第6章「二次型」讲义

二次型是线性代数的收尾章节，把前面的矩阵、特征值、正交对角化全部串起来，常考「化标准形、规范形、判定正定」。
学习单元统一为：是什么/定义 → 性质/公式 → 怎么考 → 典型例题 → 易错坑点 → 配套练习。
例题分两档：【例1·基础】面向零基础、【例2·真题】展示真实考法。
关于真题标注：标注「××年·数一·第×题」的题目均经公开真题资料逐一核实（年份、题号、选项与答案）；无法核实确为真题的，一律标「真题风格·自编题」，绝不与真题混淆。
前置知识：第2章「矩阵」；第5章「特征值与特征向量」的实对称矩阵正交对角化。

一、二次型及其矩阵表示

1.1 二次型的定义

是什么/定义：只含平方项和交叉乘积项、且每一项都是 2 次的 n 元多项式叫二次型。例如
\[ f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2-6x_2x_3 \]
一般形式 \(f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j\)。
性质/公式：每一项的次数都是 2（平方项 \(x_i^2\) 或交叉项 \(x_ix_j\)，\(i\ne j\)）；\(x_ix_j\) 与 \(x_jx_i\) 是同一项，约定合并后只写一个交叉项；变量可以「缺席」（对应系数为 0），但出现的项次数必须恰为 2。
怎么考：①识别一个多项式是不是二次型；②给具体二次型，为下一步写矩阵做准备。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+x_1x_2+x_1\) 是否为二次型。
- 解：\(x_1\) 是一次项，次数不是 2，故不是二次型（二次型不含一次项和常数项）。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-3x_2^2+5x_1x_2\) 是否为二次型，并指出含几项。
- 解：三项 \(2x_1^2\)、\(-3x_2^2\)、\(5x_1x_2\) 都是 2 次，故是二次型，共 3 项（\(x_3\) 未出现，即其系数为 0）。
易错坑点：二次型不能含一次项、常数项；判断时逐项看次数，别被「变量缺席」误导。
配套练习：判断 \(g(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_1^2+5\) 是否为二次型。（答案：不是，含常数项 5）

1.2 二次型的矩阵表示（核心）

是什么/定义：任一二次型都可唯一写成 \(f=x^TAx\)，其中 \(A\) 是对称矩阵（\(A^T=A\)），\(x=(x_1,\cdots,x_n)^T\)。
性质/公式（构造规则，必考）：
平方项 \(x_i^2\) 的系数直接写在 \(A\) 主对角线 \(a_{ii}\) 上；
交叉项 \(x_ix_j\) 的系数一半写到 \(a_{ij}\) 和 \(a_{ji}\) 上：\(a_{ij}=a_{ji}=\dfrac{\text{交叉项系数}}{2}\)；
二次型与对称矩阵 \(A\) 一一对应。
怎么考：①给二次型写矩阵；②给对称矩阵写二次型（逆向）；③由矩阵反求交叉项系数。
典型例题：
【例1·基础】写出 \(f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3\) 的对称矩阵。
- 解：\(a_{11}=1,a_{22}=2,a_{33}=3\)；\(2x_1x_2\) 的一半为 1，故 \(a_{12}=a_{21}=1\)；\(4x_1x_3\) 的一半为 2，故 \(a_{13}=a_{31}=2\)；无 \(x_2x_3\) 项，\(a_{23}=a_{32}=0\)。得 \(A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&0\\2&0&3\end{pmatrix}\)。
【例2·真题风格·自编题】已知二次型的矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}\)，写出对应二次型。
- 解：\(f=2x_1^2+2x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2\)（交叉项系数 = 非对角元的 2 倍）。
易错坑点：交叉项系数必须除以 2 再对称分配；矩阵必须写成对称矩阵，否则二次型与矩阵不一一对应。
配套练习：写出 \(f=x_1^2-x_3^2+6x_1x_2-4x_2x_3\) 的对称矩阵。（答案：\(A=\begin{pmatrix}1&3&0\\3&0&-2\\0&-2&-1\end{pmatrix}\)）

