特征值与特征向量是「矩阵对角化」的钥匙，也是二次型标准化的基础，属于线代后半部分的绝对重点。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。
前置知识：第1章「行列式」；第2章「矩阵」的逆与秩；第4章「线性方程组」的求解。

关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。

一、特征值与特征向量的定义

1.1 特征值与特征向量的概念

  • 是什么/定义：设 A 为 n 阶方阵，若存在数 \(\lambda\) 和非零列向量 x，使
    \[ Ax = \lambda x \]
    则称 \(\lambda\) 是 A 的一个特征值，x 是 A 的属于特征值 \(\lambda\) 的一个特征向量。
  • 性质/公式：
  • 特征向量必须是非零向量（零向量不算特征向量）。
  • 特征值可以是 0，但特征向量不能是 0。
  • 若 x 是 A 的属于 \(\lambda\) 的特征向量，则任意 \(k\ne 0\)，\(kx\) 也是属于 \(\lambda\) 的特征向量。
  • 几何理解：A 作用在 x 上，只把 x「拉长（缩短、反向）」\(\lambda\) 倍，方向（所在直线）不变。
  • 怎么考：①验证某向量是否为特征向量；②由 \(Ax=\lambda x\) 反解参数；③判断「属于同一特征值的全体特征向量」的集合结构。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，验证 \(x=(1,1)^T\) 是 A 的特征向量，并求对应特征值。
    • 解：\(Ax=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=3x\)，且 \(x\ne 0\)，故 \(x\) 是 A 的特征向量，对应特征值 \(\boxed{\lambda=3}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 \(\alpha\) 是 A 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量，证明对任意 \(k\ne 0\)，\(k\alpha\) 仍是属于 \(\lambda\) 的特征向量。
    • 解：\(A(k\alpha)=k(A\alpha)=k(\lambda\alpha)=\lambda(k\alpha)\)，且 \(k\ne 0\) 时 \(k\alpha\ne 0\)，故 \(k\alpha\) 是属于 \(\lambda\) 的特征向量。
  • 易错坑点：写「属于 \(\lambda\) 的全体特征向量是 \(k\xi\)」时必须注明 \(k\ne 0\)，否则把零向量也算进去了。
  • 配套练习：判断：若 \(\alpha\) 是 A 的特征向量，则 \(-\alpha\)、\(2\alpha\) 也是 A 的特征向量。（答案：是，因为 \(k\ne 0\)）

1.2 特征方程与特征多项式

  • 是什么/定义：
  • 由 \(Ax=\lambda x\) 移项得 \((\lambda E-A)x=0\)（或 \((A-\lambda E)x=0\)）。
  • 特征方程：\(|\lambda E-A|=0\)（或 \(|A-\lambda E|=0\)）。
  • 特征多项式：\(f(\lambda)=|\lambda E-A|\)，是关于 \(\lambda\) 的 n 次多项式。
  • 性质/公式：
  • \(\lambda_0\) 是 A 的特征值 ⇔ \(\lambda_0\) 是特征方程 \(|\lambda E-A|=0\) 的根。
  • n 阶方阵至多有 n 个特征值（重根按重数计）。
  • 怎么考：①写出特征多项式；②由特征多项式反求矩阵参数（用迹、行列式对照系数）；③已知特征值求参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的特征多项式与特征值。
    • 解：\(|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\\-1&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-2)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)\)，故特征值为 \(\boxed{1,\ 3}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 2 阶矩阵 A 的特征多项式为 \(\lambda^2-5\lambda+6\)，求 \(\mathrm{tr}(A)\)、\(|A|\) 与特征值。
    • 解：特征多项式 \(\lambda^2-(\mathrm{tr}A)\lambda+|A|\)，故 \(\mathrm{tr}(A)=5\)、\(|A|=6\)；令 \(\lambda^2-5\lambda+6=0\) 得特征值 \(\boxed{2,\ 3}\)。
  • 易错坑点：\(|\lambda E-A|\) 与 \(|A-\lambda E|\) 的根相同（最多整体差 \((-1)^n\)），但求特征向量时代入的矩阵不同，务必前后保持一致。
  • 配套练习：求 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 的特征值。（答案：\(3,\ -1\)）

