第4章「线性方程组」讲义

线性方程组是线代的核心应用场景，也是分值最高的板块：前面学的矩阵、向量、秩，最终都要落到「解方程组」上。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

前置知识：第2章「矩阵」的初等变换与秩；第3章「向量」的线性相关/无关。

一、线性方程组的基本概念

1.1 方程组的矩阵形式

是什么/定义：
一般形式：n 个未知数、m 个方程的线性方程组。
矩阵表示：\(Ax = b\)，其中
- 系数矩阵 A：由未知数系数组成的 \(m \times n\) 矩阵；
- 增广矩阵：\((A \mid b)\)，即在 A 右边再拼上常数项列 b；
- 未知数向量 x、常数项向量 b。
齐次与非齐次：
- 常数项全为 0（即 \(Ax = 0\)）叫齐次线性方程组；
- 常数项不全为 0（即 \(Ax = b\)，\(b \ne 0\)）叫非齐次线性方程组。
性质/公式：齐次方程组一定至少有零解 \(x = 0\)；「有没有解」的问题只对非齐次才有意义（齐次总有解）。
怎么考：①把文字形式的方程组写成 \(Ax=b\) 与增广矩阵；②区分齐次与非齐次；③由增广矩阵还原出原方程组。
典型例题：
【例1·基础】把方程组
\[\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3=5 \\ x_1+x_3=2 \\ -x_1+2x_2=1 \end{cases}\]
写成矩阵形式。
- 解：系数矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&1\\-1&2&0\end{pmatrix}\)，未知数向量 \(x=(x_1,x_2,x_3)^T\)，常数项向量 \(b=(5,2,1)^T\)，故 \(Ax=b\)，增广矩阵 \((A\mid b)=\begin{pmatrix}2&-1&3&5\\1&0&1&2\\-1&2&0&1\end{pmatrix}\)。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(x_1+2x_2=0\) 与 \(x_1+2x_2=3\) 分别是齐次还是非齐次，并说明其解的情况。
- 解：前者常数项为 0，是齐次，恒有零解 \((0,0)^T\)（且因 \(r(A)=1<2=n\) 还有非零解）；后者常数项为 3，是非齐次，需用秩判定是否有解。
易错坑点：齐次方程组「一定有解」是恒成立的（至少零解）；「无解」的说法只出现在非齐次方程组中。
配套练习：写出方程组 \(\begin{cases}x_1-x_2=1\\2x_1+3x_2=0\end{cases}\) 的增广矩阵，并指出其是否为齐次方程组。（答案：\((A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&3&0\end{pmatrix}\)，非齐次）

二、齐次线性方程组 \(Ax = 0\)

2.1 解的判定（核心结论）

是什么/定义：判断齐次方程组 \(Ax=0\)（A 为 \(m\times n\)）除零解外是否还有非零解。
性质/公式：设 \(r(A)=r\)：
只有零解 ⇔ \(r(A) = n\)（未知数个数）；
有非零解 ⇔ \(r(A) < n\)；
特例：若 \(m < n\)（方程个数 < 未知数个数），则必有非零解；
方阵特例：A 为 n 阶方阵时，\(Ax=0\) 只有零解 ⇔ \(|A|\ne 0\) ⇔ A 可逆。
怎么考：①由秩与 n 的关系判定是否有非零解；②方阵用 \(|A|\) 判定；③已知有非零解反求参数（令 \(r(A)<n\) 或 \(|A|=0\)）。
典型例题：
【例1·基础】A 为 \(2\times 3\) 矩阵，问 \(Ax=0\) 是否必有非零解？
- 解：\(r(A)\le\min\{2,3\}=2<3=n\)，故 \(r(A)<n\)，必有非零解（方程个数 2 < 未知数个数 3）。
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\)，判断 \(Ax=0\) 的解的情况。
- 解：\(|A|=1\cdot2-1\cdot2=0\)，\(r(A)=1<2=n\)，故 \(Ax=0\) 有非零解。
易错坑点：「\(r(A)=n\)」中的 n 是未知数个数（即 A 的列数），不是方程个数 m；判定时先看清 A 的行列形状。
配套练习：A 为 \(3\times 3\) 且 \(r(A)=2\)，\(Ax=0\) 是否有非零解？（答案：有，\(r(A)=2<3=n\)）