二、化二次型为标准形

2.1 标准形与合同变换

是什么/定义：
标准形：只含平方项、不含交叉项的二次型 \(f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\)；
可逆线性变换：\(x=Cy\)（\(C\) 可逆）代入得 \(f=x^TAx=y^T(C^TAC)y\)；
合同变换：由可逆变换 \(x=Cy\) 诱导的矩阵变换 \(A\mapsto C^TAC\) 称为对 \(A\) 作合同变换；若存在可逆 \(C\) 使 \(B=C^TAC\)，称 \(A\) 与 \(B\) 合同，记 \(A\simeq B\)。
性质/公式：
化标准形 = 找可逆 \(C\) 使 \(C^TAC\) 为对角矩阵 \(\Lambda\)；
合同是 \(C^TAC\)（转置在左），相似是 \(P^{-1}AP\)（逆在左）；
合同保持对称性与秩（\(C\) 可逆 ⇒ \(r(C^TAC)=r(A)\)）。
怎么考：①判断两个矩阵是否合同；②写出化标准形对应的合同变换；③由 \(x=Cy\) 求 \(C^TAC\)。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\) 是否合同。
- 解：取可逆 \(C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，则 \(C^TAC=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}=B\)，故合同。（也可用惯性指数：两者正惯性指数都为 2。）
【例2·真题风格·自编题】设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)，求可逆 \(C\) 使 \(C^TAC\) 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
- 解：\(x^TAx=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2\)。令 \(x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2\)，即 \(C=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)（可逆），则 \(f=4y_1^2\)，故 \(C^TAC=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}\)。验证：\(AC=\begin{pmatrix}2&0\\2&0\end{pmatrix}\)，\(C^T(AC)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}\)。
易错坑点：合同用 \(C^TAC\)、相似用 \(P^{-1}AP\)，转置与逆位置别混；只有可逆 \(C\) 才叫合同变换（可逆性保证秩与惯性指数不变）。
配套练习：判断 \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) 是否合同。（答案：不合同，正惯性指数分别为 2 与 1）

2.2 二次型的秩

是什么/定义：二次型 \(f=x^TAx\) 的秩定义为它的矩阵 \(A\) 的秩，即 \(r(f)=r(A)\)。
性质/公式：
二次型化为标准形后，非零平方项的个数 = r(A)；
由惯性定理，\(p+q=r(A)\)（正、负惯性指数之和等于秩）。
怎么考：①求二次型的秩；②由标准形判断矩阵秩；③由秩反推惯性指数关系。
典型例题：
【例1·基础】求 \(f=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) 的秩。
- 解：矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)，两行成比例，\(r(A)=1\)，故二次型的秩为 \(\boxed{1}\)。也可配方 \(f=(x_1+x_2)^2\)，非零平方项 1 个。
【例2·真题风格·自编题】求 \(f=2x_1x_2\) 的秩。
- 解：矩阵 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，\(|A|=-1\ne0\)，故 \(r(A)=2\)，二次型的秩为 \(\boxed{2}\)（虽无平方项，秩仍可为满秩）。
易错坑点：秩看矩阵的秩，不是看二次型里出现几个变量；标准形中系数为 0 的平方项不计入秩。
配套练习：求 \(f=x_1^2+2x_2^2\) 的秩。（答案：2）