1.3 求特征值与特征向量的步骤

  • 是什么/定义（标准两步）：
    1. 解特征方程 \(|\lambda E-A|=0\)，得全部特征值 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots\)；
    2. 对每个 \(\lambda_i\)，解齐次方程组 \((\lambda_i E-A)x=0\)，其非零解就是属于 \(\lambda_i\) 的特征向量。
  • 性质/公式：属于 \(\lambda_i\) 的全体特征向量 \(=\) 解空间 \((\lambda_i E-A)x=0\) 去掉零向量后的所有向量。
  • 怎么考：①三阶矩阵的完整计算（特征值 + 基础解系）；②含参数矩阵的特征值、特征向量；③由特征向量反求 A 中的参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\)，求 A 的特征值与特征向量。
    • 解：
      第 1 步（求特征值）：\(|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&1&0\\1&\lambda-2&1\\0&1&\lambda-1\end{vmatrix}=\lambda(\lambda-1)(\lambda-3)\)，故特征值为 \(\lambda_1=0\)、\(\lambda_2=1\)、\(\lambda_3=3\)。
      第 2 步（求特征向量）：
    • \(\lambda_1=0\)：解 \(Ax=0\) 得 \(\xi_1=(1,1,1)^T\)；
    • \(\lambda_2=1\)：解 \((E-A)x=0\) 得 \(\xi_2=(1,0,-1)^T\)；
    • \(\lambda_3=3\)：解 \((3E-A)x=0\) 得 \(\xi_3=(1,-2,1)^T\)。
      属于它们的全部特征向量分别为 \(k\xi_1\)、\(k\xi_2\)、\(k\xi_3\)（\(k\ne 0\)）。
  • 【例2·真题风格·自编题】求 \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。
    • 解：\(|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&0&-1\\0&\lambda-1&0\\-1&0&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)\)。
      特征值 \(\lambda=1\)（二重）、\(\lambda=-1\)。
    • \(\lambda=1\)：解 \((E-A)x=0\)，得基础解系 \((1,0,1)^T,\ (0,1,0)^T\)；
    • \(\lambda=-1\)：解 \((-E-A)x=0\)，得基础解系 \((1,0,-1)^T\)。
  • 易错坑点：重特征值要写出全部线性无关特征向量（基础解系的每个向量都要写，漏一个就丢「可对角化」的判断依据）。
  • 配套练习：求 \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。（答案：\(\lambda=2\) 对应 \((1,1)^T\)；\(\lambda=4\) 对应 \((1,-1)^T\)）

二、特征值的性质（高频考点）

2.1 特征值的基本性质：迹与行列式

  • 是什么/定义：设 n 阶方阵 A 的特征值为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)（重根按重数计）。
  • 性质/公式：
  • 特征值之和 = 矩阵的迹：\(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\mathrm{tr}(A)\)。
  • 特征值之积 = 行列式：\(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|\)。
  • 推论（必背）：\(|A|=0\) ⇔ A 有特征值 0 ⇔ A 不可逆；A 可逆 ⇔ 所有特征值都不为 0。
  • 怎么考：①已知特征值求 \(|A|\)、\(\mathrm{tr}(A)\)；②已知 \(|A|\)、\(\mathrm{tr}(A)\) 反求参数/特征值；③判断可逆性。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 3 阶矩阵 A 的特征值为 \(1,2,3\)，求 \(|A|\) 和 \(\mathrm{tr}(A)\)。
    • 解：\(|A|=1\cdot2\cdot3=\boxed{6}\)，\(\mathrm{tr}(A)=1+2+3=\boxed{6}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 3 阶矩阵 A 的特征值为 \(1,-1,2\)，求 \(|A+E|\)。
    • 解：A 的特征值为 \(1,-1,2\)，则 \(A+E\) 的特征值为 \(2,0,3\)，故 \(|A+E|=2\cdot0\cdot3=\boxed{0}\)。
  • 易错坑点：\(\mathrm{tr}(A)\) 是主对角线元素之和，不是所有元素之和。
  • 配套练习：设 3 阶矩阵 A 的特征值为 \(2,3,\lambda\)，且 \(|2A|=-48\)，求 \(\lambda\)。（答案：\(\lambda=-1\)，由 \(|2A|=8|A|=8\cdot6\lambda=-48\) 得 \(\lambda=-1\)）