2.2 基础解系

是什么/定义：齐次方程组 \(Ax=0\) 的一组解 \(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\) 若满足：① 线性无关；② \(Ax=0\) 的任一解都能由它们线性表示，则称这组解为基础解系。
性质/公式：
基础解系所含向量个数（必背公式）：
\[ t = n - r(A) \]
即「未知数个数 − 系数矩阵的秩」。
通解：若 \(\xi_1,\cdots,\xi_t\) 是基础解系，则
\[ x = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_t\xi_t \]
（\(c_1,\cdots,c_t\) 为任意常数）就是齐次方程组的通解。
怎么考：①求基础解系；②由 \(n-r\) 判断基础解系含几个向量；③验证某组向量是否为基础解系（三条：都是解 + 线性无关 + 个数 = \(n-r\)）。
典型例题：
【例1·基础】求齐次方程组 \(x_1+x_2+x_3=0\) 的基础解系与通解。
- 解：\(A=(1,1,1)\)，\(r(A)=1\)，\(n=3\)，基础解系含 \(n-r=2\) 个向量。由 \(x_1=-x_2-x_3\)，令 \(x_2=1,x_3=0\) 得 \(\xi_1=(-1,1,0)^T\)；令 \(x_2=0,x_3=1\) 得 \(\xi_2=(-1,0,1)^T\)。故基础解系 \(\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}\)，通解 \(x=c_1(-1,1,0)^T+c_2(-1,0,1)^T\)。
【例2·真题风格·自编题】求齐次方程组
\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ 2x_1-x_2+x_3=0 \end{cases}\]
的基础解系。
- 解：\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\)，二阶子式 \(\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-3\ne0\)，故 \(r(A)=2\)，基础解系含 \(n-r=3-2=1\) 个向量。两式相减得 \(x_1-2x_2=0\Rightarrow x_1=2x_2\)，代入第一式得 \(3x_2+x_3=0\Rightarrow x_3=-3x_2\)。令 \(x_2=1\) 得基础解系 \(\{(2,1,-3)^T\}\)（验算：\(2+1-3=0\)、\(4-1-3=0\)）。
易错坑点：基础解系中向量个数 = \(n-r\)，不是 \(n-m\)；三个条件（都是解、线性无关、个数恰好 \(n-r\)）缺一不可。
配套练习：A 为 \(4\times 5\) 矩阵且 \(r(A)=3\)，则 \(Ax=0\) 的基础解系含几个向量？（答案：\(5-3=2\) 个）

2.3 求基础解系的方法（高斯消元）

是什么/定义：用行初等变换把系数矩阵化成行最简形，再给自由变量赋值求出基础解系。
性质/公式（步骤）：
1. 对系数矩阵 A 做行初等变换，化成行最简形（行阶梯形再进一步化成每个主元所在列其余为 0）；
2. 确定主变量（主元所在列对应的未知数）和自由变量（其余未知数）；
3. 令自由变量依次取 \((1,0,\cdots,0)\)、\((0,1,\cdots,0)\)、…，逐个解出主变量，得到基础解系。
怎么考：①给定具体方程组求基础解系与通解；②求出的向量要回代验算是否为解；③结合秩判断自由变量个数。
典型例题：
【例1·基础】求齐次方程组
\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+2x_2+2x_3=0 \\ 2x_1+3x_2+3x_3=0 \end{cases}\]
的基础解系与通解。
- 解：\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\2&3&3\end{pmatrix}\xrightarrow[\text{第3行}-2\times\text{第1行}]{\text{第2行}-\text{第1行}}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow[\text{第3行}-\text{第2行}]{\text{第1行}-\text{第2行}}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)。
  得 \(x_1=0,\ x_2+x_3=0\)，\(r(A)=2\)，自由变量 1 个。令 \(x_3=1\) 得 \(x_2=-1\)，基础解系 \(\{(0,-1,1)^T\}\)，通解 \(x=c(0,-1,1)^T\)。
【例2·真题风格·自编题】求齐次方程组
\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1-x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}\]
的基础解系。
- 解：两式相加得 \(2x_1+2x_3=0\Rightarrow x_1=-x_3\)；两式相减得 \(2x_2+2x_4=0\Rightarrow x_2=-x_4\)。\(r(A)=2\)，\(n=4\)，自由变量 2 个（\(x_3,x_4\)）。令 \(x_3=1,x_4=0\) 得 \((-1,0,1,0)^T\)；令 \(x_3=0,x_4=1\) 得 \((0,-1,0,1)^T\)。基础解系 \(\{(-1,0,1,0)^T,(0,-1,0,1)^T\}\)。
易错坑点：只做行变换，不做列变换；自由变量赋值方式不唯一（基础解系也不唯一），但个数恒为 \(n-r\)。
配套练习：求 \(x_1+2x_2-x_3=0\) 的基础解系。（答案：令 \(x_2=1,x_3=0\) 得 \((-2,1,0)^T\)；令 \(x_2=0,x_3=1\) 得 \((1,0,1)^T\)，基础解系 \(\{(-2,1,0)^T,(1,0,1)^T\}\)）