2.3 惯性定理与惯性指数

是什么/定义：
惯性定理：二次型经任意可逆线性变换化标准形，标准形中正系数个数 p、负系数个数 q、零系数个数都是不变的（与变换方式无关）；
正惯性指数 p：标准形中正平方项的个数；负惯性指数 q：负平方项的个数；合称惯性指数 \((p,q)\)，且 \(p+q=r(A)\)。
性质/公式：
标准形不唯一，但 \((p,q)\) 唯一；
若 \(A\) 为实对称矩阵、特征值为 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)，则 p = 正特征值个数，q = 负特征值个数。
怎么考：①给二次型求正、负惯性指数；②由惯性指数写规范形；③判断两实对称矩阵是否合同（合同 ⇔ 正、负惯性指数分别相等）。
典型例题：
【例1·基础】求 \(f=2x_1^2+x_2^2-x_3^2\) 的正、负惯性指数与秩。
- 解：已是标准形，正项 2 个（\(2x_1^2,x_2^2\)）、负项 1 个（\(-x_3^2\)），故 \(p=2,q=1,r(A)=p+q=3\)。
【例2·真题】2021年·数一·第5题(选择,5分)：二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2\) 的正惯性指数与负惯性指数依次为（　）。
(A) 2,0　(B) 1,1　(C) 2,1　(D) 1,2
- 解：展开合并得 \(f=2x_2^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3\)，矩阵 \(A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}\)。求特征值：\(|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1&-1\\-1&\lambda-2&-1\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=\lambda(\lambda-3)(\lambda+1)\)，故特征值为 \(3,-1,0\)，正特征值 1 个、负特征值 1 个，得 \((p,q)=(1,1)\)，选 (B)。
易错坑点：惯性指数与标准形的写法无关（配方法、正交变换结果一样）；用特征值求惯性指数时，0 特征值既不计入正也不计入负。
配套练习：
1. 求 \(f=3x_1^2-2x_2^2\) 的正、负惯性指数。（答案：\(p=1,q=1\)）
2. 判断 \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 是否合同。（答案：不合同，\(A\) 的 \((p,q)=(2,0)\)，\(B\) 的 \((p,q)=(1,1)\)）

2.4 配方法化标准形

是什么/定义：通过逐项配方（凑完全平方）消去交叉项，把二次型化为标准形。
性质/公式（步骤）：
含平方项（如 \(x_1^2\)）时：把所有含 \(x_1\) 的项凑成一个完全平方，消去含 \(x_1\) 的交叉项，再对剩余变量继续配方；
无平方项只有交叉项时：先作变换 \(x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2\)（其余变量不变）造出平方项，再配方；
每一步变换必须可逆。
怎么考：①给二次型配方化标准形并写出变换；②求正、负惯性指数；③化规范形（先配方再归一化）。
典型例题：
【例1·基础】用配方法把 \(f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\) 化为标准形，并指出正、负惯性指数。
- 解：先配 \(x_1\)：\(x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3=(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2\)。代入并合并：\(f=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2\)。令 \(\begin{cases}y_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+2x_3\\ y_3=x_3\end{cases}\)（上三角变换，行列式为 1，可逆），得标准形 \(\boxed{f=y_1^2+y_2^2}\)，故 \(p=2,q=0,r(A)=2\)。
【例2·真题风格·自编题】用配方法化 \(f=2x_1x_2+2x_2x_3\) 为标准形。
- 解：无平方项，先令 \(x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3\)（可逆），得 \(f=2y_1^2-2y_2^2+2y_1y_3-2y_2y_3\)。再配 \(y_1\)：\(2y_1^2+2y_1y_3=2\big(y_1+\tfrac12y_3\big)^2-\tfrac12y_3^2\)；配 \(y_2\)：\(-2y_2^2-2y_2y_3=-2\big(y_2+\tfrac12y_3\big)^2+\tfrac12y_3^2\)，两处 \(\pm\tfrac12y_3^2\) 抵消，得 \(f=2\big(y_1+\tfrac12y_3\big)^2-2\big(y_2+\tfrac12y_3\big)^2\)。令 \(z_1=y_1+\tfrac12y_3,\ z_2=y_2+\tfrac12y_3,\ z_3=y_3\)，得标准形 \(\boxed{f=2z_1^2-2z_2^2}\)（\(p=1,q=1\)）。
易错坑点：无平方项时必须先造平方项；每一步变换都要可逆；配方法得到的标准形不唯一，但 \((p,q)\) 唯一。
配套练习：用配方法化 \(f=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\) 为标准形。（答案：\(f=(x_1+x_2)^2+x_2^2\)，令 \(y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2\) 得 \(y_1^2+y_2^2\)）