2.2 特征值的运算性质

  • 是什么/定义：设 \(\lambda\) 是 A 的特征值，对应特征向量为 x，则相关矩阵的特征值可由 \(\lambda\) 推出。
  • 性质/公式：
  • \(kA\) 有特征值 \(k\lambda\)；
  • \(A^k\) 有特征值 \(\lambda^k\)；
  • \(A^{-1}\) 有特征值 \(\dfrac1\lambda\)（A 可逆时）；
  • \(A^*\) 有特征值 \(\dfrac{|A|}{\lambda}\)（A 可逆时）；
  • \(f(A)\)（A 的多项式）有特征值 \(f(\lambda)\)。
  • 共同特征向量：上述各矩阵都以同一个 x 为特征向量（对应不同特征值）。
  • 怎么考：①求 \(A^k\)、\(A^{-1}\)、\(A^*\)、\(f(A)\) 的特征值；②结合 2.1 求相关矩阵的行列式、迹。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 A 的特征值为 \(1,2,3\)，求 \(A^2+2A+E\) 的特征值。
    • 解：对应 \(f(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2\)，故特征值为 \(f(1)=4\)、\(f(2)=9\)、\(f(3)=16\)，即 \(\boxed{4,\ 9,\ 16}\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】设 A 可逆且特征值为 \(1,2,3\)，求 \(A^*\) 的特征值与 \(|A^*|\)。
    • 解：\(|A|=6\)，故 \(A^*\) 的特征值为 \(\dfrac6{1}=6\)、\(\dfrac62=3\)、\(\dfrac63=2\)，即 \(\boxed{6,\ 3,\ 2}\)；\(|A^*|=6\cdot3\cdot2=\boxed{36}\)（亦可用 \(|A^*|=|A|^{n-1}=6^2=36\) 检验）。
  • 易错坑点：这些结论要求对应关系一致——\(A^kx=\lambda^kx\) 中的 x 必须是 A 的属于 \(\lambda\) 的特征向量；\(A^*\) 的公式要求 A 可逆。
  • 配套练习：设 A 的特征值为 \(-1,2\)，求 \(A^2+A-2E\) 的特征值。（答案：\(-2,\ 4\)）

2.3 不同特征值的特征向量线性无关

  • 是什么/定义：特征向量的线性关系结论。
  • 性质/公式：
  • 核心结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。
  • 推论：n 阶方阵若有 n 个互不相同的特征值，则这 n 个特征向量线性无关（进而 A 可对角化）。
  • 怎么考：①判断向量组线性无关；②证明题（如证明某向量不是特征向量）；③为「可对角化」的充分条件提供依据。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(\lambda_1\ne\lambda_2\) 是 A 的两个特征值，\(x_1,x_2\) 分别是属于它们的特征向量，证明 \(x_1+x_2\) 不是 A 的特征向量。
    • 解：反证。若 \(x_1+x_2\) 是 A 的属于某特征值 \(\lambda\) 的特征向量，则 \(A(x_1+x_2)=\lambda(x_1+x_2)\)，即 \(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2=\lambda x_1+\lambda x_2\)，整理得 \((\lambda_1-\lambda)x_1+(\lambda_2-\lambda)x_2=0\)。因 \(x_1,x_2\) 线性无关，故 \(\lambda_1-\lambda=0\) 且 \(\lambda_2-\lambda=0\)，即 \(\lambda_1=\lambda_2\)，矛盾。故 \(x_1+x_2\) 不是特征向量。
  • 【例2·真题风格·自编题】若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，证明 A 可对角化。
    • 解：n 个互异特征值各取一个特征向量，由「不同特征值的特征向量线性无关」知这 n 个向量线性无关，A 有 n 个线性无关的特征向量，故 A 可对角化。
  • 易错坑点：属于同一特征值的不同特征向量不一定线性无关（它们构成解空间，可能有多个基向量）；「线性无关」只对不同特征值成立。
  • 配套练习：若 A 有特征值 \(1\) 和 \(-1\)，对应特征向量分别为 \((1,0)^T\)、\((0,1)^T\)，问这两个向量是否线性无关？（答案：是，属于不同特征值）