2.4 解空间

是什么/定义：齐次方程组 \(Ax=0\) 的全体解构成的集合称为它的解空间（记作 \(N(A)\) 或 \(\ker A\)），即
\[ N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}. \]
它是 \(\mathbb{R}^n\) 的一个子空间（对加法和数乘封闭）：若 \(x_1,x_2\) 是解，则 \(x_1+x_2\)、\(kx_1\) 仍是解。
性质/公式：
维数公式（必背）：\(\dim N(A)=n-r(A)\)。
基础解系正是解空间的一组基，所以「基础解系含 \(n-r\) 个向量」的本质就是「解空间维数 = \(n-r(A)\)」。
解空间 = 基础解系的张成（span），即 \(N(A)=\{c_1\xi_1+\cdots+c_t\xi_t\mid c_i\in\mathbb{R}\}\)。
非齐次 \(Ax=b\) 的解集不是向量空间（不含零向量），而是「特解 + 解空间」的平移（仿射集）。
怎么考：①求解空间的维数与一组基；②判断某向量是否在解空间中；③与第3章「向量空间/子空间」概念联考。
典型例题：
【例1·基础】求 \(x_1+x_2+x_3=0\) 的解空间的一组基与维数。
- 解：由 2.2 知基础解系 \(\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}\) 就是解空间的一组基，故维数 \(=3-1=2\)。
【例2·真题风格·自编题】设 A 为 \(5\times 7\) 矩阵且 \(r(A)=3\)，则 \(Ax=0\) 的解空间维数是多少？
- 解：\(\dim N(A)=n-r(A)=7-3=\boxed{4}\)。
易错坑点：只有齐次方程组的解集才是向量空间；非齐次解集不含零向量，不是向量空间，只能说它是「仿射子空间」。
配套练习：设 A 为 \(4\times 6\) 矩阵且 \(r(A)=4\)，求 \(Ax=0\) 解空间的维数。（答案：\(6-4=2\)）

三、非齐次线性方程组 \(Ax = b\)

