大线性无关组

• 是什么/定义：向量组的一个部分组，它本身线性无关，且原向量组中任何一个向量都能由它线性表示，这个部分组就是极大（最大）线性无关组。
• 性质/公式（要点）：极大无关组满足两条——① 自身线性无关；② 能「代表」全组（其余向量都能被它表示）。极大无关组所含向量个数 = 向量组的秩。
• 怎么考：①求极大无关组；②用极大无关组表示其余向量；③说明极大无关组一般不唯一。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,2,1)^T\) 的一个极大线性无关组。
  • 解：\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)，且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关（不成比例），故 \(\{\alpha_1,\alpha_2\}\) 是一个极大线性无关组（也可取 \(\{\alpha_2,\alpha_3\}\) 等）。
• 【例2·真题风格·自编题】求 \(\alpha_1=(1,0,-1)^T,\alpha_2=(0,1,2)^T,\alpha_3=(1,1,1)^T\) 的一个极大无关组，并用它表示其余向量。
  • 解：观察 \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=(1,1,1)^T\)，且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，故 \(\{\alpha_1,\alpha_2\}\) 是极大无关组，且 \(\boxed{\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2}\)。
• 易错坑点：极大无关组一般不唯一；求极大无关组通常只用行变换（做列变换会打乱向量对应关系）。
• 配套练习：求 \(\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,2,1)^T\) 的一个极大无关组并用它表示 \(\alpha_3\)。（答案：\(\{\alpha_1,\alpha_2\}\)，\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)）

4.2 向量组的秩

• 是什么/定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，叫向量组的秩。
• 性质/公式：
• 向量组的秩 = 以这些向量为列组成的矩阵的秩 \(r(A)\)。
• 向量组线性无关 ⇔ 其秩 \(=s\)；线性相关 ⇔ 其秩 \(<s\)。
• 等价向量组（能互相线性表示）有相同的秩；但秩相同不一定等价。
• 定理（关键）：向量组 \(A\) 能由向量组 \(B\) 线性表示 ⇒ \(r(A)\le r(B)\)。
• 怎么考：①求向量组的秩；②由秩反解参数；③利用「被表示则秩不大于」比较秩。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,6)^T,\alpha_3=(1,0,1)^T\) 的秩。
  • 解：\(\alpha_2=2\alpha_1\)，故 \(\alpha_1,\alpha_2\) 相关；\(\alpha_1,\alpha_3\) 不成比例故线性无关，向量组的秩为 \(\boxed{2}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】设 \(\alpha_1=(1,2,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,3,t)^T\) 的秩为 2，求 \(t\)。
  • 解：\(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，秩为 2 意味着 \(\alpha_3\) 能由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表示。由 \(\alpha_1+\alpha_2=(1,3,1)^T\)，故需 \(t=1\)（此时 \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)），即 \(\boxed{t=1}\)。
• 易错坑点：「秩相同」是「等价」的必要不充分条件；向量组的秩与对应矩阵的秩是一回事，别重复定义。
• 配套练习：求 \(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,6)^T,\alpha_3=(1,0,1)^T\) 的秩。（答案：\(2\)）