2.4 常用结论：A 与 Aᵀ、幂等矩阵、对合矩阵

  • 是什么/定义：抽象矩阵题的高频推理起点，都是「特征值满足某个方程」的套路。
  • 性质/公式：
  • A 与 \(A^T\) 有相同特征值（相同特征多项式，但特征向量一般不同）：\(|\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A)^T|=|\lambda E-A|\)。
  • 幂等矩阵：\(A^2=A\Rightarrow\) 特征值只能是 \(0\) 或 \(1\)（由 \(\lambda^2=\lambda\) 得 \(\lambda\in\{0,1\}\)）。
  • 对合矩阵：\(A^2=E\Rightarrow\) 特征值只能是 \(\pm1\)（由 \(\lambda^2=1\) 得 \(\lambda=\pm1\)）。
  • 推广：若 \(f(A)=O\)（\(f\) 为多项式），则 A 的特征值满足 \(f(\lambda)=0\)。如 \(A^2+A=O\Rightarrow\lambda\in\{0,-1\}\)；\(A^2-3A+2E=O\Rightarrow\lambda\in\{1,2\}\)。
  • 怎么考：①抽象矩阵特征值的取值范围；②结合秩、可逆性确定各特征值的重数；③判断能否对角化（实对称 + 这些结论）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(A^2=A\) 且 \(A\ne O,\ A\ne E\)，证明 \(0\) 和 \(1\) 都是 A 的特征值。
    • 解：由 \(A^2=A\) 得特征值 \(\lambda\in\{0,1\}\)。若 \(0\) 不是特征值，则 A 可逆，\(A^2=A\) 两边左乘 \(A^{-1}\) 得 \(A=E\)，矛盾；若 \(1\) 不是特征值，则 \(A-E\) 可逆，由 \(A(A-E)=O\) 得 \(A=O\)，矛盾。故 \(0\) 和 \(1\) 都是 A 的特征值。
  • 【例2·真题】2010年·数一·第6题（4分）：设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 \(A^2+A=O\)，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（　）。（原题为选择题，答案为 \(\operatorname{diag}(-1,-1,-1,0)\)）
    • 解：设 \(\lambda\) 为 A 的特征值，由 \(A^2+A=O\) 得 \(\lambda^2+\lambda=0\)，故 \(\lambda\in\{0,-1\}\)。A 为实对称矩阵必可（正交）对角化，且 \(r(A)=3\) 说明非零特征值有 3 个，故特征值为 \(-1,-1,-1,0\)，于是 \(A\sim\operatorname{diag}(-1,-1,-1,0)\)。
  • 易错坑点：这些结论只给出可能的特征值集合，实际取哪些值、各取几个，还要结合秩、可逆、对称性等进一步判断（如上面的 \(r(A)=3\)）。
  • 配套练习：
    1. 设 \(A^2=A\) 且 A 可逆，则 \(A=E\)。（答案：正确，\(A^2=A\) 两边左乘 \(A^{-1}\)）
    2. 设 \(A^2=E\)，求 \(A^{-1}\)。（答案：\(A^{-1}=A\)）