3.1 解的判定（核心结论）

是什么/定义：判断非齐次方程组 \(Ax=b\) 无解、唯一解、无穷多解。
性质/公式：设 \(A\) 为 \(m\times n\)，增广矩阵为 \((A\mid b)\)：
无解 ⇔ \(r(A) < r(A\mid b)\)（系数矩阵秩 < 增广矩阵秩）；
有唯一解 ⇔ \(r(A) = r(A\mid b) = n\)；
有无穷多解 ⇔ \(r(A) = r(A\mid b) < n\)；
方阵特例：A 为 n 阶方阵且 \(|A|\ne 0\) 时，\(Ax=b\) 有唯一解（可用克拉默法则或 \(x=A^{-1}b\)）。
一句话记忆：先看秩相不相等（决定有无解），再看秩是否等于 n（决定解是否唯一）。
怎么考：①给定方程组用秩判定解的情况；②已知解的情况反求参数；③与「b 可否由 A 的列向量组线性表示」等价转换。
典型例题：
【例1·基础】判断下列方程组解的情况：
(1) \(\begin{cases}x_1+x_2=1\\2x_1+2x_2=3\end{cases}\)；(2) \(\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1-x_2=0\end{cases}\)；(3) \(\begin{cases}x_1+x_2=2\\2x_1+2x_2=4\end{cases}\)。
- 解：(1) \(r(A)=1<r(A\mid b)=2\)（\(2\times1\ne3\)），无解；(2) \(r(A)=r(A\mid b)=2=n\)，唯一解 \(x=(1,1)^T\)；(3) 第二个方程是第一个的 2 倍且一致，\(r(A)=r(A\mid b)=1<2=n\)，无穷多解。
【例2·真题风格·自编题】设 \(A\) 为 3 阶方阵且 \(|A|=2\ne0\)，问 \(Ax=b\) 解的情况。
- 解：\(|A|\ne0\)，A 可逆，\(r(A)=r(A\mid b)=3=n\)，故 \(Ax=b\) 有唯一解，且解为 \(x=A^{-1}b\)。
易错坑点：判定顺序别搞反——先比较 \(r(A)\) 与 \(r(A\mid b)\)（是否相等决定有无解），再与 n 比较（是否等于 n 决定是否唯一）。
配套练习：判断 \(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+x_2+x_3=2\end{cases}\) 解的情况。（答案：无解，\(r(A)=1<r(A\mid b)=2\)）

3.2 解的结构（通解结构，必背）

是什么/定义：导出组：把 \(Ax=b\) 的右端改成 0 得到 \(Ax=0\)，称为原方程组的导出组。
性质/公式（最重要公式）：若 \(\eta\) 是 \(Ax=b\) 的一个特解，\(\xi_1,\cdots,\xi_t\) 是其导出组 \(Ax=0\) 的基础解系，则 \(Ax=b\) 的通解为
\[ x = \eta + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_t\xi_t \]
即「一个特解 + 导出组的通解」。
怎么考：①求非齐次方程组的通解；②已知部分解反推通解结构；③证明「非齐次通解 = 特解 + 齐次通解」。
典型例题：
【例1·基础】解线性方程组
\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1-x_2+3x_3=1 \\ 2x_1+4x_3=2 \end{cases}\]
- 解：\((A\mid b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&3&1\\2&0&4&2\end{pmatrix}\xrightarrow[\text{第3行}-2\times\text{第1行}]{\text{第2行}-\text{第1行}}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&2&0\\0&-2&2&0\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{第3行}-\text{第2行}}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。
  故 \(r(A)=r(A\mid b)=2<3\)，无穷多解，自由变量 1 个。由第 2 行 \(-2x_2+2x_3=0\) 得 \(x_2=x_3\)，代入第 1 行得 \(x_1=1-2x_3\)。令 \(x_3=c\)，通解 \(x=(1,0,0)^T+c(-2,1,1)^T\)（特解 \((1,0,0)^T\) + 导出组基础解系 \((-2,1,1)^T\) 的任意倍）。
【例2·真题】2002年·数一·第九题(6分)：已知 4 阶方阵 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，其中 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 均为 4 维列向量，且 \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 线性无关，\(\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3\)。若 \(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4\)，求线性方程组 \(Ax=\beta\) 的通解。
- 解：由 \(\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3\) 得 \(\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3=0\)，即 \(A(1,-2,1,0)^T=0\)，故 \((1,-2,1,0)^T\) 是 \(Ax=0\) 的非零解。因 \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 线性无关，\(r(A)\ge3\)；又 \(\alpha_1\) 可由 \(\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示，故 \(r(A)=3\)。于是 \(Ax=0\) 的基础解系含 \(n-r=4-3=1\) 个向量，\(\{(1,-2,1,0)^T\}\) 即为一个基础解系。又 \(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=A(1,1,1,1)^T\)，故 \((1,1,1,1)^T\) 是 \(Ax=\beta\) 的一个特解。故通解
  \[x=(1,1,1,1)^T+k(1,-2,1,0)^T\quad(k\in\mathbb{R}).\]
易错坑点：非齐次通解必须包含「特解」这一项，只写导出组通解就错了；特解与基础解系要配套正确（都来自同一个 A）。
配套练习：求 \(\begin{cases}x_1+x_2=2\end{cases}\) 的通解。（答案：\((2,0)^T+c(-1,1)^T\)）