2.5 正交变换法化标准形（数一重点）

是什么/定义：对实对称矩阵 \(A\)，求正交矩阵 \(Q\) 使 \(Q^TAQ=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)，令 \(x=Qy\)，则 \(f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)。
性质/公式：
标准形的系数就是 A 的特征值，其排列顺序与 \(Q\) 的列（特征向量）一致；
正交变换保持向量的长度与夹角（\(Q^TQ=I\)），是「保形」变换；
步骤：①写矩阵 \(A\) → ②求特征值 → ③求两两正交的单位特征向量组成 \(Q\) → ④写 \(x=Qy\) 与标准形。
怎么考：①完整求正交变换化标准形；②由标准形反求矩阵/特征值；③判断 \(f=\text{常数}\) 表示的二次曲面类型（用特征值符号）。
典型例题：
【例1·基础】求正交变换 \(x=Qy\)，把 \(f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_3\) 化为标准形。
- 解：矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)。\(|\lambda E-A|=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)\)，特征值为 \(2,1,0\)。对应单位特征向量（按特征值 \(2,1,0\) 的顺序）分别为 \(q_1=\dfrac1{\sqrt2}(1,0,1)^T,\ q_2=(0,1,0)^T,\ q_3=\dfrac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T\)（两两正交）。令 \(Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\)，则 \(x=Qy\)，标准形 \(\boxed{f=2y_1^2+y_2^2}\)。
【例2·真题】2022年·数一·第21题(12分)：设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}ij\,x_ix_j\)。(Ⅰ) 求 \(f\) 的矩阵 \(A\)；(Ⅱ) 求正交变换 \(x=Qy\) 把 \(f\) 化为标准形。
- 解：(Ⅰ) \(a_{ij}=ij\)，故 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)。(Ⅱ) 由 \(f=(x_1+2x_2+3x_3)^2\) 知 \(A=uu^T\)（\(u=(1,2,3)^T\)），且 \(u^Tu=14\)，故特征值为 \(14,0,0\)。取 \(\lambda=14\) 的单位特征向量 \(q_1=\dfrac1{\sqrt{14}}(1,2,3)^T\)；\(\lambda=0\) 的特征子空间为 \(x_1+2x_2+3x_3=0\)，取两个正交单位向量 \(q_2=\dfrac1{\sqrt5}(2,-1,0)^T\)、\(q_3=\dfrac1{\sqrt{70}}(3,6,-5)^T\)。令 \(Q=(q_1,q_2,q_3)\)，则 \(x=Qy\)，\(\boxed{f=14y_1^2}\)。
易错坑点：正交变换化标准形时，系数 = 特征值，顺序必须与 \(Q\) 的列对应；特征值有重根时，重根对应的特征向量要先正交化再单位化（本例 \(\lambda=0\) 二重，两个特征向量已正交）。
配套练习：求正交变换把 \(f=2x_1x_2\) 化为标准形。（答案：\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，特征值 \(1,-1\)，\(Q=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，标准形 \(y_1^2-y_2^2\)）