三、相似矩阵与相似对角化

3.1 相似矩阵与相似变换

  • 是什么/定义：设 A、B 为 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 P，使
    \[ P^{-1}AP=B \]
    则称 A 与 B 相似，记 \(A\sim B\)；式中由 A 到 B 的变换称为相似变换。与之对应，坐标变换 \(x=Py\)（把新坐标 y 换成旧坐标 x）也称为相似变换。
  • 性质/公式：
  • 相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩。
  • 相似关系有反身性、对称性、传递性。
  • 若 \(A\sim B\)，则 \(A^k\sim B^k\)；A 可逆时 \(A^{-1}\sim B^{-1}\)；对任意多项式 \(f\)，\(f(A)\sim f(B)\)。
  • 怎么考：①判断两矩阵是否相似（必要条件：特征值/行列式/迹/秩相同）；②由相似反求矩阵参数；③证明相似关系。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】证明相似矩阵有相同的特征多项式（从而特征值相同）。
    • 解：若 \(B=P^{-1}AP\)，则 \(|\lambda E-B|=|\lambda E-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda E)P-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda E-A)P|=|P^{-1}|\cdot|\lambda E-A|\cdot|P|=|\lambda E-A|\)。
  • 【例2·真题】2013年·数一·第6题（4分）：矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&b&a\\1&a&1\end{pmatrix}\) 与 \(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&b&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 相似的充分必要条件是（　）。
    (A) \(a=0,\ b=2\)　(B) \(a=0,\ b\) 为任意常数　(C) \(a=2,\ b=0\)　(D) \(a=2,\ b\) 为任意常数
    • 解：相似矩阵必有相同特征值 \(2,b,0\)。计算
      \[|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-a&-1\\-a&\lambda-b&-a\\-1&-a&\lambda-1\end{vmatrix}=\lambda\big[(\lambda-b)(\lambda-2)-2a^2\big].\]
      要使其与 \(\lambda(\lambda-2)(\lambda-b)\) 相同，须 \(2a^2=0\)，即 \(a=0\)。当 \(a=0\) 时 A 为实对称矩阵（必可对角化），且特征值恰为 \(2,b,0\)（无论 b 是否与 0 或 2 相等），故 \(a=0\)、b 为任意常数，选 (B)。
  • 易错坑点：特征值、行列式、迹、秩相同只是相似的必要条件，不是充分条件（这些量相同不一定相似）。
  • 配套练习：
    1. 若 \(A\sim B\) 且 A 可逆，证明 \(A^{-1}\sim B^{-1}\)。（答案：由 \(B=P^{-1}AP\) 取逆得 \(B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P\)）
    2. 若 \(A\sim B\)，判断 \(A^2\sim B^2\)。（答案：正确）

3.2 相似对角化

  • 是什么/定义：若 A 与对角矩阵 \(\Lambda\) 相似，即存在可逆 P 使 \(P^{-1}AP=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)，则称 A 可相似对角化。
  • 性质/公式（对角化条件，核心）：
  • A 可对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量。
  • 充分条件：A 有 n 个互不相同的特征值 ⇒ A 可对角化（充分不必要）。
  • 充要条件（数一掌握）：A 可对角化 ⇔ 对 A 的每个 \(k\) 重特征值 \(\lambda\)，都有 \(r(\lambda E-A)=n-k\)（即每个特征值的代数重数 = 几何重数）。
  • 步骤：①求全部特征值与线性无关特征向量；②总数达 n 则可对角化；③令 \(P=(\text{特征向量拼成的矩阵})\)，则 \(P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)。
  • 怎么考：①判断能否对角化；②求可逆矩阵 P 和对角阵 \(\Lambda\)；③由可对角化条件反求参数。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 是否可对角化。
    • 解：特征值为 \(1\)（二重）。\(r(E-A)=r\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}=1\ne n-k=2-2=0\)，即特征值 1 的几何重数为 \(2-r(E-A)=1<2\)，故 A 不可对角化（只有一个线性无关特征向量 \((1,0)^T\)）。
  • 【例2·真题风格·自编题】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\) 能否对角化；若能，求 P 和 \(\Lambda\) 使 \(P^{-1}AP=\Lambda\)。
    • 解：特征值为 \(1,2\)（互异），故可对角化。\(\lambda=1\)：解 \((E-A)x=0\) 得 \(x_1=(1,0)^T\)；\(\lambda=2\)：解 \((2E-A)x=0\) 得 \(x_2=(1,1)^T\)。取 \(P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，则 \(P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)。
  • 易错坑点：P 的列（特征向量）的排列顺序必须与 \(\Lambda\) 对角线上特征值的顺序一一对应；重特征值要数齐次方程基础解系的个数（几何重数）。
  • 配套练习：
    1. 判断 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) 是否可对角化。（答案：不可，特征值 2 二重但只有 1 个线性无关特征向量）
    2. 若 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可对角化。（答案：正确）