3.3 非齐次解的性质

是什么/定义：非齐次方程组各解之间、非齐次解与齐次解之间的线性关系。
性质/公式：
设 \(\eta_1,\eta_2\) 是 \(Ax=b\) 的两个解，则 \(\eta_1-\eta_2\) 是导出组 \(Ax=0\) 的解；
设 \(\xi\) 是 \(Ax=0\) 的解，\(\eta\) 是 \(Ax=b\) 的解，则 \(\xi+\eta\)（以及 \(\eta-\xi\)）仍是 \(Ax=b\) 的解；
两个非齐次解的和 \(\eta_1+\eta_2\) 一般不是 \(Ax=b\) 的解（而是 \(Ax=2b\) 的解）；
推广：\(c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots\) 仍是 \(Ax=b\) 的解 ⇔ 系数和 \(c_1+c_2+\cdots=1\)。
怎么考：①由「两解之差是导出组解」构造基础解系；②判断某个线性组合是否仍为解；③选择题考「解的线性组合」的归属。
典型例题：
【例1·基础】设 \(\eta_1=(1,1)^T,\eta_2=(0,2)^T\) 都是 \(x_1+x_2=2\) 的解，验证：\(\eta_1-\eta_2\) 是 \(x_1+x_2=0\) 的解；\(\xi=(1,-1)^T\)（齐次解）加 \(\eta_1\) 后仍是 \(x_1+x_2=2\) 的解；而 \(\eta_1+\eta_2\) 不是。
- 解：\(\eta_1-\eta_2=(1,-1)^T\)，\(1+(-1)=0\)，是齐次解；\(\xi+\eta_1=(2,0)^T\)，\(2+0=2\)，仍是非齐次解；\(\eta_1+\eta_2=(1,3)^T\)，\(1+3=4\ne2\)，是 \(x_1+x_2=4\) 的解，不是 \(x_1+x_2=2\) 的解。
【例2·真题风格·自编题】设 \(\eta_1,\eta_2\) 是 \(Ax=b\) 的两个解，问 \(c_1\eta_1+c_2\eta_2\) 仍是 \(Ax=b\) 的解的充要条件。
- 解：\(A(c_1\eta_1+c_2\eta_2)=c_1b+c_2b=(c_1+c_2)b\)，故它仍是 \(Ax=b\) 的解 ⇔ \((c_1+c_2)b=b\) ⇔ \(c_1+c_2=1\)（\(b\ne0\)）。
易错坑点：两个非齐次解的和 \(\eta_1+\eta_2\) 是 \(Ax=2b\) 的解，不是 \(Ax=b\) 的解；而「非齐次解 ± 齐次解」才是 \(Ax=b\) 的解。
配套练习：设 \(\eta_1,\eta_2\) 是 \(Ax=b\) 的两个不同解，\(\eta_1+\eta_2\) 与 \(\eta_1-\eta_2\) 分别是哪个方程组的解？（答案：\(\eta_1+\eta_2\) 是 \(Ax=2b\) 的解；\(\eta_1-\eta_2\) 是 \(Ax=0\) 的解）