三、规范形

3.1 规范形及其求法

是什么/定义：把标准形的每个非零系数化成 \(\pm1\)，即 \(f=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2\)，称为规范形（法式）。
性质/公式：
规范形由 \((p,q)\) 唯一确定（惯性定理的直接推论）；
求法：先化标准形，再对正项令 \(z_i=\sqrt{d_i}\,y_i\)、负项令 \(z_i=\sqrt{|d_i|}\,y_i\) 吸收系数。
怎么考：①由标准形写规范形；②由惯性指数直接写规范形；③判断合同（两实对称矩阵合同 ⇔ 规范形相同）。
典型例题：
【例1·基础】把 \(f=4y_1^2-9y_2^2\) 化为规范形。
- 解：令 \(z_1=2y_1,\ z_2=3y_2\)，得 \(\boxed{f=z_1^2-z_2^2}\)（\(p=1,q=1\)）。
【例2·真题风格·自编题】二次型 \(f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\) 的规范形为（　）。(A) \(z_1^2+z_2^2\)　(B) \(z_1^2-z_2^2\)　(C) \(z_1^2+z_2^2+z_3^2\)　(D) \(z_1^2+z_2^2-z_3^2\)
- 解：由 2.4 已得标准形 \(y_1^2+y_2^2\)（\(p=2,q=0\)），故规范形为 \(z_1^2+z_2^2\)，选 (A)。
易错坑点：规范形正项在前、负项在后，系数恒为 \(\pm1\) 或 0；标准形系数可以是任意非零数，两者别混。
配套练习：把 \(f=2y_1^2-2y_2^2\) 化为规范形。（答案：\(z_1^2-z_2^2\)，其中 \(z_1=\sqrt2\,y_1,\ z_2=\sqrt2\,y_2\)）

四、正定二次型与正定矩阵

4.1 正定、负定、半正定、半负定的定义

是什么/定义：设 \(f=x^TAx\)，\(A\) 为实对称矩阵：
正定：对任意 \(x\ne0\)，恒有 \(f>0\)；
负定：对任意 \(x\ne0\)，恒有 \(f<0\)；
半正定：对任意 \(x\)，恒有 \(f\ge0\)；
半负定：对任意 \(x\)，恒有 \(f\le0\)；
不定：既取正值又取负值。
性质/公式：\(A\) 正定 ⇔ \(-A\) 负定；\(A\) 半正定 ⇔ \(-A\) 半负定。注意：正定是半正定的特殊情形（正定 ⇒ 半正定，因 \(f>0\) 蕴含 \(f\ge0\)）；但实际「判定二次型属于哪一类」时，「半正定」通常专指「半正定但非正定」——即 \(\exists\,x\ne0\) 使 \(f=0\)（至少一个特征值为 0）。
怎么考：①按定义判断正定/负定/半正定/不定；②辨析「\(f\ge0\) 恒成立」与「半正定」的区别。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(f=x_1^2+2x_2^2\) 是正定、半正定还是不定。
- 解：对任意 \((x_1,x_2)\ne(0,0)\)，\(f=x_1^2+2x_2^2>0\)，恒大于 0 且取不到 0，故为正定。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(f=(x_1+x_2)^2+x_3^2\) 的类型。
- 解：恒有 \(f\ge0\)；取非零向量 \(x_1=1,x_2=-1,x_3=0\) 时 \(f=0\)，故为半正定（非正定）。
易错坑点：按严格定义，正定也属于半正定（\(f>0\) 蕴含 \(f\ge0\)）；但在「判定二次型属于哪一类」时，「半正定」通常指「半正定但非正定」（\(\exists\,x\ne0\) 使 \(f=0\)）。看清题意：问「是否半正定」按 \(f\ge0\) 判断；问「属于哪一类」则把正定与半正定（非正定）分开。
配套练习：判断 \(f=-x_1^2-x_2^2\) 与 \(f=x_1^2-x_2^2\) 的类型。（答案：前者负定，后者不定）