3.3 利用对角化求 \(A^k\) 与 \(f(A)\)

  • 是什么/定义：可对角化矩阵的高次幂与多项式的快捷求法。
  • 性质/公式：若 \(A=P\Lambda P^{-1}\)，则
    \[ A^k=P\Lambda^kP^{-1},\qquad \Lambda^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k) \]
    同理 \(f(A)=P\,f(\Lambda)\,P^{-1}\)。
  • 怎么考：①求 \(A^n\)；②求 \(A\) 的多项式；③与数列递推、矩阵方程结合。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\)，求 \(A^n\)。
    • 解：由 3.2 知 \(P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\operatorname{diag}(1,2)\)，故
      \[A^n=P\operatorname{diag}(1,2^n)P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}.\]
  • 【例2·真题风格·自编题】设 A 相似于 \(\operatorname{diag}(1,2,3)\)，求 \(\mathrm{tr}(A^{10})\)。
    • 解：\(A^{10}\) 的特征值为 \(1^{10},2^{10},3^{10}\)，故 \(\mathrm{tr}(A^{10})=1+1024+59049=\boxed{60074}\)。
  • 易错坑点：\(\Lambda^k\) 是对角元各自取 k 次方，不是把整个矩阵逐元素乘方；P 的列顺序仍要与 \(\Lambda\) 对应。
  • 配套练习：设 \(A=P\operatorname{diag}(1,-1)P^{-1}\)，求 \(A^{2024}\)。（答案：\(A^{2024}=P\operatorname{diag}(1,1)P^{-1}=E\)）

四、实对称矩阵的对角化（数一重点）

4.1 实对称矩阵的特殊性质

  • 是什么/定义：满足 \(A^T=A\) 的实矩阵叫实对称矩阵。
  • 性质/公式：
    1. 实对称矩阵的特征值全是实数；
    2. 属于不同特征值的特征向量正交（比一般矩阵的「线性无关」更强）；
    3. 实对称矩阵一定可以对角化，且存在正交矩阵 Q 使 \(Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda\)。
  • 怎么考：①判断特征值的虚实；②证明不同特征值特征向量正交；③为「必可正交对角化」提供依据。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】设 A 为实对称矩阵，\(\lambda_1\ne\lambda_2\)，\(x_1,x_2\) 分别是属于它们的特征向量，证明 \(x_1^Tx_2=0\)。
    • 解：\(\lambda_1x_1^Tx_2=(Ax_1)^Tx_2=x_1^TA^Tx_2=x_1^T(Ax_2)=\lambda_2x_1^Tx_2\)，故 \((\lambda_1-\lambda_2)x_1^Tx_2=0\)，因 \(\lambda_1\ne\lambda_2\)，得 \(x_1^Tx_2=0\)。
  • 【例2·真题风格·自编题】\(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) 是实对称矩阵，验证其两个特征向量正交。
    • 解：特征值 \(0,2\)；\(\lambda=0\) 对应 \((1,-1)^T\)，\(\lambda=2\) 对应 \((1,1)^T\)，\((1,-1)^T\cdot(1,1)^T=0\)，两者正交。
  • 易错坑点：一般矩阵属于不同特征值的特征向量只保证「线性无关」，只有实对称矩阵才保证「正交」。
  • 配套练习：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是否一定正交？（答案：是）