四、含参数的线性方程组（高频题型）

4.1 含参数方程组的讨论

是什么/定义：方程组含参数 a，问 a 取何值时无解、有唯一解、有无穷多解（并求通解）。
性质/公式（判定依据）：对增广矩阵 \((A\mid b)\) 做行初等变换，讨论参数使秩发生变化的临界值，再按 3.1 的判定分类：
无解 ⇔ \(r(A)<r(A\mid b)\)；唯一解 ⇔ \(r(A)=r(A\mid b)=n\)；无穷多解 ⇔ \(r(A)=r(A\mid b)<n\)。
方法步骤：① 化行阶梯形（必要时按参数是否为 0 分类）；② 找出使秩变化的临界参数值；③ 逐类讨论；④ 无穷多解时求通解（特解 + 基础解系）。
怎么考：数一第一道大题常客——「a 取何值时无解、唯一解、无穷多解，并求通解」；方阵时先算 \(|A|\) 更快。
典型例题：
【例1·基础】讨论 \(\lambda\) 取何值时，方程组
\[\begin{cases} \lambda x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=1 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=1 \end{cases}\]
无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求通解。
- 解：系数行列式 \(|A|=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda+2)\)。
- 当 \(\lambda\ne1\) 且 \(\lambda\ne-2\) 时，\(|A|\ne0\)，\(r(A)=r(A\mid b)=3=n\)，唯一解；
- 当 \(\lambda=1\) 时，\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，\(r(A)=r(A\mid b)=1<3\)，无穷多解：方程退化为 \(x_1+x_2+x_3=1\)，特解 \((1,0,0)^T\)，导出组基础解系 \(\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}\)，通解 \(x=(1,0,0)^T+c_1(-1,1,0)^T+c_2(-1,0,1)^T\)；
- 当 \(\lambda=-2\) 时，三式相加得 \(0=3\)（左边系数和 \(=-2+1+1=0\)），矛盾，无解。
【例2·真题】2016年·数一·第20题(11分)：设矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\2&a&1\\-1&1&a\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&2\\1&a\\-a-1&-2\end{pmatrix}\)，当 \(a\) 为何值时，方程 \(AX=B\) 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时求其通解。
- 解：\(|A|=\begin{vmatrix}1&-1&-1\\2&a&1\\-1&1&a\end{vmatrix}=a^2+a-2=(a+2)(a-1)\)。
- 当 \(a\ne1\) 且 \(a\ne-2\) 时，\(|A|\ne0\)，A 可逆，\(AX=B\) 有唯一解（\(X=A^{-1}B\)）。
- 当 \(a=-2\) 时，\((A\mid B)=\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\2&-2&1&1&-2\\-1&1&-2&1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[\text{第3行}+\text{第1行}]{\text{第2行}-2\times\text{第1行}}\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\0&0&3&-3&-6\\0&0&-3&3&0\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{第3行}+\text{第2行}}\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\0&0&3&-3&-6\\0&0&0&0&-6\end{pmatrix}\)，出现 \(0=-6\) 的矛盾行，无解。
- 当 \(a=1\) 时，\((A\mid B)=\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\2&1&1&1&1\\-1&1&1&-2&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[\text{第3行}+\text{第1行}]{\text{第2行}-2\times\text{第1行}}\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\0&3&3&-3&-3\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{第2行}\div3}\begin{pmatrix}1&-1&-1&2&2\\0&1&1&-1&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{第1行}+\text{第2行}}\begin{pmatrix}1&0&0&1&1\\0&1&1&-1&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\)，故 \(x_1=1,\ x_2+x_3=-1\)，令 \(x_3=c_1,c_2\)（对 B 的两列分别取自由变量），得无穷多解：
  \[X=\begin{pmatrix}1&1\\-1-c_1&-1-c_2\\c_1&c_2\end{pmatrix},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]
易错坑点：讨论参数时不要漏掉「参数 = 0」等使主元消失的特殊情况；方阵题先算 \(|A|\) 找出临界值，再对每个临界值逐一代入判秩，不能只凭 \(|A|=0\) 就断言无穷多解（还要看是否无解）。
配套练习：讨论 \(\lambda\) 取何值时，\(\begin{cases}\lambda x_1+x_2=1\\x_1+\lambda x_2=1\end{cases}\) 无解、唯一解、无穷多解。
（答案：\(|A|=\lambda^2-1\)；\(\lambda\ne\pm1\) 时唯一解；\(\lambda=1\) 时方程退化为 \(x_1+x_2=1\)，无穷多解，通解 \((1,0)^T+c(-1,1)^T\)；\(\lambda=-1\) 时 \(-x_1+x_2=1\) 与 \(x_1-x_2=1\) 矛盾，无解）