4.2 正定的判定（核心，必背）

是什么/定义：判断实对称矩阵（二次型）正定的方法。
性质/公式（\(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，以下等价，都是正定的充要条件）：
1. 定义法：对任意 \(x\ne0\)，\(x^TAx>0\)；
2. 特征值法：\(A\) 的所有特征值 \(>0\)；
3. 惯性指数法：正惯性指数 \(p=n\)（标准形 n 项全为正）；
4. 顺序主子式法（最常用）：所有顺序主子式 \(>0\)：\(\Delta_1=a_{11}>0,\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\ \cdots,\ \Delta_n=|A|>0\)。
必要不充分条件：正定 ⇒ 主对角元全为正且 \(|A|>0\)；反之不成立。
怎么考：①判定具体矩阵是否正定；②含参数正定，用顺序主子式列不等式解参数范围；③用特征值/惯性指数证正定。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) 是否正定。
- 解：顺序主子式 \(\Delta_1=1>0\)，\(\Delta_2=|A|=2-1=1>0\)，故正定。
【例2·真题】2010年·数一·第21题(11分)：已知二次型 \(f=x^TAx\) 在正交变换 \(x=Qy\) 下化为标准形 \(y_1^2+y_2^2\)，且 \(Q\) 的第 3 列为 \((\frac{\sqrt2}{2},0,\frac{\sqrt2}{2})^T\)。(Ⅰ) 求 \(A\)；(Ⅱ) 证明 \(A+E\) 正定（\(E\) 为 3 阶单位矩阵）。
- 解：(Ⅰ) 标准形为 \(y_1^2+y_2^2\)，故 \(A\) 的特征值为 \(1,1,0\)，且 \(Q\) 第 3 列 \(=(\frac{\sqrt2}{2},0,\frac{\sqrt2}{2})^T\) 是 \(\lambda=0\) 的单位特征向量。取 \(\lambda=1\) 的特征子空间（即 \(x_1+x_3=0\)）的一组单位正交基 \(u_1=(0,1,0)^T,\ u_2=(\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})^T\)，则 \(A=u_1u_1^T+u_2u_2^T=\begin{pmatrix}\frac12&0&-\frac12\\0&1&0\\-\frac12&0&\frac12\end{pmatrix}\)。(Ⅱ) \(A\) 的特征值为 \(1,1,0\)，故 \(A+E\) 的特征值为 \(2,2,1\)，全为正，由特征值法得 \(A+E\) 正定。
易错坑点：判定正定前先确认 \(A\) 对称；用「顺序主子式」而非「所有主子式」；「\(|A|>0\)」「主对角元全正」只是必要条件，不能单独判正定。
配套练习：
1. 求 \(t\) 的范围使 \(A=\begin{pmatrix}1&t\\t&2\end{pmatrix}\) 正定。（答案：\(\Delta_1=1>0\)，\(\Delta_2=2-t^2>0\Rightarrow -\sqrt2<t<\sqrt2\)）
2. 判断 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 是否正定。（答案：不，\(\Delta_2=1-4=-3<0\)）