4.2 用正交矩阵对角化（施密特正交化 → 单位化 → 构造 Q）

  • 是什么/定义（标准步骤）：
    1. 求 A 的全部特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)；
    2. 对每个特征值求特征向量，得到 n 个线性无关的特征向量；
    3. 对重特征值对应的特征向量组做施密特正交化，再统一单位化，得到 n 个两两正交的单位特征向量；
    4. 把这 n 个规范正交向量按列排成 Q，则 \(Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)。
  • 性质/公式：
  • 施密特正交化：\(\beta_1=\alpha_1\)，\(\beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle\alpha_k,\beta_i\rangle}{\langle\beta_i,\beta_i\rangle}\beta_i\)；
  • 单位化：\(\eta_i=\dfrac{\beta_i}{\|\beta_i\|}\)；
  • 正交矩阵满足 \(Q^TQ=E\)，故 \(Q^{-1}=Q^T\)，从而 \(Q^{-1}AQ=Q^TAQ\)。
  • 怎么考：数一常考大题——求正交矩阵 Q 与对角阵 \(\Lambda\) 使 \(Q^TAQ=\Lambda\)（重点是含重特征值时做施密特正交化）。
  • 典型例题：
  • 【例1·基础】求正交矩阵 Q 使 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) 对角化。
    • 解：特征值 \(0,2\)；特征向量 \(\lambda=0\) 对应 \((1,-1)^T\)，\(\lambda=2\) 对应 \((1,1)^T\)，二者已正交。单位化得 \(\eta_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1)^T\)、\(\eta_2=\frac1{\sqrt2}(1,1)^T\)。取 \(Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\)，则 \(Q^TAQ=\operatorname{diag}(0,2)\)。
  • 【例2·真题】2006年·数一·第21题（9分）：设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 \(\alpha_1=(-1,2,-1)^T\)、\(\alpha_2=(0,-1,1)^T\) 是线性方程组 \(Ax=0\) 的两个解。
    (Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量；
    (Ⅱ) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 \(\Lambda\)，使 \(Q^TAQ=\Lambda\)。
    • 解：
      (Ⅰ) 求特征值与特征向量：
      ① 各行元素之和均为 3，即 \(A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，故 \(\lambda=3\) 是特征值，\(\beta_3=(1,1,1)^T\) 是对应特征向量。
      ② \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(Ax=0\) 的两个（线性无关）解，即 \(A\alpha_i=0=0\cdot\alpha_i\)，故 \(\lambda=0\) 是特征值，\(\alpha_1,\alpha_2\) 是其特征向量。3 阶矩阵共有 3 个特征值（计重数），故特征值为 \(3\)（一重）、\(0\)（二重）。
      于是：\(\lambda=3\) 的全部特征向量为 \(k_3(1,1,1)^T\ (k_3\ne0)\)；\(\lambda=0\) 的全部特征向量为 \(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\) 不全为 0）。
      (Ⅱ) 求正交矩阵 Q：
      ① 因 A 实对称，\(\beta_3=(1,1,1)^T\) 与 \(\alpha_1,\alpha_2\) 自动正交（可验证 \(\langle\beta_3,\alpha_1\rangle=\langle\beta_3,\alpha_2\rangle=0\)），故只需对 \(\lambda=0\) 的 \(\alpha_1,\alpha_2\) 做施密特正交化。
      ② 施密特正交化：取 \(\beta_1=\alpha_1=(-1,2,-1)^T\)；
      \[\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle}{\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1=(0,-1,1)^T-\frac{-3}{6}(-1,2,-1)^T=\left(-\frac12,0,\frac12\right)^T.\]
      ③ 单位化：
      \[\eta_1=\frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}=\frac1{\sqrt6}(-1,2,-1)^T,\quad \eta_2=\frac{\beta_2}{\|\beta_2\|}=\frac1{\sqrt2}(-1,0,1)^T,\quad \eta_3=\frac{(1,1,1)^T}{\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T.\]
      ④ 构造 Q 并验证：令 \(Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)\)，即
      \[Q=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]\frac2{\sqrt6}&0&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]-\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix},\qquad Q^TAQ=\Lambda=\operatorname{diag}(0,0,3).\]
      验证：\(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) 两两正交且均为单位向量，故 \(Q^TQ=E\)（Q 为正交矩阵）；又 \(\eta_1,\eta_2\) 对应特征值 0、\(\eta_3\) 对应特征值 3，故 \(Q^TAQ=\operatorname{diag}(0,0,3)\)。
  • 易错坑点：正交化只针对同一特征值的特征向量组内部进行（不同特征值的已自动正交）；步骤不能省掉单位化（不单位化得到的就不是正交矩阵 Q）。
  • 配套练习：求正交矩阵 Q 使 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) 对角化。（答案：\(Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\operatorname{diag}(1,-1)\)）