五、方程组与矩阵、向量的联系（综合考点）

方程组有解 ⇔ b 可由 A 的列向量组线性表示 ⇔ \(r(A)=r(A\mid b)\)。
齐次方程组 \(Ax=0\) 有非零解 ⇔ A 的列向量组线性相关 ⇔ \(r(A)<n\)。
\(AB=O\) 的秩结论：\(r(A)+r(B)\le n\)（A 为 \(m\times n\)，B 为 \(n\times s\)），其本质是「B 的每一列都是 \(Ax=0\) 的解」。
公共解与同解（进阶）：
两个方程组的公共解 = 联立两个方程组后求出的解；
两个方程组同解 ⇔ 它们的解集合完全相同（常用「\(Ax=0\) 与 \(Bx=0\) 同解 ⇔ \(r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\)」判断）。

六、典型题型汇总

求解具体方程组：用行初等变换化行最简形，求通解。
判定解的情况：比较 \(r(A)\) 与 \(r(A\mid b)\) 及 n 的关系。
含参数方程组讨论：对参数分类，判断无解/唯一解/无穷多解并求解。
求基础解系：自由变量赋值法。
已知解求参数或求通解：利用解的性质反推参数。
公共解、同解问题：联立或比较秩。
与向量线性表示、秩结合的证明题。

配套练习（本章综合）

设 A 为 \(3\times 4\) 矩阵且 \(r(A)=2\)，则齐次方程组 \(Ax=0\) 的基础解系含几个向量？（答案：\(n-r=4-2=2\) 个）
判断方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2=1\\2x_1+2x_2=3\end{cases}\) 解的情况。（答案：无解，\(r(A)=1<r(A\mid b)=2\)）
求齐次方程组 \(x_1+x_2+x_3=0\) 的通解。（答案：\(c_1(-1,1,0)^T+c_2(-1,0,1)^T\)，\(c_1,c_2\) 为任意常数）
求齐次方程组 \(x_1+2x_2-x_3=0\) 的一个基础解系。（答案：\(\{(-2,1,0)^T,(1,0,1)^T\}\)）
求方程组 \(x_1+x_2=2\) 的通解。（答案：\((2,0)^T+c(-1,1)^T\)）
求方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1-x_2+x_3=1\\2x_1+2x_3=2\end{cases}\) 的通解。（答案：\(r(A)=r(A\mid b)=2<3\)，无穷多解，通解 \((1,0,0)^T+c(-1,0,1)^T\)）
设 \(\eta_1,\eta_2\) 是 \(Ax=b\) 的两个不同解，\(\eta_1+\eta_2\) 与 \(\eta_1-\eta_2\) 分别是哪个方程组的解？（答案：\(\eta_1+\eta_2\) 是 \(Ax=2b\) 的解，\(\eta_1-\eta_2\) 是 \(Ax=0\) 的解）
讨论 \(\lambda\) 取何值时 \(\begin{cases}\lambda x_1+x_2=1\\x_1+\lambda x_2=1\end{cases}\) 无解、唯一解、无穷多解。（答案：\(\lambda\ne\pm1\) 唯一解；\(\lambda=1\) 无穷多解；\(\lambda=-1\) 无解）

学完本章的检验标准

能熟练用行初等变换解线性方程组（高斯消元法）。
能根据 \(r(A)\)、\(r(A\mid b)\)、n 的关系判断方程组无解、唯一解、无穷多解。
会求齐次方程组的基础解系，并记住基础解系含 \(n-r\) 个向量。
理解解空间的概念：\(Ax=0\) 的解集是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间，其维数 \(=n-r(A)\)。
熟记非齐次通解结构 =「特解 + 导出组通解」。
会讨论含参数方程组的所有情形（无解/唯一解/无穷多解）并写出通解。
能说清方程组有解与「b 可由列向量组线性表示」的等价关系。

全部达到后，进入第5章「特征值与特征向量」——相似对角化与实对称矩阵，是线代后半部分的核心。