4.3 负定、半正定、半负定的判定

是什么/定义：负定、半正定、半负定的判定方法（\(A\) 为实对称矩阵）。
性质/公式：
负定 ⇔ \(-A\) 正定 ⇔ 所有特征值 \(<0\) ⇔ 正惯性指数 \(p=0\)（负惯性指数 \(q=n\)）⇔ 奇数阶顺序主子式 \(<0\)、偶数阶顺序主子式 \(>0\)（即 \((-1)^k\Delta_k>0\)）。
半正定 ⇔ 所有特征值 \(\ge0\) ⇔ 负惯性指数 \(q=0\) ⇔ 所有主子式 \(\ge0\)（注意：是所有主子式，不是顺序主子式）。
半正定但非正定 ⇔ 所有特征值 \(\ge0\) 且至少一个 \(=0\) ⇔ \(q=0\) 且 \(p<n\) ⇔ 所有主子式 \(\ge0\) 且 \(|A|=0\)。
半负定 ⇔ \(-A\) 半正定 ⇔ 所有特征值 \(\le0\) ⇔ 正惯性指数 \(p=0\) ⇔ 奇数阶主子式 \(\le0\)、偶数阶主子式 \(\ge0\)。
半负定但非负定 ⇔ 所有特征值 \(\le0\) 且至少一个 \(=0\) ⇔ \(p=0\) 且 \(q<n\)。
怎么考：①判定半正定/半负定；②辨析「正定 vs 半正定」的判定条件（顺序主子式 vs 所有主子式）；③由特征值/惯性指数判断定类型。
典型例题：
【例1·基础】判断 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) 是半正定还是正定。
- 解：特征值为 \(0,2\)（\(\ge0\) 且含 0）；或用所有主子式：一阶主子式 \(1,1\ge0\)，二阶主子式 \(|A|=0\ge0\)。故为半正定（非正定）。
【例2·真题风格·自编题】判断 \(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 的类型。
- 解：特征值 \(2,3,0\)，全 \(\ge0\) 且含 0；负惯性指数 \(q=0\)、正惯性指数 \(p=2<3\)，故为半正定。
易错坑点：半正定用「所有主子式 \(\ge0\)」；正定用「顺序主子式 \(>0\)」——两者条件不同，勿混用。「半正定」按严格定义只需 \(f\ge0\)；若问「属于哪一类」，则「半正定（非正定）」需额外满足「至少一个特征值为 0」（即 \(|A|=0\)）。
配套练习：判断 \(A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\) 的类型。（答案：前者不定，后者半正定）

五、典型题型汇总

写二次型的矩阵：平方项系数入对角，交叉项系数除以 2 对称分配。
求二次型的秩：\(r(f)=r(A)\)，等于标准形非零平方项个数。
配方法化标准形：配方消交叉项，无平方项时先造平方项。
正交变换化标准形：求特征值、正交单位化特征向量组成 \(Q\)，\(f=\lambda_1y_1^2+\cdots\)。
求规范形：由正、负惯性指数直接写 \(z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2\)。
求正、负惯性指数：配方数项，或求特征值数正负。
判断二次型定类型：正定/负定/半正定/半负定/不定（特征值法、惯性指数法、顺序主子式法）。
含参数正定判定：令各顺序主子式 > 0 解参数范围。
矩阵合同判断：\(B=C^TAC\)，实对称矩阵合同 ⇔ 正、负惯性指数分别相等。

配套练习（本章综合）

写出 \(f=x_1^2+2x_1x_2+4x_2x_3+3x_3^2\) 的对称矩阵。（答案：\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)）
用配方法化 \(f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\) 为标准形并求秩。（答案：\(y_1^2+y_2^2\)，\(r(A)=2\)）
判断 \(f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\) 是否正定。（答案：正定，标准形三项系数全为正）
设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\)，用顺序主子式法判断 \(A\) 是否正定。（答案：正定，\(\Delta_1=1>0\)，\(\Delta_2=|A|=1>0\)）
求正交变换把 \(f=2x_1x_2\) 化为标准形。（答案：\(y_1^2-y_2^2\)）

学完本章的检验标准

能由二次型正确写出其对称矩阵 \(A\)（交叉项系数除以 2），并会求二次型的秩 \(r(f)=r(A)\)。
会用配方法和正交变换法把二次型化为标准形，且正交变换法得到的系数为特征值。
熟记惯性定理，会求正、负惯性指数并写出规范形。
熟记正定的 4 个充要条件（定义、特征值、惯性指数、顺序主子式），会用顺序主子式判含参数正定。
会判定负定、半正定、半负定、不定（特征值法、惯性指数法、主子式法），分清「顺序主子式」与「所有主子式」。
能区分「相似」与「合同」，会判断两个实对称矩阵是否合同。

全部达到后，线性代数六章学完。建议回头把「行列式 → 矩阵 → 向量 → 方程组 → 特征值 → 二次型」串成一条线：行列式判可逆，矩阵提供工具，向量解释解结构，方程组是应用，特征值/二次型是高级应用，最后用真题整卷检验。