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五、向量空间（数一特有考点）

5.1 向量空间与子空间

• 是什么/定义：
• 向量空间：非空的 n 维向量集合 \(V\)，若对加法与数乘运算封闭（任取 \(V\) 中向量相加、数乘后仍在 \(V\) 中），则称 \(V\) 为向量空间。
• 子空间：若 \(W\) 是向量空间 \(V\) 的非空子集，且 \(W\) 本身对加法、数乘封闭，则称 \(W\) 是 \(V\) 的子空间。
• 性质/公式（判定）：
• 只需验证两条：① 任取 \(\alpha,\beta\in W\)，有 \(\alpha+\beta\in W\)；② 任取 \(\alpha\in W\) 和数 \(k\)，有 \(k\alpha\in W\)。
• 子空间必含零向量（取 \(k=0\)）；\(\{0\}\) 和 \(V\) 本身是平凡子空间。
• 齐次方程组 \(Ax=0\) 的全体解构成一个子空间（解空间）。
• 怎么考：①验证某集合是否为向量空间/子空间；②判断集合是否含零向量（不含零向量必不是子空间）；③求齐次方程组的解空间维数。
• 典型例题：
• 【例1·基础】验证 \(V=\{(x,y,0)^T\mid x,y\in\mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间。
  • 解：任取 \(\alpha=(x_1,y_1,0),\ \beta=(x_2,y_2,0)\)，则 \(\alpha+\beta=(x_1+x_2,y_1+y_2,0)\in V\)；\(k\alpha=(kx_1,ky_1,0)\in V\)。加法、数乘都封闭，故 \(V\) 是子空间。
• 【例2·真题风格·自编题】判断 \(V=\{(x,y)^T\mid x+y=1\}\) 是否为 \(\mathbb{R}^2\) 的子空间。
  • 解：不是。它不含零向量（\(0+0=0\neq1\)）；也可验证加法不封闭：\((1,0),(0,1)\in V\)，但 \((1,0)+(0,1)=(1,1)\)，\(1+1=2\neq1\)，故 \((1,1)\notin V\)，加法不封闭。
• 易错坑点：子空间必须含零向量，不含零向量的集合可直接判「不是子空间」；验证封闭性时两条（加法、数乘）都要查。
• 配套练习：判断 \(W=\{(x,y,z)^T\mid x+2y-3z=0\}\) 是否为 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间。（答案：是，含零向量且对加法、数乘封闭）

5.2 基、维数与坐标

• 是什么/定义：
• 基（基底）：向量空间 \(V\) 中一组线性无关的向量 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r\)，若 \(V\) 中任意向量都能由它们线性表示，则称这组向量是 \(V\) 的一个基。
• 维数：基所含向量的个数 \(r\)，记 \(\dim V=r\)。
• 坐标：设 \(\alpha=x_1\varepsilon_1+\cdots+x_r\varepsilon_r\)，则有序数组 \((x_1,\cdots,x_r)^T\) 叫 \(\alpha\) 在基 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r\) 下的坐标。
• 性质/公式：\(\mathbb{R}^n\) 的标准基为 \(e_1,\cdots,e_n\)（\(e_i\) 第 \(i\) 个分量为 1，其余为 0），\(\dim\mathbb{R}^n=n\)；一个向量在给定基下的坐标唯一。
• 怎么考：①求基与维数；②求某向量在给定基下的坐标；③判断一组向量能否构成基（个数=维数且线性无关）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】求 \(\alpha=(1,2,3)^T\) 在 \(\mathbb{R}^3\) 标准基 \(e_1,e_2,e_3\) 下的坐标。
  • 解：\(\alpha=e_1+2e_2+3e_3\)，故坐标为 \(\boxed{(1,2,3)^T}\)。
• 【例2·真题风格·自编题】在基 \(\varepsilon_1=(1,0)^T,\varepsilon_2=(1,1)^T\) 下，求 \(\alpha=(2,3)^T\) 的坐标。
  • 解：设 \(\alpha=x\varepsilon_1+y\varepsilon_2\)，即 \(\begin{cases}x+y=2\\y=3\end{cases}\)，得 \(y=3,\ x=-1\)，故坐标为 \(\boxed{(-1,3)^T}\)（验证：\(-1(1,0)+3(1,1)=(2,3)\)）。
• 易错坑点：同一向量在不同基下坐标不同，坐标是「相对基而言」的；求坐标要解方程组，别把分量直接当坐标（除非在标准基下）。
• 配套练习：求 \(\alpha=(1,1)^T\) 在基 \(\varepsilon_1=(1,1)^T,\varepsilon_2=(1,-1)^T\) 下的坐标。（答案：\((1,0)^T\)）