五、典型题型汇总

  1. 求特征值与特征向量：解 \(|\lambda E-A|=0\)，再解 \((\lambda_i E-A)x=0\)。
  2. 利用特征值性质求行列式、迹、秩：如 \(|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)、\(\mathrm{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\)。
  3. 求 \(A^{-1}\)、\(A^*\)、\(A^k\) 的特征值：套用对应公式 \(\frac1\lambda\)、\(\frac{|A|}{\lambda}\)、\(\lambda^k\)。
  4. 抽象矩阵特征值范围：由 \(A^2=A\)、\(A^2=E\)、\(A^2+A=O\) 等推出 \(\lambda\) 的可能取值，再结合秩/可逆/对称性定重数。
  5. 判断是否可对角化：数 n 阶矩阵是否有 n 个线性无关特征向量，或检查重根的重数条件。
  6. 求可逆矩阵 P 使 \(P^{-1}AP\) 为对角阵。
  7. 利用对角化求 \(A^k\) 或 \(A\) 的多项式。
  8. 实对称矩阵正交对角化：求正交矩阵 Q 使 \(Q^TAQ=\Lambda\)（施密特正交化 + 单位化）。
  9. 抽象矩阵的相似/对角化证明题。

配套练习（本章综合）

  1. 求 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的特征值。（答案：\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)）
  2. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 \(1,2,3\)，求 \(|A|\) 和 \(\mathrm{tr}(A)\)。（答案：\(|A|=6\)，\(\mathrm{tr}(A)=6\)）
  3. 判断 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 是否可对角化。（答案：不可对角化，特征值 1 是二重根，但只有 1 个线性无关的特征向量）
  4. 求 \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。（答案：\(\lambda=2\) 对应 \((1,1)^T\)，\(\lambda=4\) 对应 \((1,-1)^T\)）
  5. 设 \(A^2+A=O\) 且 A 可对角化，证明 A 的特征值只能是 0 或 \(-1\)。（答案：\(\lambda^2+\lambda=0\Rightarrow\lambda\in\{0,-1\}\)）
  6. 设 A 相似于 \(\operatorname{diag}(1,-1,2)\)，求 \(|A|\) 与 \(\mathrm{tr}(A)\)。（答案：\(|A|=-2\)，\(\mathrm{tr}(A)=2\)）

学完本章的检验标准

  1. 能熟练求给定矩阵的特征值与特征向量。
  2. 熟记 \(\mathrm{tr}(A)\)、\(|A|\) 与特征值的关系，以及 \(|A|=0\) ⇔ 有零特征值 ⇔ 不可逆。
  3. 熟记 \(kA\)、\(A^k\)、\(A^{-1}\)、\(A^*\)、\(f(A)\) 的特征值公式。
  4. 掌握常用结论：A 与 \(A^T\) 特征值相同；\(A^2=A\Rightarrow\lambda\in\{0,1\}\)；\(A^2=E\Rightarrow\lambda=\pm1\)；\(f(A)=O\Rightarrow f(\lambda)=0\)。
  5. 会判断矩阵能否对角化，并能求出 P 和 \(\Lambda\) 使 \(P^{-1}AP=\Lambda\)。
  6. 会用对角化求 \(A^k\)。
  7. 掌握实对称矩阵的性质，能完整做一次正交对角化（施密特正交化 → 单位化 → 构造 Q → 验证 \(Q^TAQ=\Lambda\)）。
  8. 理解「相似变换」术语：\(P^{-1}AP=B\) 及坐标变换 \(x=Py\)。

全部达到后，进入第6章「二次型」——标准形、规范形与正定判定，是线代最后一章，常与实对称矩阵对角化结合考查。