5.3 过渡矩阵与坐标变换（数一常考）

• 是什么/定义：设 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\) 与 \(\eta_1,\cdots,\eta_n\) 是 \(V\) 的两个基，若
  \[ (\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)C \]
  则称 \(C\) 为「由基 \(\varepsilon\) 到基 \(\eta\) 的过渡矩阵」（\(C\) 可逆）。
• 性质/公式（坐标变换）：设 \(\alpha\) 在基 \(\varepsilon\)、\(\eta\) 下坐标分别为 \(x\)、\(y\)，则
  \[ x=Cy \quad\text{或}\quad y=C^{-1}x \]
  一句话：旧坐标 = 过渡矩阵 × 新坐标；新坐标 = 过渡矩阵的逆 × 旧坐标。常用 \(C=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)^{-1}(\eta_1,\cdots,\eta_n)\) 直接求。
• 怎么考：①求过渡矩阵；②由一组基下坐标求另一组基下坐标；③判断过渡矩阵方向（谁到谁）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】设 \(\mathbb{R}^2\) 标准基 \(e_1,e_2\) 到基 \(\eta_1=(1,1)^T,\eta_2=(1,-1)^T\) 的过渡矩阵为 \(C\)，并求 \(\alpha=(2,3)^T\) 在基 \(\eta\) 下的坐标。
  • 解：\((\eta_1,\eta_2)=(e_1,e_2)C\)，故 \(C=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)。设 \(\alpha\) 在 \(\eta\) 下坐标为 \(y\)，则 \(y=C^{-1}x\)，\(C^{-1}=\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}\)，故 \(y=C^{-1}\binom{2}{3}=\boxed{\binom{5/2}{-1/2}}\)（验证：\(\frac52(1,1)-\frac12(1,-1)=(2,3)\)）。
• 【例2·真题】2003年·数一·填空题(4分)：从 \(\mathbb{R}^2\) 的基 \(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) 到基 \(\beta_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) 的过渡矩阵为 ______。
  • 解：\((\beta_1,\beta_2)=(\alpha_1,\alpha_2)C\)，故 \(C=(\alpha_1,\alpha_2)^{-1}(\beta_1,\beta_2)=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}}\)。
• 易错坑点：过渡矩阵的方向（由谁到谁）与坐标变换的方向相反，最易记反；建议代入一个小例子验证：\((\eta_1,\eta_2)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)C\) 时「新基 = 旧基 × 过渡矩阵」，而「旧坐标 = 过渡矩阵 × 新坐标」。
• 配套练习：设 \(\mathbb{R}^2\) 标准基 \(e_1,e_2\) 到基 \(\eta_1=(1,1)^T,\eta_2=(1,-1)^T\) 的过渡矩阵为 \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，求 \(\alpha=(2,3)^T\) 在基 \(\eta\) 下的坐标。（答案：\((5/2,-1/2)^T\)）

5.4 规范正交基与施密特正交化（数一常考）

• 是什么/定义：
• 内积：\((\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\)；长度（模）：\(\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)。
• 正交：\((\alpha,\beta)=0\)；单位向量：\(\|\alpha\|=1\)。
• 规范正交基：两两正交且都是单位向量的基。
• 性质/公式（施密特正交化，由线性无关组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\) 构造正交组）：
  \[ \beta_1=\alpha_1,\qquad \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i\quad(k=2,\cdots,r) \]
  再单位化 \(\gamma_i=\dfrac{\beta_i}{\|\beta_i\|}\)，即得规范正交基。
• 怎么考：①把一组基正交化、单位化；②由「两两正交」反解参数（2021 真题考法）；③为第 5、6 章正交变换/二次型打基础。
• 典型例题：
• 【例1·基础】把 \(\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T\) 正交化、单位化。
  • 解：\(\beta_1=\alpha_1=(1,1,0)^T\)；\(\beta_2=\alpha_2-\dfrac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(1,0,1)^T-\dfrac12(1,1,0)^T=\left(\dfrac12,-\dfrac12,1\right)^T\)。单位化：\(\gamma_1=\dfrac{\beta_1}{\|\beta_1\|}=\boxed{\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0\right)^T}\)，\(\gamma_2=\dfrac{\beta_2}{\|\beta_2\|}=\boxed{\left(\dfrac1{\sqrt6},-\dfrac1{\sqrt6},\dfrac2{\sqrt6}\right)^T}\)。
• 【例2·真题】2021年·数一·第6题(5分)：设 \(\alpha_1=(1,0,1)^T,\alpha_2=(1,2,1)^T,\alpha_3=(3,1,2)^T\)，记 \(\beta_1=\alpha_1,\ \beta_2=\alpha_2-k\beta_1,\ \beta_3=\alpha_3-l_1\beta_1-l_2\beta_2\)，若 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 两两正交，则 \(l_1,l_2\) 依次为（　）。
  • 选项：(A) \(\dfrac52,\dfrac12\)　(B) \(-\dfrac52,\dfrac12\)　(C) \(\dfrac52,-\dfrac12\)　(D) \(-\dfrac52,-\dfrac12\)
  • 解：由 \((\beta_2,\beta_1)=0\) 得 \(k=\dfrac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}=\dfrac{1+0+1}{1+0+1}=1\)，故 \(\beta_2=\alpha_2-\beta_1=(0,2,0)^T\)。由 \((\beta_3,\beta_1)=0\)：\((\alpha_3,\beta_1)-l_1(\beta_1,\beta_1)=5-2l_1=0\Rightarrow l_1=\dfrac52\)；由 \((\beta_3,\beta_2)=0\)：\((\alpha_3,\beta_2)-l_2(\beta_2,\beta_2)=2-4l_2=0\Rightarrow l_2=\dfrac12\)。故选 (A)。
• 易错坑点：施密特正交化必须从线性无关组出发；减去的每一项前系数是 \(\dfrac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\)，分子是 \(\alpha_k\) 与已正交化的 \(\beta_i\) 的内积，别代错。
• 配套练习：把 \(\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T\) 正交化、单位化。（答案：\(\gamma_1=\left(\dfrac1{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3}\right)^T\)，\(\gamma_2=\left(-\dfrac1{\sqrt2},0,\dfrac1{\sqrt2}\right)^T\)）

5.5 正交矩阵的概念及性质（数一常考）

• 是什么/定义：满足 \(Q^TQ=E\)（等价地 \(Q^{-1}=Q^T\)）的方阵 \(Q\) 叫正交矩阵。
• 性质/公式（等价刻画与结论）：
• \(Q\) 正交 ⇔ \(Q^TQ=QQ^T=E\) ⇔ \(Q^{-1}=Q^T\) ⇔ 列向量组是规范正交基 ⇔ 行向量组是规范正交基。
• \(|Q|=\pm1\)（因 \(|Q^TQ|=|Q|^2=|E|=1\)）。
• 保内积、保模长：\((Qx,Qy)=(x,y)\)，\(\|Qx\|=\|x\|\)。
• 正交矩阵的乘积、逆、转置仍是正交矩阵；正交矩阵可逆且 \(Qx=0\Rightarrow x=0\)。
• 怎么考：①判断/证明一个矩阵是否正交；②由正交性求参数；③用 \(|Q|=\pm1\)、保模长解小题；④与特征值结合（正交矩阵的实特征值只能是 \(\pm1\)）。
• 典型例题：
• 【例1·基础】判断 \(Q=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\) 是否为正交矩阵。
  • 解：\(Q^TQ=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta&0\\0&\sin^2\theta+\cos^2\theta\end{pmatrix}=E\)，故 \(Q\) 是正交矩阵（且 \(|Q|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)）。
• 【例2·真题】2017年·数一·第5题(4分)：设 \(\alpha\) 为 n 维单位列向量，\(E\) 为 n 阶单位矩阵，则（　）。
  • 选项：(A) \(E-\alpha\alpha^T\) 不可逆　(B) \(E+\alpha\alpha^T\) 不可逆　(C) \(E+2\alpha\alpha^T\) 不可逆　(D) \(E-2\alpha\alpha^T\) 不可逆
  • 解：因 \(\alpha\) 是单位列向量，\(\alpha^T\alpha=1\)，故 \((E-\alpha\alpha^T)\alpha=\alpha-\alpha(\alpha^T\alpha)=\alpha-\alpha=0\)，而 \(\alpha\neq0\)，齐次方程 \((E-\alpha\alpha^T)x=0\) 有非零解，故 \(E-\alpha\alpha^T\) 不可逆，选 (A)。补充：\(E-2\alpha\alpha^T\) 是正交矩阵（\((E-2\alpha\alpha^T)^2=E\)），故可逆；\(E+\alpha\alpha^T\)、\(E+2\alpha\alpha^T\) 特征值分别为 \(1,\cdots,1,2\) 与 \(1,\cdots,1,3\)，均可逆。
• 易错坑点：\(Q^TQ=E\) 只须验证一侧即可推出另一侧（方阵情形）；正交矩阵行列式是 \(\pm1\)，但行列式为 \(\pm1\) 的矩阵不一定是正交矩阵。
• 配套练习：设 \(Q\) 为正交矩阵，求 \(|Q|\) 与 \(Q^{-1}\)。（答案：\(|Q|=\pm1\)，\(Q^{-1}=Q^T\)）

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本章题型速查

1. 判断向量能否被线性表示：用秩法比较 \(r(A)\) 与 \(r(A\mid\beta)\)。
2. 判断向量组线性相关/无关：列方程组看是否有非零解；或用秩、行列式快速判断。
3. 含参数的线性相关判定：令对应行列式 \(=0\) 解参数。
4. 求极大线性无关组并用它表示其余向量：列矩阵做行变换化阶梯形。
5. 求向量组的秩：化行阶梯形数非零行。
6. 向量空间题（数一）：验证封闭性、判子空间、求基与维数、求坐标。
7. 过渡矩阵与坐标变换题（数一）：注意 \((\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)C\) 与 \(x=Cy\) 的方向。
8. 施密特正交化（数一）：把一组基正交化、单位化。
9. 正交矩阵（数一）：用 \(Q^TQ=E\)、\(|Q|=\pm1\)、保模长判断与计算。

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配套练习（本章综合）

1. 判断向量组 \(\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,0,1)^T\) 是否线性相关。（答案：线性无关，行列式 \(=2\neq0\)）
2. 判断向量组 \(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,6)^T,\alpha_3=(1,0,1)^T\) 是否线性相关。（答案：线性相关，因为 \(\alpha_2=2\alpha_1\)）
3. 由 4 个 3 维向量组成的向量组，是否一定线性相关？为什么？（答案：一定线性相关，因为向量个数 \(4>\) 维数 \(3\)）
4. 把 \(\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T\) 正交化、单位化。（答案：\(\gamma_1=\left(\dfrac1{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3}\right)^T\)，\(\gamma_2=\left(-\dfrac1{\sqrt2},0,\dfrac1{\sqrt2}\right)^T\)）
5. 设 \(Q\) 为正交矩阵，求 \(|Q|\)。（答案：\(|Q|=\pm1\)）

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学完本章的检验标准

1. 能判断一个向量能否由某向量组线性表示，并知道表示是否唯一。
2. 能熟练判断向量组线性相关/无关（方程组法、秩法、行列式法）。
3. 熟记相关/无关的常用性质（部分与整体、含零向量、升维降维）。
4. 会求向量组的极大线性无关组、秩，并用极大无关组表示其余向量。
5. （数一）会判断子空间（对加法、数乘封闭），会求向量空间的基、维数、坐标。
6. （数一）会写过渡矩阵与坐标变换公式，并正确区分方向。
7. （数一）会做施密特正交化，把基化为规范正交基。
8. （数一）掌握正交矩阵的概念与性质（\(Q^TQ=E\)、\(|Q|=\pm1\)、保模长、等价刻画）。

全部达到后，进入第4章「线性方程组」——解的判定、基础解系与通解结构，是考研线代分值最高的板块之一。